PedroBern/Bridges_Assessment_2_PT.Rmd

## Bridges_Assessment_2_PT.Rmd
---
title: "Pontes - A2 - Trabalhos 1, 2 e 3"
author:
- "Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155"
date: "11/06/2020"
abstract: "Desenvolvimento dos trabalhos 1, 2 e 3 de pontes. Esse relatório foi gerado com um arquivo *Rmd* que se encontra disponível [**nesse link**](https://gist.github.com/PedroBern/ea407b57f7c9fb22d34cd5666e1d7a86)."
output:
  pdf_document:
    number_sections: yes
header-includes:
- \renewcommand{\abstractname}{Resumo}
- \usepackage{booktabs}
- \usepackage{longtable}
- \usepackage{supertabular}
- \usepackage{array}
- \usepackage{multirow}
- \usepackage{wrapfig}
- \usepackage{colortbl}
- \usepackage{pdflscape}
- \usepackage{tabu}
- \usepackage{threeparttable}
- \usepackage[normalem]{ulem}
- \usepackage{caption}
- \usepackage{floatrow}
- \floatsetup[table]{capposition=top}
- \floatsetup[figure]{capposition=top}
- \captionsetup{options=chunk}
- \DeclareNewFloatType{chunk}{placement=H, fileext=chk, name=}
- \renewcommand{\thechunk}{\arabic{chunk}}
- \usepackage{indentfirst}
- \setlength{\parindent}{20pt}
# - \setlength{\mathindent}{40pt}
---

```{r setup, include=FALSE, cache=F}
# Install libraries, if not already installed
if(!require(knitr)) install.packages("knitr")
if(!require(kableExtra)) install.packages("kableExtra")
# Load libraries
library(knitr)
library(kableExtra)
# Set global options
opts_chunk$set(echo = FALSE, fig.align = 'center', cache=F, prompt=F, highlight=T )
```

\renewcommand{\figurename}{Figura}
\renewcommand{\tablename}{Tabela}
\renewcommand{\contentsname}{Sumário}
\tableofcontents
\newpage

# Trabalho 1

## Enunciado

Determine o momento fletor $M_{xm}$ referente ao dimensionamento do tabuleiro da ponte e determine as áreas de aço.

## Dados

Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

```{r tabela-dados}

dados <- data.frame(
    X=c(5),
    Y=c(20),
    Z=c(30),
    R=c(0.55),
    Lx=c(3),
    Ly=c("$\\infty$"),
    a=c(30),
    b=c(50),
    C=c(2.5),
    Fck=c(40),
    CA=c(50)
    )
header = c("X", "Y","Z","R","Lx","Ly","a", "b","C", "Fck", "CA")
kable(
    dados,
    col.names = c("$cm$", "$cm$", "$tf$", "$tf/m^2$", "$m$", "$m$","$cm$", "$cm$","$cm$", "$MPa$", "$kgf/mm^2$"),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Dados do trabalho 1",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c") %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
    add_footnote(c(
        "X = espessura do asfalto",
        "Y = espessura do concreto",
        "Z = carga do TB",
        "R = carga distribuida do TB",
        "Lx = largura da ponte",
        "Ly = comprimento da ponte",
        "a = largura da área de contato da roda",
        "b = comprimento da área de contato da roda",
        "C = cobrimento da laje",
        "Fck = resistência do concreto",
        "CA = categoria do aço"
        ), notation = "none")
```

## Desenvolvimento

### $t'$ e $t$

```{r t-linha}
t_linha <- sqrt(dados$a * dados$b)
t <- t_linha + 2 * dados$X + dados$Y
```

$$t' = \sqrt{a \cdot b}$$
$$t = t' + 2e + h \: \implies \: \sqrt{a \cdot b} + 2X + Y$$
$$t = \sqrt{`r dados$a` \cdot `r dados$b`} + 2 \cdot `r dados$X` + `r dados$X` \: \therefore \: `r t`\;cm$$


