PedroBern/Prestressed_Concrete_Assessment

## Prestressed_Concrete_Assessment
---
title: "A2 Concreto Protendido e Pré Moldado"
abstract: "O presente trabalho faz a especificação e memória de cálculo de lajes pré-moldadas, inclui também o esquema de cálculo de vãos e cargas das vigas e a carga que chega nas fundações para o galpão especificado. Esse relatório foi calculado e gerado de forma automatizado em um arquivo Rmd, disponível [**nesse link**](https://gist.github.com/PedroBern/a351b798003c01d54e73389a9f417f4a)."
author: |
 | Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155
 | Ygor Garcia Moreira - 20151109365
date: "27/05/2020"
output:
  pdf_document:
    number_sections: yes
    toc_depth: 2
# classoption: fleqn
header-includes:
- \renewcommand{\abstractname}{Resumo}
- \usepackage{booktabs}
- \usepackage{longtable}
- \usepackage{supertabular}
- \usepackage{array}
- \usepackage{multirow}
- \usepackage{wrapfig}
- \usepackage{colortbl}
- \usepackage{pdflscape}
- \usepackage{tabu}
- \usepackage{threeparttable}
- \usepackage[normalem]{ulem}
- \usepackage{caption}
- \usepackage{floatrow}
- \floatsetup[table]{capposition=top}
- \floatsetup[figure]{capposition=top}
- \captionsetup{options=chunk}
- \DeclareNewFloatType{chunk}{placement=H, fileext=chk, name=}
- \renewcommand{\thechunk}{\arabic{chunk}}
- \usepackage{indentfirst}
- \setlength{\parindent}{20pt}
# - \setlength{\mathindent}{40pt}
# - \usepackage{sectsty} \sectionfont{\centering}
---

```{r setup, include=FALSE, cache=F}
# Install libraries, if not already installed
if(!require(tidyverse)) install.packages("tidyverse")
if(!require(knitr)) install.packages("knitr")
if(!require(kableExtra)) install.packages("kableExtra")
if(!require(dplyr)) install.packages("dplyr")
if(!require(tidyr)) install.packages("tidyr")
# Load libraries
library(tidyverse)
library(knitr)
library(kableExtra)
library(dplyr)
library(tidyr)
# Set global options
options(pillar.sigfig = 5)
options(knitr.kable.NA = '')
opts_knit$set(eval.after = "fig.cap")
opts_chunk$set(echo = FALSE, fig.align = 'center', cache=F, prompt=F, highlight=T )
```

\renewcommand{\figurename}{Figura}
\renewcommand{\tablename}{Tabela}
\renewcommand{\contentsname}{Sumário}
\renewcommand{\listtablename}{Lista de tabelas}

\newpage
\tableofcontents
\listoftables
\newpage

# Introdução

O presente trabalho faz a especificação e memória de cálculo de lajes alveolares, inclui também o esquema de cálculo de vãos e cargas das vigas, e a carga que chega nas fundações para o galpão especificado pelo professor da disciplina.

## Dados

Dados do projeto fornecidos no enunciado.

```{r tabela-dados}

dados <- data.frame(grupo=c(9), rev=c(0.6), piso=c(5.5), ca=c(2), ponte=c(45))
header = c(
    "Grupo",
    "Revestimento (A)",
    "Piso elevado +\nEquipamentos (B)",
    "Sobrecarga\n acidental (C)",
    "Ponte rolante\n(carga + peso próprio)")
kable(
    dados,
    col.names = c("", "$kN/m^2$", "$kN/m^2$", "$kN/m^2$", "$kN$"),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Dados do projeto",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c") %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

\newpage

# Definição dos modelos de lajes

O dimensionamento das lajes alveoláres foi realizado com as tabelas disponíveis no slide da aula 5 forncecido pelo professor. O dimensionamento foi separado em duas etapas:

- Menor vão: LP12 e LP13.
- Maior vão: todas as outras lajes.

## Sobrecarga inicial

```{r lajes-sobrecarga}
Q_inicial <- dados$rev + dados$ca + dados$piso
```

Sobrecarga calculado de acordo com os dados fornecidos.

$$ Q_{inicial} = A + B + C \therefore `r dados$rev` + `r dados$piso` + `r dados$ca` \implies `r Q_inicial` kN/m^2$$

## Definição dos modelos

### Menor vão

![Esquema das lajes](laje1.jpg)

