PedroBern/A1 concreto protendido

## A1 concreto protendido
---
title: "Concreto Protendido e Pré-Moldado - Trabalho A1"
author: "Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155"
abstract: "O trabalho foi calculado em linguágem R, esse relatório foi gerado automáticamente a partir dos dados de entrada. Um link para o código utilizado é disponibilizado ao final do trabalho."
date: "31/03/2020"
output: pdf_document
header-includes:
- \renewcommand{\abstractname}{Introdução}
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = T)
options(knitr.kable.NA = '')
library(kableExtra)
library(tidyverse)
library(dplyr)
library(rsdepth)
library(ggplot2)
library(cowplot)
```

# Dados

A seguir os dados relativos ao aluno, conforme a tabela enviada junto com as questões.

```{r dados-iniciais-aluno, echo=F}
A <- 100 # cm
B <- 32 # cm
F <- 50 # cm
q <- 30 # kN/m
g <- 0 # kN/m
L <- 25 # m
Fck <- 50 # MPa
CP <- 175 # -
phi <- 12.5 # mm x 7

# exemplo slide 5
# A <- 110 # cm
# B <- 70 # cm
# F <- 55 # cm
# q <- 20 # kN/m
# g <- 8 # kN/m
# L <- 26 # m
# Fck <- 50 # MPa
# CP <- 175 # -
# phi <- 12.5 # mm x 7
```


```{r dados-iniciais-problema, echo=F}
C <- 20 # cm
D <- 25 # cm
E <- 10 # cm
G <- 15 # cm
H <- 20 # cm
r <- 10 # cm

# exemplo slide 5
# C <- 15 # cm
# D <- 30 # cm
# E <- 15 # cm
# G <- 5 # cm
# H <- 20 # cm
# r <- 10 # cm
```


```{r tabela-valores-iniciais, echo=F}
dfUnits <- c("cm", "cm", "cm", "kN/m", "kN/m", "m", "MPa", "", "mm")
colNames <- c("A", "B", "F", "q", "g", "L", "Fck", "CP", "phi")

valores <- data.frame(
	A=A, B=B, F=F, q=q, g=g, L=L, Fck=Fck, CP=CP, phi=phi
)

kable(
    valores,
    "latex",
    col.names = dfUnits,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Variáveis do aluno",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits = 2
    ) %>%
    add_header_above(header = colNames, line = F, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```