### $g$

```{r pesos}
gamma_conc <- 2.5
gamma_asf <- 2.4
peso_laj <- dados$Y / 100 * gamma_conc
peso_pav <- dados$X / 100 * gamma_asf
g <- peso_laj + peso_pav
glx2 <- g * dados$Lx^2
```

$$ peso \: da \: laje = h_{laje} \cdot \gamma_{concreto} \: \implies \: `r dados$Y/100` \cdot `r gamma_conc` \: \therefore \: `r peso_laj`\;tf/m^2$$
$$ peso \: do \: pavimento = h_{asfalto} \cdot \gamma_{asfalto} \: \implies \: `r dados$X/100` \cdot `r gamma_asf` \: \therefore \: `r peso_pav`\;tf/m^2$$
$$g = peso \: da \: laje + peso \: do \: pavimento \: \therefore \: `r g`\;tf/m^2`$$
$$g \cdot lx^2 \: \implies \: `r g` \cdot `r dados$Lx`^2 \: \therefore \: `r glx2`\;tf$$

### Momento devido a carga permanente ($M_{xm,permanente}$)

```{r momentos_p}
k_mxm <- 0.0625
k_mym <- 0.0078
mxm_p <- k_mxm * glx2
mym_p <- k_mym * glx2
```

$$Pela\;tabela \;24:$$
$$M = k \cdot g\cdot lx^2 \; \implies M = `r glx2`k$$
$$M_{xm,permanente} \; \implies \; k = `r k_mxm` \; \implies\; `r glx2` \cdot `r k_mxm` = `r mxm_p`\;tf.m/m$$
<!-- $$M_{ym,permanente} \; \implies \; k = `r k_mym` \; \implies\; `r glx2` \cdot `r k_mym` = `r mym_p`\;tf.m/m$$ -->

### Momento devido a carga móvel na tabela ($M_{xm,tabela}$)

```{r momentos_m}
a <- 2
lxa <- dados$Lx / a
ta <- t / 100 / a
```

$$lx/a = `r dados$Lx` / `r a` \: \therefore \: `r lxa`$$
$$t/a = `r t/100` / `r a` \: \therefore \: `r ta`$$

Pela tabela 24, será necessário fazer a interpolação dos valores para econtrar o $M_{xm}$.

![$M_{xm}$ na tabela 24](tabela.jpg){width=375px}

&nbsp;

```{r interpolacao, echo=T}
interpolate <- function(a1, a2, b1, b2, c1){
    a2 + (b2 - a2) * (c1 - a1) / (b1 - a1)
}
mxm_m <- interpolate(0.25, 0.290, 0.5, 0.255, ta)
```

$$M_{xm,tabela} = `r mxm_m`\;tf.m/m$$

### Momento devido a carga móvel ($M_{xm,móvel}$)

```{r mxm-final}
roda <- dados$Z / 6
mp <- 0
mp_linha <- 0.20
q <- 0.5
CIV <- 1.35
faixas <- 1
CIF <- max(1 - 0.05*(faixas-2),0.9)
CIA <- 1.25
mxm <- (CIV * CIF * CIA) * (roda * mxm_m + mp * q + mp_linha * q)
```

$$M_{xm} = (CIV \cdot CIF \cdot CIA) \cdot (P_{roda} \cdot M_{xm,tabela} + M_{p} \cdot q + M_{p}' \cdot q)$$
$$q = 0.5\;tf$$
$$P_{roda} = TB/6 \:\implies\: `r dados$Z`/6 \: \therefore \: `r roda`\;tf$$
$$Pela\:tabela\:24,\:para\:lx/a = `r lxa` \begin{cases} M_p = `r mp`\\
M_{p}' = `r mp_linha`\end{cases}$$
$$Pela\:NBR\:7188  \begin{cases}
CIV = `r CIV`\:(vão\:menor\:que\:10m)\\
CIF = 1 - 0.05(n-2) > 0.9 \:\implies\:n = `r faixas` \:\implies\: CIF = `r CIF`\\
CIA = 1.25\:(obras\:de\:concreto)
\end{cases}$$
$$M_{xm,móvel} = (`r CIV` \cdot `r CIF` \cdot `r CIA`) \cdot(`r roda` \cdot `r mxm_m` + `r mp` \cdot `r q` + `r mp_linha` \cdot `r q`) \; \therefore \; `r mxm` \; tf.m/m$$

### Momento majorado ($M_{sd})$

```{r msd}
gamma_g <- 1.35
gamma_q <- 1.5
Msd <- gamma_g * mxm_p + gamma_q * mxm
```

$$M_{sd} = \gamma_g \cdot M_{xm,permanente} + \gamma_q \cdot M_{xm, móvel} \:\implies\: `r gamma_g` \cdot `r mxm_p` + `r gamma_q` \cdot `r mxm`\:\therefore\: `r Msd`\;tf.m/m$$