```{r lajes-menor}
l0 <- 3.4 # m
t1 <- 0.3 # m
t2 <- 0.3 # m
ht <- 0.16 # arbitrado, m
a1 <- min(t1/2, 0.3 * ht)
a2 <- min(t2/2, 0.3 * ht)
l_ef <- l0 + a1 + a2
```

- CONFERIR VALOR DE L0, T1, T2 NO DWG

$$l_0 = `r l0`m $$
$$t_1 = `r t1`m $$
$$t_2 = `r t2`m $$
$$ht = `r ht`m $$
$$a_1 \leqslant  \begin{cases}
\frac{t_1}{2} = `r t2/2`m\\
0.3Ht = `r ht * 0.3`m
\end{cases} \implies `r a1`m$$

$$a_2 \leqslant  \begin{cases}
\frac{t_2}{2} = `r t2/2`m\\
0.3Ht = `r ht * 0.3`m
\end{cases} \implies `r a2`m$$
$$l_{ef} = l_0 + a_1 + a_2 \implies `r l_ef`m $$

```{r q-menor}
pp <- 3.20
Q <- Q_inicial + pp
modelos <- data.frame(
  ids=c("12, 13"),
  modelo=c("PA1209606"),
  pp=c(pp),
  h=c(ht*100),
  Q=c(Q),
  L=c(l_ef),
  C=c(10.5),
  stringsAsFactors=FALSE)
```


A solução adotada foi a **Laje PA1209606** com capa e peso prórprio de $`r pp` kN/m^2$, altura total de $`r ht * 100` cm$.

### Maior vão

![Esquema das lajes](laje2.jpg)

```{r lajes-maior}
l0 <- 10.5 # m
t1 <- 0.3 # m
t2 <- 0.3 # m
ht <- 0.35 # arbitrado, m
a1 <- min(t1/2, 0.3 * ht)
a2 <- min(t2/2, 0.3 * ht)
l_ef <- l0 + a1 + a2
```

- CONFERIR VALOR DE L0, T1, T2 NO DWG

$$l_0 = `r l0`m $$
$$t_1 = `r t1`m $$
$$t_2 = `r t2`m $$
$$ht = `r ht`m $$
$$a_1 \leqslant  \begin{cases}
\frac{t_1}{2} = `r t2/2`m\\
0.3Ht = `r ht * 0.3`m
\end{cases} \implies `r a1`m$$

$$a_2 \leqslant  \begin{cases}
\frac{t_2}{2} = `r t2/2`m\\
0.3Ht = `r ht * 0.3`m
\end{cases} \implies `r a2`m$$

$$l_{ef} = l_0 + a_1 + a_2 \implies `r l_ef`m $$


```{r q-maior}
pp <- 5.20
Q <- Q_inicial + pp
modelos[nrow(modelos) + 1,] = c(
  "4, 5, 6, 9, 10, 11","PE3012709", pp, ht*100, Q, l_ef, 10.5 * 2)
modelos[nrow(modelos) + 1,] = c(
  "1, 2, 3, 7, 8","PE3012709", pp, ht*100, Q, l_ef, 17.60)
```

A solução adotada foi a **Laje PE3012709** com capa e peso prórprio de $`r pp` kN/m^2$, altura total de $`r ht * 100` cm$.

## Modelos adotados

```{r modelos-lajes}

header = c(
    "Lajes"=1,
    "Modelo"=1,
    "$\\pp$"=1,
    "$\\h$"=1,
    "$\\Q$"=1,
    "$\\l_{ef}$"=1,
    "Comprimento"=1)
kable(
    modelos,
    col.names = c("", "", "$kN/m^2$", "$cm$", "$kN/m^2$", "$m$", "m"),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Modelos adotados de lajes",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
    add_footnote(c(
        "$Q = Q_{inicial} + pp_{laje}$"
        ), notation = "none", escape = F)
```

\newpage

# Cálculo das reações de apoio das lajes

As reações de apoio das lajes foram calculadas para três casos, definidos a seguir:

- Vão de $3.4m$
- Vão de $10.5m$
- Vão de $9.35m$


```{r carga_vigas}
# são 8 vigas
q_vigas <- c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
```

## Vão de $3.4m$

<!-- ![Esquema das lajes](laje1.jpg) -->