## 1 - Determinar a posição do centróide ($yi$) e momento de inércia ($I$) da seção.

```{r centroide, echo=F}

p1 <- c(-B/2, 0)
p2 <- c(B/2, 0)
p3 <- c(B/2, D)
p4 <- c(C/2, E + D)
p5 <- c(C/2, F + E + D)
p6 <- c(A/2, G + F + E + D)
p7 <- c(A/2, H + G + F + E + D)
p8 <- c(-A/2, H + G + F + E + D)
p9 <- c(-A/2, G + F + E + D)
p10 <- c(-C/2, F + E + D)
p11 <- c(-C/2, E + D)
p12 <- c(-B/2, D)

# Coordenadas de cada vertice da seção
coordenadas_da_seção <- rbind(
		p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12
	)

# Cálculo do centroide
CG <- centroid(coordenadas_da_seção)
CG <- CG[2]
```

```{r inercia, echo=F}
# Formulas
inercia_retangulo <- function(b, h) b * h^3 / 12
inercia_triangulo <- function(b, h) b * h^3 / 36

# Ditâncias em Y do centro de cada figura até o eixo X (base)

# retangulos
y_fig_1 <- D / 2
y_fig_2 <- (G + F + E) / 2 + D
y_fig_3 <- H + G + F + E + D - H / 2

# triangulos
y_fig_4 <- E / 3 + D
y_fig_5 <- y_fig_4
y_fig_6 <- F + E + D + 2 * G / 3
iy_fig_7 <- y_fig_6

# Dados pra tabela:

# Momentos de inércia em cm4
momento_de_I_figuras <- c(
	inercia_retangulo(B, D), # fig 1
	inercia_retangulo(C, G + F + E), # fig 2
	inercia_retangulo(A, H), # fig 3
	inercia_triangulo(B / 2 - C / 2, E), # fig 4
	inercia_triangulo(B / 2 - C / 2, E), # fig 5
	inercia_triangulo(A / 2 - C / 2, G), # fig 6
	inercia_triangulo(A / 2 - C / 2, G) # fig 7
)

# áreas em cm2
areas_figuras <- c(
	B * D, # fig 1
	C * (G + F + E), # fig 2
	A * H, # fig 3
	E * (B / 2 - C / 2) / 2, # fig 4
	E * (B / 2 - C / 2) / 2, # fig 5
	G * (A / 2 - C / 2) / 2, # fig 6
	G * (A / 2 - C / 2) / 2 # fig 7
)

# distância pro CG em cm
d_figuras <- c(
	CG - (D / 2), # fig 1
	CG - ((G + F + E) / 2 + D), # fig 2
	CG - (H / 2 + G + F + E + D), # fig 3
	CG - (D + E / 3), # fig 4
	CG - (D + E / 3), # fig 5
	CG - (2 * G / 3 + F + E + D), # fig 6
	CG - (2 * G / 3 + F + E + D) # fig 7
)

# Tabela
tabela_inercias <-
	data.frame(
		Ix = momento_de_I_figuras,
		Areas = areas_figuras,
		ds = abs(d_figuras)
	)
tabela_inercias <- mutate(tabela_inercias, formula = Ix + Areas * ds^2)
I <- sum(tabela_inercias$formula)
tabela_inercias <- add_row(tabela_inercias, formula = I)
```

```{r tabela-inercias, echo=F}
dfUnits <- c("cm4", "cm2", "cm", "cm4")
colNames <- c("", "Ix", "Áreas", "d", "Formula")
rownames(tabela_inercias) <- c("Fig. 1", "Fig. 2", "Fig. 3",
				"Fig. 4", "Fig. 5", "Fig. 6",
				"Fig. 7", "Somatório")

kable(
    tabela_inercias,
    "latex",
    col.names = dfUnits,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Cálculo da inércia",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits = 2
    ) %>%
    add_header_above(header = colNames, line = F, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

- Posição do centroide: $y_i = `r CG` \; cm$
 - Momento de inércia: $I = `r I` \; cm^4$

## 2 - Determinar os momentos fletores máximos devido ao peso próprio ($M_{pp}$) e à carga acidental ($M_q$).

<!-- Peso proprio -->

```{r peso-proprio, echo=F}
densidade_concreto <- 25 # kN/m3
area_secao <- ( # m2
	A * H +
	D * B +
	C * (G + F + E) +
	E * (B / 2 - C / 2) +
	G * (A / 2 - C / 2)
	) * 10^-4
pp <- densidade_concreto * area_secao
```

<!-- Momento fletor máximo devido ao peso próprio -->

```{r Mpp, echo=F}
Mpp <- pp * L^2 / 8
```

<!-- Momento fletor máximo devido a carga acidental -->

```{r Mq, echo=F}
Mq <- q * L^2 / 8
```

<!-- Momento fletor máximo devido a carga permanente -->

```{r Mg, echo=F}
Mg <- g * L^2 / 8
```

- $M_{pp} = `r Mpp` \; kN.m$
- $M_q = `r Mq` \; kN.m$

## 3 - Determinar a força de protenção ($P$) necessária e o número de cordoalhas necessária.

<!-- Tensões máximas na secao mais solicitada -->

```{r tensoes, echo=F}
H_total <- D + E + F + G + H

Ws <- (I / (H_total - CG)) * 10^-6 # m3
Wi <- (I / CG) * 10^-6 # m3

T_pp_i <- Mpp * 10^-3 / Wi # Mpa
T_pp_s <- Mpp * 10^-3 / Ws # Mpa

T_q_i <- Mq * 10^-3 / Wi # Mpa
T_q_s <- Mq * 10^-3 / Ws # Mpa

T_g_i <- Mg * 10^-3 / Wi # Mpa
T_g_s <- Mg * 10^-3 / Ws # Mpa

tensoes_i <- T_pp_i + T_q_i + T_g_i  # Mpa
tensoes_s <- T_pp_s + T_q_s + T_g_s # Mpa
```

<!-- Determinação da força de protenção nescessária -->