### Altura útil da laje ($d_{útil}$)

```{r d-util}
h <- dados$Y
c <- dados$C
phi_x <- 1 # cm
d <- (h - c - phi_x/2) / 100 # m
```
$$\phi_x = `r phi_x * 10`\;mm$$
$$c = `r c`\;cm$$
$$h = `r h`\;cm$$
$$d_{útil} = h - c - \phi_x \: \therefore \: `r d * 100`\;cm$$

### Área de aço necessária ($As_{nec}$)

```{r as-nec}
fs_c <- 1.4
bw <- 1
kmd <- Msd * 10/ (d^2 * dados$Fck * 10^3 / fs_c)
kz <- 0.9665 # pela tabela
fs_y <- 1.15
As_nec <- Msd * 10 / (kz * d * dados$CA / fs_y)
```

$$kmd = \frac{M_{d}}{b_{w} \cdot d_{útil}^2 \cdot f_{cd}} \:\implies\: \frac{`r Msd * 10`}{`r bw` \cdot `r d`^2 \cdot \frac{`r dados$Fck * 10^3`}{`r fs_c`}} \: \therefore \: `r kmd`\: \implies \: kz = `r kz`$$

$$As_{nec} = \frac{M_d}{kz \cdot d_{útil} \cdot f_{yd}} \: \implies \: \frac{`r Msd * 10`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot \frac{`r dados$CA`}{`r fs_y`}} \: \therefore \: `r As_nec`\;cm^2/m$$

### Variação de tensão ($\Delta\sigma_s$ e $ff$)

```{r delta_tensao}
m1 <- mxm_p + 0.8 * mxm
sigma_s1 <- (m1 / (kz * d * As_nec)) * 100 # Mpa
m2 <- mxm_p
sigma_s2 <- (m2 / (kz * d * As_nec)) * 100 # Mpa
delta_sigma <- sigma_s1 - sigma_s2
delta_fad <- 105 # Mpa
ff <- delta_sigma / delta_fad
```

$$M_1 = M_{xm,permanente} + 0.8M_{xm,móvel}^+ \: \implies \: `r mxm_p` + 0.8 \cdot `r mxm` \: \therefore \: `r m1` \;tf.m/m$$
$$M_2 = M_{xm,permanente} + 0.8M_{xm,móvel}^- \: \implies \: `r mxm_p` + 0 \: \therefore \: `r m2` \;tf.m/m$$
$$\sigma_{s1} = \frac{M_1}{kz \cdot d_{útil} \cdot As_{nec}} \: \implies \: \frac{`r m1`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot `r As_nec`} \: \therefore \: `r sigma_s1`\;Mpa$$
$$\sigma_{s2} = \frac{M_2}{kz \cdot d_{útil} \cdot As_{nec}} \: \implies \: \frac{`r m2`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot `r As_nec`} \: \therefore \: `r sigma_s2`\;Mpa$$
$$\Delta\sigma_s = \sigma_{s1} - \sigma_{s2} \: \therefore \: `r delta_sigma`\;MPa$$
$$\Delta _{fsd,fad} = `r delta_fad` Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi_x = `r phi_x * 10`\;mm$$
$$ff = \frac{\Delta\sigma_s}{\Delta _{fsd,fad}} \: \implies \: \frac{`r delta_sigma`}{`r delta_fad`}  \: \therefore \: `r ff`$$

### Nova área de aço ($As_{nec}'$)

```{r as2}
As_nec_linha <- As_nec * ff
```

$$As_{nec}' = ff \cdot As_{nec} \: \therefore \: `r As_nec_linha`\;cm^2/m$$

### Área de aço mínima ($As_{min}$)

```{r as-min}
rho <- 0.179
As_min <- rho * dados$Y
```

$$f_{ck} = 40\;MPa \: \Longleftrightarrow \rho_{min} = `r rho`$$
$$As_{min} = \rho_{min} \cdot A_c \: \implies \: \frac{`r rho`}{100} \cdot 100 \cdot `r dados$Y` \: \therefore \: `r As_min`\;cm^2/m$$

## Resposta final

A área de aço final adotada foi $`r formatC(As_nec_linha, 2, format = "f")`\;cm^2/m$.

\newpage

# Trabalho 2

## Enunciado

Determine a área de aço da laje de transição considerando o efeito da fadiga.