```{r apoio-menor}
L2 <- 10.5 # m
L1 <- 3.4 # m
a_laje <- L1 * L2
R <- a_laje * Q
R_viga <- R/2
q <- Q * L1 / 2
q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

q_vigas[8]<- q
q_vigas[1] <- q_lateral
```

- CONFERIR L1, L2 NO DWG

$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
$$L_1 = `r L1`m$$
$$L_2 = `r L2`m$$
<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

## Vão de $10.5m$

<!-- ![Esquema das lajes](laje4.jpg) -->

```{r apoio-maior}
L2 <- 10.5 # m
L1 <- 10.5 # m
a_laje <- L1 * L2
R <- a_laje * Q
R_viga <- R/2
q <- Q * L1 / 2
q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

q_vigas[3] <- q
q_vigas[7] <- q_lateral
```

- CONFERIR L1, L2 NO DWG

$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
$$L_1 = `r L1`m$$
$$L_2 = `r L2`m$$
<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

## Vão de $9.35m$

<!-- ![Esquema das lajes](laje5.jpg) -->

```{r apoio-maior-3}
L2 <- 7.1 # m
L1 <- 9.35 # m
a_laje <- L1 * L2
R <- a_laje * Q
R_viga <- R/2
q <- Q * L1 / 2
q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

q_vigas[8] <- q_vigas[8] + q_lateral
q_vigas[2] <- q
q_vigas[4] <- q
q_vigas[5] <- q
```

- CONFERIR L1, L2 NO DWG

$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
$$L_1 = `r L1`m$$
$$L_2 = `r L2`m$$
<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

\newpage

# Vigas

O projeto possui $8$ tipos de vigas diferentes apresentadas na tabela \ref{tab:tipos-vigas}. Todas as vigas são biapoiadas e o momento máximo ocorre no meio do vão, logo todos os momentos fletores máximos foram calculados com a seguinte equação:

$$M_{max}^+ = \frac{Q \cdot l_{vão}^2}{8}$$

Para a situação de içamento, os momentos máximos negativo e positivo foram considerados calculando as duas reações de apoio do guindaste com balanço sendo o menor valor entre $1m$ e $1/6$ do vão, com as seguintes equações:

$$Mk_{içamento}^- = \frac{pp \cdot l_{balanço}^2}{2}$$
$$Mk_{içamento}^+ =  R \cdot \bigg( \frac{l_{vão}}{2}-l_{balanço} \bigg) - \frac{pp \cdot l_{vão}^2}{8}$$
$$R = \frac{pp \cdot l_{vão}}{2}$$

$$l_{balanço} \leq \begin{cases} 1m \\
\frac{l_{vão}}{6}
\end{cases}$$

**O esquema das vigas nos dois cálculos está disponível na prancha em anexo**.

```{r tipos-vigas}
vigas <- data.frame(
  viga=1:8,
  comprimento=c(3.40, 7.10, 10.50, 7.10, 10.50, 7.10, 10.50, 10.50),
  largura=c(0.3,0.3,0.3,0.25,0.25,0.3,0.3,0.3),
  altura=c(0.675, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.675),
  carga_de_lajes=q_vigas
)

vigas <- vigas %>% mutate(pp =  largura * altura * 25)
vigas <- vigas %>% mutate(Q =  pp + carga_de_lajes)
vigas <- vigas %>% mutate(Mk =  Q * comprimento**2 / 8)
vigas <- vigas %>% mutate(Md =  Mk * 1.4)
vigas <- vigas %>% mutate(R =  pp * comprimento / 2)
vigas <- vigas %>% mutate(l_balanco =  pmin(comprimento / 6, 1))
vigas <- vigas %>% mutate(Mk_ic_min =  pp * l_balanco^2 / 2)
vigas <- vigas %>% mutate(Mk_ic_max = R * (comprimento/2 - l_balanco) - pp * comprimento^2 / 8)


header <- c(
    "Viga",
    "$\\l_{vão}$",
    "$\\b$",
    "$\\h$",
    "$\\Q_{laje}$",
    "$\\pp$",
    "$\\Q$",
    "$\\M_k^+$",
    "$\\M_d^+$",
    "$\\R$",
    "$\\l_{balanço}$",
    "$\\M_k^-$",
    "$\\M_k^+$"
    )
header2 <- c(
  " " = 10,
  "Içamento" = 3
)
kable(
    vigas,
    col.names = c( "", "$m$", "$m$", "$m$", "$kN/m$", "$kN/m$", "$kN/m$", "$kN.m$", "$kN.m$","kN" ,"$m$", "$kN.m$", "$kN.m$"),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Cáculo das vigas",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits=c(2,2,2,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2)
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape = F) %>%
  add_header_above(header = header2, line = T, align = "c", escape = F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position", "scale_down"))
```

\newpage

# Pilares

<!-- A carga em cada pilar foi calculada somando os valores de reações de apoio ($R$) das vigas que chegam em cada pilar, junto com o valor da ponte rolante disponível nos dados do trabalho, quando aplicável. -->

A origem e número de reações em cada pilar proveniente de cada viga é apresentada na tabela \ref{tab:pilares}, com matriz $M_1$.