```{r protencao, echo=F}
e <- (CG - r) * 10^-2 # m
P <- tensoes_i / (1 / area_secao + e / Wi) * 10^3 # kN
```

<!-- Determinação do número de cordoalhas -->

```{r cordoalhas, echo=F}
alongamento <- function(CP, phi){
	res <- NA
	if(CP == 175) {
			if(phi == 12.5 | phi == 12.7) res <- 149.1
			if(phi == 15.2) res <- 219.7
	}
	if(CP == 195) {
			if(phi == 12.5 | phi == 12.7) res <- 168.6
			if(phi == 15.2) res <- 239.2
	}
	res
}

Nc <- alongamento(CP, phi) / 1.15 # kn/cordoalha

n_cordoalhas_fracao <- P / Nc
```

- $P = `r -P` \; kN \;(Compressão)$
- Fração de cordoalhas: $`r n_cordoalhas_fracao`$
- Número de cordoalhas: $`r ceiling(n_cordoalhas_fracao)`$

## 4 - Calcular as tensões na seção de meio de vão, estimando as perdas em 10% e considerando os seguintes limites:

<!-- Cálculos -->

```{r momentos_nas_secoes, echo=F}

# exemplo slide 3
# L <- 20
# q <- 24
# g <- 12
# pp <- 9
# Wi <- 0.062
# Ws <- 0.078
# e <- 0.4025
# area_secao <- 0.36
# P <- 3674
# perda <- 0.08

perda <- 0.1
Fcd <-  Fck * 1.4 # MPa
T_t_max <- 0.1 * Fck # MPa
T_c_max_1 <- 0.5 * Fck # primeira fase # MPa
T_c_max_2 <- Fcd # segunda fase # MPa

n <- 10
l <- L / n
secoes <- 1:(n/2 + 1)
tabela_das_secoes <- data.frame(
                              s=integer(0),
                              x=numeric(0),
                              pp=numeric(0),
                              q=numeric(0),
                              g=numeric(0),
                              T_i_pp=numeric(0),
                              T_s_pp=numeric(0),
                              T_i_q=numeric(0),
                              T_s_q=numeric(0),
                              T_i_P=numeric(0),
                              T_s_P=numeric(0),
                              T_i_pp_P=numeric(0),
                              T_s_pp_P=numeric(0),
                              soma_tensao_i=numeric(0),
                              soma_tensao_s=numeric(0),
                              atende_t=logical(0),
                              atende_1=logical(0),
                              atende_2=logical(0)
                              )

momento_secao_devido <- function(x, q){
 q * L * x / 2 - q * x^2 / 2
}

M_P <- P * (1 - perda) * e
T_i_P <- (- P * (1 - perda) / area_secao - M_P / Wi) * 10^-3
T_s_P <- (- P * (1 - perda) / area_secao + M_P / Ws) * 10^-3

nova_linha <- function(s){
	x <- (s - 1) * l
	q_ <- momento_secao_devido(x, q)
	g_ <- momento_secao_devido(x, g)
	pp_ <- momento_secao_devido(x, pp)
	T_i_pp_ <- (pp_ / Wi) * 10^-3
	T_s_pp_ <- - (pp_ / Ws) * 10^-3
	T_i_q_ <- (q_ / Wi) * 10^-3
	T_s_q_ <- - (q_ / Ws) * 10^-3
	T_i_pp_P_ <- T_i_pp_ + T_i_P
	T_s_pp_P_ <- T_s_pp_ + T_s_P

	atende_t <- T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P <= T_t_max &
							T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P <= T_t_max

	atende_1 <- T_i_pp_P_ >= - T_c_max_1 &
							T_s_pp_P_ >= - T_c_max_1

	atende_2 <- - T_c_max_2 <= T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P &
							- T_c_max_2 <= T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P