```{r pilares}

# pilares <- data.frame(
#   pilar = 1:12,
#
# )

# pilares_matrix <- matrix(
#   c(
#     vigas[1,]$R,0,0,0,0,0,0,0,vigas[8,]$R,
#     vigas[1,]$R,vigas[2,]$R,0,0,0,0,0,0,vigas[8,]$R,
#     0,vigas[2,]$R,vigas[3,]$R,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,vigas[3,]$R * 2,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,vigas[3,]$R * 2,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,vigas[3,]$R,0,0,vigas[7,]$R,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0,
#     0,0,0,0,0,0,0,0,0
#   ),
#   nrow = 12,
#   ncol = 9)

pilares_matrix <- matrix(
  c(
  # 1,2,3,4,5,6,7,8,PR
    1,0,0,0,0,0,0,1,0, # 1
    1,1,0,0,0,0,0,1,0, # 2
    0,1,1,0,0,0,0,0,0, # 3
    0,0,2,0,0,0,0,0,0, # 4
    0,0,2,0,0,0,0,0,0, # 5
    0,0,1,0,0,1,0,0,0, # 6
    1,0,0,0,0,0,0,1,0, # 7
    1,0,0,1,0,0,1,0,1, # 8
    0,0,1,1,0,1,0,0,1, # 9
    0,0,1,0,1,0,1,0,1, # 10
    0,0,1,0,1,0,1,0,1, # 11
    0,0,1,0,0,0,1,0,0  # 12
  ),
  nrow = 12,
  ncol = 9,
  byrow=TRUE)

rownames(pilares_matrix) <- paste0("P", seq(1:12))
colnames(pilares_matrix) <- c(paste0("V", seq(1:8)), "PR")

kable(
    pilares_matrix,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Matriz $M_1$: Número e origem de reações em cada pilar",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

Fazendo a multiplicação da matriz $M_1^t$ (matriz transposta) pela coluna das reações da tabela \ref{tab:tipos-vigas} (adicionando o valor da ponte volante na linha 9), com a equação seguinte, obtemos os valores de reações em cada pilar apresentados na tabela \ref{tab:pilares-2}. Após esse cálculo, foi adicionado a coluna do somatório $R$ em cada pilar.

$$M_2^t = M_1^t \times R$$

```{r pilares-2}
Rs <- c(vigas$R, dados$ponte)
R_pilares <- t(t(pilares_matrix) * Rs)

R_pilares_df <- as.data.frame(R_pilares)
R_pilares_df <- R_pilares_df %>% mutate(R = rowSums(.))

rownames(R_pilares_df) <- paste0("P", 1:12)

kable(
    R_pilares_df,
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Matriz $M_2$: Carga em cada pilar em $kN$",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c",
    digits=2
    ) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
    column_spec(11, width="3cm", bold=T)
```

\newpage

# Conclusão

Foram definidos dois modelos de lajes diferentes, com esses modelos, foram obtidas as reações que chegam nas vigas. Nas vigas, foram calculados os momentos máximos no meio do vão e também foram calculados os momentos máximos e mínimos durante o içamento, assim como foi definido o comprimento do balanço. Para finalizar, foi realizado o somatório das reações que chegam em cada pilar, definindo a carga que chega em cada fundação.
	---
	title: "A2 Concreto Protendido e Pré Moldado"
	abstract: "O presente trabalho faz a especificação e memória de cálculo de lajes pré-moldadas, inclui também o esquema de cálculo de vãos e cargas das vigas e a carga que chega nas fundações para o galpão especificado. Esse relatório foi calculado e gerado de forma automatizado em um arquivo Rmd, disponível [nesse link](https://gist.github.com/PedroBern/a351b798003c01d54e73389a9f417f4a)."
	author: \|
	\| Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155
	\| Ygor Garcia Moreira - 20151109365
	date: "27/05/2020"
	output:
	pdf_document:
	number_sections: yes
	toc_depth: 2
	# classoption: fleqn
	header-includes:
	- \renewcommand{\abstractname}{Resumo}
	- \usepackage{booktabs}
	- \usepackage{longtable}
	- \usepackage{supertabular}
	- \usepackage{array}
	- \usepackage{multirow}
	- \usepackage{wrapfig}
	- \usepackage{colortbl}
	- \usepackage{pdflscape}
	- \usepackage{tabu}
	- \usepackage{threeparttable}
	- \usepackage[normalem]{ulem}
	- \usepackage{caption}
	- \usepackage{floatrow}
	- \floatsetup[table]{capposition=top}
	- \floatsetup[figure]{capposition=top}
	- \captionsetup{options=chunk}
	- \DeclareNewFloatType{chunk}{placement=H, fileext=chk, name=}
	- \renewcommand{\thechunk}{\arabic{chunk}}
	- \usepackage{indentfirst}
	- \setlength{\parindent}{20pt}
	# - \setlength{\mathindent}{40pt}
	# - \usepackage{sectsty} \sectionfont{\centering}
	---

	```{r setup, include=FALSE, cache=F}
	# Install libraries, if not already installed
	if(!require(tidyverse)) install.packages("tidyverse")
	if(!require(knitr)) install.packages("knitr")
	if(!require(kableExtra)) install.packages("kableExtra")
	if(!require(dplyr)) install.packages("dplyr")
	if(!require(tidyr)) install.packages("tidyr")
	# Load libraries
	library(tidyverse)
	library(knitr)
	library(kableExtra)
	library(dplyr)
	library(tidyr)
	# Set global options
	options(pillar.sigfig = 5)
	options(knitr.kable.NA = '')
	opts_knit$set(eval.after = "fig.cap")
	opts_chunk$set(echo = FALSE, fig.align = 'center', cache=F, prompt=F, highlight=T )
	```

	\renewcommand{\figurename}{Figura}
	\renewcommand{\tablename}{Tabela}
	\renewcommand{\contentsname}{Sumário}
	\renewcommand{\listtablename}{Lista de tabelas}

	\newpage
	\tableofcontents
	\listoftables
	\newpage

	# Introdução

	O presente trabalho faz a especificação e memória de cálculo de lajes alveolares, inclui também o esquema de cálculo de vãos e cargas das vigas, e a carga que chega nas fundações para o galpão especificado pelo professor da disciplina.

	## Dados

	Dados do projeto fornecidos no enunciado.

	```{r tabela-dados}

	dados <- data.frame(grupo=c(9), rev=c(0.6), piso=c(5.5), ca=c(2), ponte=c(45))
	header = c(
	"Grupo",
	"Revestimento (A)",
	"Piso elevado +\nEquipamentos (B)",
	"Sobrecarga\n acidental (C)",
	"Ponte rolante\n(carga + peso próprio)")
	kable(
	dados,
	col.names = c("", "$kN/m^2$", "$kN/m^2$", "$kN/m^2$", "$kN$"),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Dados do projeto",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c") %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	\newpage

	# Definição dos modelos de lajes

	O dimensionamento das lajes alveoláres foi realizado com as tabelas disponíveis no slide da aula 5 forncecido pelo professor. O dimensionamento foi separado em duas etapas:

	- Menor vão: LP12 e LP13.
	- Maior vão: todas as outras lajes.

	## Sobrecarga inicial

	```{r lajes-sobrecarga}
	Q_inicial <- dados$rev + dados$ca + dados$piso
	```

	Sobrecarga calculado de acordo com os dados fornecidos.

	$$ Q_{inicial} = A + B + C \therefore `r dados$rev` + `r dados$piso` + `r dados$ca` \implies `r Q_inicial` kN/m^2$$

	## Definição dos modelos

	### Menor vão

	![Esquema das lajes](laje1.jpg)

	```{r lajes-menor}
	l0 <- 3.4 # m
	t1 <- 0.3 # m
	t2 <- 0.3 # m
	ht <- 0.16 # arbitrado, m
	a1 <- min(t1/2, 0.3 * ht)
	a2 <- min(t2/2, 0.3 * ht)
	l_ef <- l0 + a1 + a2
	```

	- CONFERIR VALOR DE L0, T1, T2 NO DWG

	$$l_0 = `r l0`m $$
	$$t_1 = `r t1`m $$
	$$t_2 = `r t2`m $$
	$$ht = `r ht`m $$
	$$a_1 \leqslant \begin{cases}
	\frac{t_1}{2} = `r t2/2`m\\
	0.3Ht = `r ht * 0.3`m
	\end{cases} \implies `r a1`m$$

	$$a_2 \leqslant \begin{cases}
	\frac{t_2}{2} = `r t2/2`m\\
	0.3Ht = `r ht * 0.3`m
	\end{cases} \implies `r a2`m$$
	$$l_{ef} = l_0 + a_1 + a_2 \implies `r l_ef`m $$