	data.frame(s=s, x=x, pp=pp_, q=q_, g=g_,
            T_i_pp=T_i_pp_, T_s_pp=T_s_pp_,
            T_i_q=T_i_q_, T_s_q=T_s_q_,
            T_i_P=T_i_P, T_s_P=T_s_P,
            T_i_pp_P=T_i_pp_P_, T_s_pp_P=T_s_pp_P_,
            soma_tensao_i=T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P,
            soma_tensao_s=T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P,
            atende_t=ifelse(atende_t == TRUE, "Sim", "Não"),
            atende_1=ifelse(atende_1 == TRUE, "Sim", "Não"),
            atende_2=ifelse(atende_2 == TRUE, "Sim", "Não")
            )
}

for (k in secoes) {
	tabela_das_secoes=rbind(tabela_das_secoes,nova_linha(k))
}

tabela_das_secoes <- tabela_das_secoes %>%
	mutate(soma_momentos=rowSums(tabela_das_secoes[3:5]))

```

```{r tabela-momento-secoes, echo=F}
dfUnits2 <- c("","m", "kNm", "kNm", "kNm", "kNm")
colNames2 <- c("s", "x", "pp", "q", "g", "soma")

kable(
    tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)],
    "latex",
    col.names = dfUnits2,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Momento fletor em casa seção",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits = 2
    ) %>%
    add_header_above(header = colNames2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

```{r grafico-momentos, echo=F, fig.height=3}

p1 <- tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)] %>%
	gather(tipo, momento, -c(s, x, soma_momentos)) %>%
	ggplot(aes(x, momento, col=tipo)) +
	geom_line() +
	ylab("Momento (kN.m)") +
	xlab("Distância (m)") +
	theme_bw() +
	ggtitle("Momento agrupado por tipo")

p2 <- tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)] %>%
	ggplot(aes(x, soma_momentos)) +
	geom_line() +
	ylab("Momento (kN.m)") +
	xlab("Distância (m)") +
	theme_bw() +
	ggtitle("Momento total no vão")

plot_grid(p1, p2, rel_widths = c(1.2, 1))
```

```{r tabela-tensoes, echo=F}
col1 <- c("","i", "s","i", "s","i", "s","i", "s", "i", "s", "tração", "fase 1", "fase 2" )
col2 <- c("s", "pp"=2, "q"=2, "P"=2, "pp + P"=2, "soma"=2, "atende"=3)

kable(
    tabela_das_secoes[,c(1,6:18)],
    "latex",
    col.names = col1,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Tensões inferior e superior em cada seção (MPa)",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits = 2
    ) %>%
    add_header_above(header = col2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

```{r tabela-tensoes-meio, echo=F}
col2 <- c("", "Tensões (MPa)"=2)
col1 <- c("Ti", "Ts")

df <- data.frame(
	Ti=c(
			tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_i_P[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp_P[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_i_q[1],
			tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_i[1],
			tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_i[1] + tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp_P[1]
		),
	Ts=c(
			tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_s_P[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp_P[1],
			tabela_das_secoes[6,]$T_s_q[1],
			tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_s[1],
			tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_s[1] + tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp_P[1]
	))

rownames(df) <- c(
	"pp", "P", "pp + P", "q", "Soma (pp + P + q)", "Soma (pp + P + q + 'pp+P')"
)

kable(
    df,
    "latex",
    col.names = col1,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Tensões no meio do vão (MPa)",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits = 2
    ) %>%
    add_header_above(header = col2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```


## 5 - Verificar as tensões na seção de meio de vão, estimando as perdas em 10% e considerando os seguintes limites:

- Fase 1, atende? `r tabela_das_secoes[6,]$atende_1`
- Fase 2, atende? `r tabela_das_secoes[6,]$atende_2`

---

## Código

A seguir o link do código escrito para gerar esse pdf, contendo a memória de cálculo.