	```{r q-menor}
	pp <- 3.20
	Q <- Q_inicial + pp
	modelos <- data.frame(
	ids=c("12, 13"),
	modelo=c("PA1209606"),
	pp=c(pp),
	h=c(ht*100),
	Q=c(Q),
	L=c(l_ef),
	C=c(10.5),
	stringsAsFactors=FALSE)
	```


	A solução adotada foi a Laje PA1209606 com capa e peso prórprio de $`r pp` kN/m^2$, altura total de $`r ht * 100` cm$.

	### Maior vão

	![Esquema das lajes](laje2.jpg)

	```{r lajes-maior}
	l0 <- 10.5 # m
	t1 <- 0.3 # m
	t2 <- 0.3 # m
	ht <- 0.35 # arbitrado, m
	a1 <- min(t1/2, 0.3 * ht)
	a2 <- min(t2/2, 0.3 * ht)
	l_ef <- l0 + a1 + a2
	```

	- CONFERIR VALOR DE L0, T1, T2 NO DWG

	$$l_0 = `r l0`m $$
	$$t_1 = `r t1`m $$
	$$t_2 = `r t2`m $$
	$$ht = `r ht`m $$
	$$a_1 \leqslant \begin{cases}
	\frac{t_1}{2} = `r t2/2`m\\
	0.3Ht = `r ht * 0.3`m
	\end{cases} \implies `r a1`m$$

	$$a_2 \leqslant \begin{cases}
	\frac{t_2}{2} = `r t2/2`m\\
	0.3Ht = `r ht * 0.3`m
	\end{cases} \implies `r a2`m$$

	$$l_{ef} = l_0 + a_1 + a_2 \implies `r l_ef`m $$


	```{r q-maior}
	pp <- 5.20
	Q <- Q_inicial + pp
	modelos[nrow(modelos) + 1,] = c(
	"4, 5, 6, 9, 10, 11","PE3012709", pp, ht100, Q, l_ef, 10.5 2)
	modelos[nrow(modelos) + 1,] = c(
	"1, 2, 3, 7, 8","PE3012709", pp, ht*100, Q, l_ef, 17.60)
	```

	A solução adotada foi a Laje PE3012709 com capa e peso prórprio de $`r pp` kN/m^2$, altura total de $`r ht * 100` cm$.

	## Modelos adotados

	```{r modelos-lajes}

	header = c(
	"Lajes"=1,
	"Modelo"=1,
	"$\\pp$"=1,
	"$\\h$"=1,
	"$\\Q$"=1,
	"$\\l_{ef}$"=1,
	"Comprimento"=1)
	kable(
	modelos,
	col.names = c("", "", "$kN/m^2$", "$cm$", "$kN/m^2$", "$m$", "m"),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Modelos adotados de lajes",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
	add_footnote(c(
	"$Q = Q_{inicial} + pp_{laje}$"
	), notation = "none", escape = F)
	```

	\newpage

	# Cálculo das reações de apoio das lajes

	As reações de apoio das lajes foram calculadas para três casos, definidos a seguir:

	- Vão de $3.4m$
	- Vão de $10.5m$
	- Vão de $9.35m$


	```{r carga_vigas}
	# são 8 vigas
	q_vigas <- c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
	```

	## Vão de $3.4m$

	<!-- ![Esquema das lajes](laje1.jpg) -->

	```{r apoio-menor}
	L2 <- 10.5 # m
	L1 <- 3.4 # m
	a_laje <- L1 * L2
	R <- a_laje * Q
	R_viga <- R/2
	q <- Q * L1 / 2
	q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

	q_vigas[8]<- q
	q_vigas[1] <- q_lateral
	```

	- CONFERIR L1, L2 NO DWG

	$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
	$$L_1 = `r L1`m$$
	$$L_2 = `r L2`m$$
	<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
	<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
	<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
	$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
	$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

	## Vão de $10.5m$

	<!-- ![Esquema das lajes](laje4.jpg) -->