[Clique aqui.](https://gist.github.com/PedroBern/71b04b1332b4c1ee8cf1fbc7f9de2c34)
	---
	title: "Concreto Protendido e Pré-Moldado - Trabalho A1"
	author: "Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155"
	abstract: "O trabalho foi calculado em linguágem R, esse relatório foi gerado automáticamente a partir dos dados de entrada. Um link para o código utilizado é disponibilizado ao final do trabalho."
	date: "31/03/2020"
	output: pdf_document
	header-includes:
	- \renewcommand{\abstractname}{Introdução}
	---

	```{r setup, include=FALSE}
	knitr::opts_chunk$set(echo = T)
	options(knitr.kable.NA = '')
	library(kableExtra)
	library(tidyverse)
	library(dplyr)
	library(rsdepth)
	library(ggplot2)
	library(cowplot)
	```

	# Dados

	A seguir os dados relativos ao aluno, conforme a tabela enviada junto com as questões.

	```{r dados-iniciais-aluno, echo=F}
	A <- 100 # cm
	B <- 32 # cm
	F <- 50 # cm
	q <- 30 # kN/m
	g <- 0 # kN/m
	L <- 25 # m
	Fck <- 50 # MPa
	CP <- 175 # -
	phi <- 12.5 # mm x 7

	# exemplo slide 5
	# A <- 110 # cm
	# B <- 70 # cm
	# F <- 55 # cm
	# q <- 20 # kN/m
	# g <- 8 # kN/m
	# L <- 26 # m
	# Fck <- 50 # MPa
	# CP <- 175 # -
	# phi <- 12.5 # mm x 7
	```


	```{r dados-iniciais-problema, echo=F}
	C <- 20 # cm
	D <- 25 # cm
	E <- 10 # cm
	G <- 15 # cm
	H <- 20 # cm
	r <- 10 # cm

	# exemplo slide 5
	# C <- 15 # cm
	# D <- 30 # cm
	# E <- 15 # cm
	# G <- 5 # cm
	# H <- 20 # cm
	# r <- 10 # cm
	```


	```{r tabela-valores-iniciais, echo=F}
	dfUnits <- c("cm", "cm", "cm", "kN/m", "kN/m", "m", "MPa", "", "mm")
	colNames <- c("A", "B", "F", "q", "g", "L", "Fck", "CP", "phi")

	valores <- data.frame(
	A=A, B=B, F=F, q=q, g=g, L=L, Fck=Fck, CP=CP, phi=phi
	)

	kable(
	valores,
	"latex",
	col.names = dfUnits,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Variáveis do aluno",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits = 2
	) %>%
	add_header_above(header = colNames, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```


	## 1 - Determinar a posição do centróide ($yi$) e momento de inércia ($I$) da seção.

	```{r centroide, echo=F}

	p1 <- c(-B/2, 0)
	p2 <- c(B/2, 0)
	p3 <- c(B/2, D)
	p4 <- c(C/2, E + D)
	p5 <- c(C/2, F + E + D)
	p6 <- c(A/2, G + F + E + D)
	p7 <- c(A/2, H + G + F + E + D)
	p8 <- c(-A/2, H + G + F + E + D)
	p9 <- c(-A/2, G + F + E + D)
	p10 <- c(-C/2, F + E + D)
	p11 <- c(-C/2, E + D)
	p12 <- c(-B/2, D)

	# Coordenadas de cada vertice da seção
	coordenadas_da_seção <- rbind(
	p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12
	)

	# Cálculo do centroide
	CG <- centroid(coordenadas_da_seção)
	CG <- CG[2]
	```

	```{r inercia, echo=F}
	# Formulas
	inercia_retangulo <- function(b, h) b * h^3 / 12
	inercia_triangulo <- function(b, h) b * h^3 / 36

	# Ditâncias em Y do centro de cada figura até o eixo X (base)

	# retangulos
	y_fig_1 <- D / 2
	y_fig_2 <- (G + F + E) / 2 + D
	y_fig_3 <- H + G + F + E + D - H / 2

	# triangulos
	y_fig_4 <- E / 3 + D
	y_fig_5 <- y_fig_4
	y_fig_6 <- F + E + D + 2 * G / 3
	iy_fig_7 <- y_fig_6

	# Dados pra tabela:

	# Momentos de inércia em cm4
	momento_de_I_figuras <- c(
	inercia_retangulo(B, D), # fig 1
	inercia_retangulo(C, G + F + E), # fig 2
	inercia_retangulo(A, H), # fig 3
	inercia_triangulo(B / 2 - C / 2, E), # fig 4
	inercia_triangulo(B / 2 - C / 2, E), # fig 5
	inercia_triangulo(A / 2 - C / 2, G), # fig 6
	inercia_triangulo(A / 2 - C / 2, G) # fig 7
	)

	# áreas em cm2
	areas_figuras <- c(
	B * D, # fig 1
	C * (G + F + E), # fig 2
	A * H, # fig 3
	E * (B / 2 - C / 2) / 2, # fig 4
	E * (B / 2 - C / 2) / 2, # fig 5
	G * (A / 2 - C / 2) / 2, # fig 6
	G * (A / 2 - C / 2) / 2 # fig 7
	)

	# distância pro CG em cm
	d_figuras <- c(
	CG - (D / 2), # fig 1
	CG - ((G + F + E) / 2 + D), # fig 2
	CG - (H / 2 + G + F + E + D), # fig 3
	CG - (D + E / 3), # fig 4
	CG - (D + E / 3), # fig 5
	CG - (2 * G / 3 + F + E + D), # fig 6
	CG - (2 * G / 3 + F + E + D) # fig 7
	)

	# Tabela
	tabela_inercias <-
	data.frame(
	Ix = momento_de_I_figuras,
	Areas = areas_figuras,
	ds = abs(d_figuras)
	)
	tabela_inercias <- mutate(tabela_inercias, formula = Ix + Areas * ds^2)
	I <- sum(tabela_inercias$formula)
	tabela_inercias <- add_row(tabela_inercias, formula = I)
	```

	```{r tabela-inercias, echo=F}
	dfUnits <- c("cm4", "cm2", "cm", "cm4")
	colNames <- c("", "Ix", "Áreas", "d", "Formula")
	rownames(tabela_inercias) <- c("Fig. 1", "Fig. 2", "Fig. 3",
	"Fig. 4", "Fig. 5", "Fig. 6",
	"Fig. 7", "Somatório")

	kable(
	tabela_inercias,
	"latex",
	col.names = dfUnits,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Cálculo da inércia",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits = 2
	) %>%
	add_header_above(header = colNames, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	- Posição do centroide: $y_i = `r CG` \; cm$
	- Momento de inércia: $I = `r I` \; cm^4$

	## 2 - Determinar os momentos fletores máximos devido ao peso próprio ($M_{pp}$) e à carga acidental ($M_q$).

	<!-- Peso proprio -->

	```{r peso-proprio, echo=F}
	densidade_concreto <- 25 # kN/m3
	area_secao <- ( # m2
	A * H +
	D * B +
	C * (G + F + E) +
	E * (B / 2 - C / 2) +
	G * (A / 2 - C / 2)
	) * 10^-4
	pp <- densidade_concreto * area_secao
	```

	<!-- Momento fletor máximo devido ao peso próprio -->

	```{r Mpp, echo=F}
	Mpp <- pp * L^2 / 8
	```

	<!-- Momento fletor máximo devido a carga acidental -->

	```{r Mq, echo=F}
	Mq <- q * L^2 / 8
	```

	<!-- Momento fletor máximo devido a carga permanente -->

	```{r Mg, echo=F}
	Mg <- g * L^2 / 8
	```

	- $M_{pp} = `r Mpp` \; kN.m$
	- $M_q = `r Mq` \; kN.m$

	## 3 - Determinar a força de protenção ($P$) necessária e o número de cordoalhas necessária.

	<!-- Tensões máximas na secao mais solicitada -->

	```{r tensoes, echo=F}
	H_total <- D + E + F + G + H

	Ws <- (I / (H_total - CG)) * 10^-6 # m3
	Wi <- (I / CG) * 10^-6 # m3

	T_pp_i <- Mpp * 10^-3 / Wi # Mpa
	T_pp_s <- Mpp * 10^-3 / Ws # Mpa

	T_q_i <- Mq * 10^-3 / Wi # Mpa
	T_q_s <- Mq * 10^-3 / Ws # Mpa

	T_g_i <- Mg * 10^-3 / Wi # Mpa
	T_g_s <- Mg * 10^-3 / Ws # Mpa

	tensoes_i <- T_pp_i + T_q_i + T_g_i # Mpa
	tensoes_s <- T_pp_s + T_q_s + T_g_s # Mpa
	```