	```{r apoio-maior}
	L2 <- 10.5 # m
	L1 <- 10.5 # m
	a_laje <- L1 * L2
	R <- a_laje * Q
	R_viga <- R/2
	q <- Q * L1 / 2
	q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

	q_vigas[3] <- q
	q_vigas[7] <- q_lateral
	```

	- CONFERIR L1, L2 NO DWG

	$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
	$$L_1 = `r L1`m$$
	$$L_2 = `r L2`m$$
	<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
	<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
	<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
	$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
	$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

	## Vão de $9.35m$

	<!-- ![Esquema das lajes](laje5.jpg) -->

	```{r apoio-maior-3}
	L2 <- 7.1 # m
	L1 <- 9.35 # m
	a_laje <- L1 * L2
	R <- a_laje * Q
	R_viga <- R/2
	q <- Q * L1 / 2
	q_lateral <- 0.25 * Q * L2 / 2

	q_vigas[8] <- q_vigas[8] + q_lateral
	q_vigas[2] <- q
	q_vigas[4] <- q
	q_vigas[5] <- q
	```

	- CONFERIR L1, L2 NO DWG

	$$Q = Q_{pp} + Q_{inicial} \therefore `r pp` + `r Q_inicial` \implies `r Q`kN/m^2$$
	$$L_1 = `r L1`m$$
	$$L_2 = `r L2`m$$
	<!-- $$A_{laje} = L_1 \times L_2 \implies`r a_laje`m^2$$ -->
	<!-- $$R = Q \times A_{Laje} \therefore `r Q` \times `r a_laje` \implies `r R`kN$$ -->
	<!-- $$R_{viga} = R/2 \implies `r R_viga`kN$$ -->
	$$q = QL_1/2 \therefore `r Q`\times `r L1`/2 \implies `r q` kN/m$$
	$$q_{lateral} = 0.25QL_2/2 \therefore 0.25 \times`r Q`\times`r L2`/2 \implies `r q_lateral` kN/m$$

	\newpage

	# Vigas

	O projeto possui $8$ tipos de vigas diferentes apresentadas na tabela \ref{tab:tipos-vigas}. Todas as vigas são biapoiadas e o momento máximo ocorre no meio do vão, logo todos os momentos fletores máximos foram calculados com a seguinte equação:

	$$M_{max}^+ = \frac{Q \cdot l_{vão}^2}{8}$$

	Para a situação de içamento, os momentos máximos negativo e positivo foram considerados calculando as duas reações de apoio do guindaste com balanço sendo o menor valor entre $1m$ e $1/6$ do vão, com as seguintes equações:

	$$Mk_{içamento}^- = \frac{pp \cdot l_{balanço}^2}{2}$$
	$$Mk_{içamento}^+ = R \cdot \bigg( \frac{l_{vão}}{2}-l_{balanço} \bigg) - \frac{pp \cdot l_{vão}^2}{8}$$
	$$R = \frac{pp \cdot l_{vão}}{2}$$

	$$l_{balanço} \leq \begin{cases} 1m \\
	\frac{l_{vão}}{6}
	\end{cases}$$

	O esquema das vigas nos dois cálculos está disponível na prancha em anexo.

	```{r tipos-vigas}
	vigas <- data.frame(
	viga=1:8,
	comprimento=c(3.40, 7.10, 10.50, 7.10, 10.50, 7.10, 10.50, 10.50),
	largura=c(0.3,0.3,0.3,0.25,0.25,0.3,0.3,0.3),
	altura=c(0.675, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.685, 0.675),
	carga_de_lajes=q_vigas
	)

	vigas <- vigas %>% mutate(pp = largura * altura * 25)
	vigas <- vigas %>% mutate(Q = pp + carga_de_lajes)
	vigas <- vigas %>% mutate(Mk = Q * comprimento**2 / 8)
	vigas <- vigas %>% mutate(Md = Mk * 1.4)
	vigas <- vigas %>% mutate(R = pp * comprimento / 2)
	vigas <- vigas %>% mutate(l_balanco = pmin(comprimento / 6, 1))
	vigas <- vigas %>% mutate(Mk_ic_min = pp * l_balanco^2 / 2)
	vigas <- vigas %>% mutate(Mk_ic_max = R * (comprimento/2 - l_balanco) - pp * comprimento^2 / 8)