	<!-- Determinação da força de protenção nescessária -->

	```{r protencao, echo=F}
	e <- (CG - r) * 10^-2 # m
	P <- tensoes_i / (1 / area_secao + e / Wi) * 10^3 # kN
	```

	<!-- Determinação do número de cordoalhas -->

	```{r cordoalhas, echo=F}
	alongamento <- function(CP, phi){
	res <- NA
	if(CP == 175) {
	if(phi == 12.5 \| phi == 12.7) res <- 149.1
	if(phi == 15.2) res <- 219.7
	}
	if(CP == 195) {
	if(phi == 12.5 \| phi == 12.7) res <- 168.6
	if(phi == 15.2) res <- 239.2
	}
	res
	}

	Nc <- alongamento(CP, phi) / 1.15 # kn/cordoalha

	n_cordoalhas_fracao <- P / Nc
	```

	- $P = `r -P` \; kN \;(Compressão)$
	- Fração de cordoalhas: $`r n_cordoalhas_fracao`$
	- Número de cordoalhas: $`r ceiling(n_cordoalhas_fracao)`$

	## 4 - Calcular as tensões na seção de meio de vão, estimando as perdas em 10% e considerando os seguintes limites:

	<!-- Cálculos -->

	```{r momentos_nas_secoes, echo=F}

	# exemplo slide 3
	# L <- 20
	# q <- 24
	# g <- 12
	# pp <- 9
	# Wi <- 0.062
	# Ws <- 0.078
	# e <- 0.4025
	# area_secao <- 0.36
	# P <- 3674
	# perda <- 0.08

	perda <- 0.1
	Fcd <- Fck * 1.4 # MPa
	T_t_max <- 0.1 * Fck # MPa
	T_c_max_1 <- 0.5 * Fck # primeira fase # MPa
	T_c_max_2 <- Fcd # segunda fase # MPa

	n <- 10
	l <- L / n
	secoes <- 1:(n/2 + 1)
	tabela_das_secoes <- data.frame(
	s=integer(0),
	x=numeric(0),
	pp=numeric(0),
	q=numeric(0),
	g=numeric(0),
	T_i_pp=numeric(0),
	T_s_pp=numeric(0),
	T_i_q=numeric(0),
	T_s_q=numeric(0),
	T_i_P=numeric(0),
	T_s_P=numeric(0),
	T_i_pp_P=numeric(0),
	T_s_pp_P=numeric(0),
	soma_tensao_i=numeric(0),
	soma_tensao_s=numeric(0),
	atende_t=logical(0),
	atende_1=logical(0),
	atende_2=logical(0)
	)

	momento_secao_devido <- function(x, q){
	q * L * x / 2 - q * x^2 / 2
	}

	M_P <- P * (1 - perda) * e
	T_i_P <- (- P * (1 - perda) / area_secao - M_P / Wi) * 10^-3
	T_s_P <- (- P * (1 - perda) / area_secao + M_P / Ws) * 10^-3

	nova_linha <- function(s){
	x <- (s - 1) * l
	q_ <- momento_secao_devido(x, q)
	g_ <- momento_secao_devido(x, g)
	pp_ <- momento_secao_devido(x, pp)
	T_i_pp_ <- (pp_ / Wi) * 10^-3
	T_s_pp_ <- - (pp_ / Ws) * 10^-3
	T_i_q_ <- (q_ / Wi) * 10^-3
	T_s_q_ <- - (q_ / Ws) * 10^-3
	T_i_pp_P_ <- T_i_pp_ + T_i_P
	T_s_pp_P_ <- T_s_pp_ + T_s_P

	atende_t <- T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P <= T_t_max &
	T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P <= T_t_max

	atende_1 <- T_i_pp_P_ >= - T_c_max_1 &
	T_s_pp_P_ >= - T_c_max_1

	atende_2 <- - T_c_max_2 <= T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P &
	- T_c_max_2 <= T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P

	data.frame(s=s, x=x, pp=pp_, q=q_, g=g_,
	T_i_pp=T_i_pp_, T_s_pp=T_s_pp_,
	T_i_q=T_i_q_, T_s_q=T_s_q_,
	T_i_P=T_i_P, T_s_P=T_s_P,
	T_i_pp_P=T_i_pp_P_, T_s_pp_P=T_s_pp_P_,
	soma_tensao_i=T_i_pp_ + T_i_q_ + T_i_P,
	soma_tensao_s=T_s_pp_ + T_s_q_ + T_s_P,
	atende_t=ifelse(atende_t == TRUE, "Sim", "Não"),
	atende_1=ifelse(atende_1 == TRUE, "Sim", "Não"),
	atende_2=ifelse(atende_2 == TRUE, "Sim", "Não")
	)
	}

	for (k in secoes) {
	tabela_das_secoes=rbind(tabela_das_secoes,nova_linha(k))
	}

	tabela_das_secoes <- tabela_das_secoes %>%
	mutate(soma_momentos=rowSums(tabela_das_secoes[3:5]))