	header <- c(
	"Viga",
	"$\\l_{vão}$",
	"$\\b$",
	"$\\h$",
	"$\\Q_{laje}$",
	"$\\pp$",
	"$\\Q$",
	"$\\M_k^+$",
	"$\\M_d^+$",
	"$\\R$",
	"$\\l_{balanço}$",
	"$\\M_k^-$",
	"$\\M_k^+$"
	)
	header2 <- c(
	" " = 10,
	"Içamento" = 3
	)
	kable(
	vigas,
	col.names = c( "", "$m$", "$m$", "$m$", "$kN/m$", "$kN/m$", "$kN/m$", "$kN.m$", "$kN.m$","kN" ,"$m$", "$kN.m$", "$kN.m$"),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Cáculo das vigas",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits=c(2,2,2,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2)
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape = F) %>%
	add_header_above(header = header2, line = T, align = "c", escape = F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position", "scale_down"))
	```

	\newpage

	# Pilares

	<!-- A carga em cada pilar foi calculada somando os valores de reações de apoio ($R$) das vigas que chegam em cada pilar, junto com o valor da ponte rolante disponível nos dados do trabalho, quando aplicável. -->

	A origem e número de reações em cada pilar proveniente de cada viga é apresentada na tabela \ref{tab:pilares}, com matriz $M_1$.

	```{r pilares}

	# pilares <- data.frame(
	# pilar = 1:12,
	#
	# )

	# pilares_matrix <- matrix(
	# c(
	# vigas[1,]$R,0,0,0,0,0,0,0,vigas[8,]$R,
	# vigas[1,]$R,vigas[2,]$R,0,0,0,0,0,0,vigas[8,]$R,
	# 0,vigas[2,]$R,vigas[3,]$R,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,vigas[3,]$R * 2,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,vigas[3,]$R * 2,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,vigas[3,]$R,0,0,vigas[7,]$R,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0,
	# 0,0,0,0,0,0,0,0,0
	# ),
	# nrow = 12,
	# ncol = 9)

	pilares_matrix <- matrix(
	c(
	# 1,2,3,4,5,6,7,8,PR
	1,0,0,0,0,0,0,1,0, # 1
	1,1,0,0,0,0,0,1,0, # 2
	0,1,1,0,0,0,0,0,0, # 3
	0,0,2,0,0,0,0,0,0, # 4
	0,0,2,0,0,0,0,0,0, # 5
	0,0,1,0,0,1,0,0,0, # 6
	1,0,0,0,0,0,0,1,0, # 7
	1,0,0,1,0,0,1,0,1, # 8
	0,0,1,1,0,1,0,0,1, # 9
	0,0,1,0,1,0,1,0,1, # 10
	0,0,1,0,1,0,1,0,1, # 11
	0,0,1,0,0,0,1,0,0 # 12
	),
	nrow = 12,
	ncol = 9,
	byrow=TRUE)

	rownames(pilares_matrix) <- paste0("P", seq(1:12))
	colnames(pilares_matrix) <- c(paste0("V", seq(1:8)), "PR")

	kable(
	pilares_matrix,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Matriz $M_1$: Número e origem de reações em cada pilar",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	Fazendo a multiplicação da matriz $M_1^t$ (matriz transposta) pela coluna das reações da tabela \ref{tab:tipos-vigas} (adicionando o valor da ponte volante na linha 9), com a equação seguinte, obtemos os valores de reações em cada pilar apresentados na tabela \ref{tab:pilares-2}. Após esse cálculo, foi adicionado a coluna do somatório $R$ em cada pilar.

	$$M_2^t = M_1^t \times R$$

	```{r pilares-2}
	Rs <- c(vigas$R, dados$ponte)
	R_pilares <- t(t(pilares_matrix) * Rs)

	R_pilares_df <- as.data.frame(R_pilares)
	R_pilares_df <- R_pilares_df %>% mutate(R = rowSums(.))

	rownames(R_pilares_df) <- paste0("P", 1:12)

	kable(
	R_pilares_df,
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Matriz $M_2$: Carga em cada pilar em $kN$",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c",
	digits=2
	) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
	column_spec(11, width="3cm", bold=T)
	```

	\newpage

	# Conclusão

	Foram definidos dois modelos de lajes diferentes, com esses modelos, foram obtidas as reações que chegam nas vigas. Nas vigas, foram calculados os momentos máximos no meio do vão e também foram calculados os momentos máximos e mínimos durante o içamento, assim como foi definido o comprimento do balanço. Para finalizar, foi realizado o somatório das reações que chegam em cada pilar, definindo a carga que chega em cada fundação.