	```

	```{r tabela-momento-secoes, echo=F}
	dfUnits2 <- c("","m", "kNm", "kNm", "kNm", "kNm")
	colNames2 <- c("s", "x", "pp", "q", "g", "soma")

	kable(
	tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)],
	"latex",
	col.names = dfUnits2,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Momento fletor em casa seção",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits = 2
	) %>%
	add_header_above(header = colNames2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	```{r grafico-momentos, echo=F, fig.height=3}

	p1 <- tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)] %>%
	gather(tipo, momento, -c(s, x, soma_momentos)) %>%
	ggplot(aes(x, momento, col=tipo)) +
	geom_line() +
	ylab("Momento (kN.m)") +
	xlab("Distância (m)") +
	theme_bw() +
	ggtitle("Momento agrupado por tipo")

	p2 <- tabela_das_secoes[,c(1:5, 19)] %>%
	ggplot(aes(x, soma_momentos)) +
	geom_line() +
	ylab("Momento (kN.m)") +
	xlab("Distância (m)") +
	theme_bw() +
	ggtitle("Momento total no vão")

	plot_grid(p1, p2, rel_widths = c(1.2, 1))
	```

	```{r tabela-tensoes, echo=F}
	col1 <- c("","i", "s","i", "s","i", "s","i", "s", "i", "s", "tração", "fase 1", "fase 2" )
	col2 <- c("s", "pp"=2, "q"=2, "P"=2, "pp + P"=2, "soma"=2, "atende"=3)

	kable(
	tabela_das_secoes[,c(1,6:18)],
	"latex",
	col.names = col1,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Tensões inferior e superior em cada seção (MPa)",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits = 2
	) %>%
	add_header_above(header = col2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	```{r tabela-tensoes-meio, echo=F}
	col2 <- c("", "Tensões (MPa)"=2)
	col1 <- c("Ti", "Ts")

	df <- data.frame(
	Ti=c(
	tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_i_P[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp_P[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_i_q[1],
	tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_i[1],
	tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_i[1] + tabela_das_secoes[6,]$T_i_pp_P[1]
	),
	Ts=c(
	tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_s_P[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp_P[1],
	tabela_das_secoes[6,]$T_s_q[1],
	tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_s[1],
	tabela_das_secoes[6,]$soma_tensao_s[1] + tabela_das_secoes[6,]$T_s_pp_P[1]
	))

	rownames(df) <- c(
	"pp", "P", "pp + P", "q", "Soma (pp + P + q)", "Soma (pp + P + q + 'pp+P')"
	)

	kable(
	df,
	"latex",
	col.names = col1,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Tensões no meio do vão (MPa)",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits = 2
	) %>%
	add_header_above(header = col2, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```


	## 5 - Verificar as tensões na seção de meio de vão, estimando as perdas em 10% e considerando os seguintes limites:

	- Fase 1, atende? `r tabela_das_secoes[6,]$atende_1`
	- Fase 2, atende? `r tabela_das_secoes[6,]$atende_2`

	---

	## Código

	A seguir o link do código escrito para gerar esse pdf, contendo a memória de cálculo.

	[Clique aqui.](https://gist.github.com/PedroBern/71b04b1332b4c1ee8cf1fbc7f9de2c34)