## Dados

Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

```{r tabela-dados-2}

dados2 <- data.frame(
    comprimento=c(3.80),
    espessura=c(0.3),
    d_linha=c(0.04),
    TB=c(30),
    q=c(0.5),
    coeficiente=c(1.42),
    phi=c(10),
    delta_sigma=c(105),
    CA=c(50)
    )

header = c(
  "Comprimento"=1,
  "Espessura"=1,
  "$\\d'$"=1,
  "$\\TB$"=1,
  "$\\q$"=1,
  "$\\CIV \\\\cdot \\CNF \\\\cdot \\CIA$"=1,
  "$\\\\phi$"=1,
  "$\\\\Delta \\\\sigma$"=1,
  "$\\CA$"=1
  )
kable(
    dados2,
    col.names = c(
      "$m$",
      "$m$",
      "$m$",
      "$tf$",
      "$tf/m^2$",
      "",
      "$mm$",
      "$MPa$",
      "$kgf/mm^2$"
      ),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Dados do trabalho 2",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```


## Desenvolvimento

```{r desenvolvimento-2}
Fck <- 40 # MPa

# cargas
pav <- 24 * 0.15
base_pav <- 18 * 0.20
laje <- 25 * dados2$espessura

g <- pav + base_pav + laje

comprimento_console <- 0.3

Mk_g <- g * (dados2$comprimento - comprimento_console/2)^2 / 8

Q <- dados2$TB * 10 / 21 + dados2$q * 10
Mk_q <- Q * (dados2$comprimento - comprimento_console/2)^2 / 8

M_k <- 1.35 * Mk_g + 1.5 * dados2$coeficiente * Mk_q

d <- (dados2$espessura - dados2$d_linha)

kmd = M_k * 1.4 / (1 * d**2  * (Fck * 1000 / 1.4))
kx = (0.68 - sqrt(0.68**2 - (4 * 0.272 * kmd)))/(2 * 0.272)
kz = 1 - 0.4 * kx
As <- M_k * 1.4 / (kz * d * dados2$CA  / 1.15) # cm^2/m

kmd = 132 * 1.4 / (1 * 0.26**2  * (20 * 1000 / 1.4))
kx = (0.68 - sqrt(0.68**2 - (4 * 0.272 * kmd)))/(2 * 0.272)
kz = 1 - 0.4 * kx
As <- 132 * 1.4 / (kz * 0.26 * 50 / 1.15) # cm^2/m

ff <- dados2$delta_sigma / 105

As2 <- ff * As

```

### Cargas permanentes ($g$)

$$g = pavimentação + base + laje \therefore 24 \cdot 0.15 + 18 \cdot 0.20 + 25 \cdot `r dados2$espessura` \implies `r g` kN/m$$

### Momento devido as cargas permanentes ($M_{kg}$)

Adotando um console de $0.30m$.

$$M_{kg}^+ = M_{kg}^- = \frac{g\cdot l^2}{8} \therefore \frac{`r g` \cdot (`r dados2$comprimento` - `r comprimento_console/2`)^2}{8} \implies `r  Mk_g` kN.m$$

### Momento devido as cargas moveis ($M_{kq}$)

$$Q = \frac{TB}{7 \cdot 3} + q \therefore \frac{`r dados2$TB * 10`}{21} + `r dados2$q * 10`\implies `r Q` kN.m/m$$
$$M_{kq}^+ = M_{kq}^- = \frac{Q \cdot l^2}{8} \therefore \frac{`r Q` \cdot (`r dados2$comprimento` - `r comprimento_console/2`)^2}{8} \implies `r Mk_q` kN.m/m$$

### Momento final

$$M_k^+ = M_k^- = 1.35 \cdot M_{kg} + 1.5 \cdot CIV \cdot CNF \cdot CIA \cdot M_{kq} \therefore 1.35 \cdot `r Mk_g` + 1.5 \cdot `r dados2$coeficiente` \cdot `r Mk_q` \implies `r M_k` kN.m/m$$

### Área de aço

Considerando concreto de $`r Fck` MPa$.

$$kmd = \frac{M_k \cdot 1.4}{b \cdot d_{útil}^2  \cdot \frac{fck}{1.4}} \therefore \frac{`r M_k` \cdot 1.4}{1 \cdot (`r dados2$espessura` - `r dados2$d_linha`)^2  \cdot \frac{`r Fck * 1000`}{1.4}} \implies `r kmd`$$
$$kx = \frac{0.68 - \sqrt{0.68^2 - 4 \cdot 0.272 \cdot kmd}}{2 \cdot 0.272} \therefore \frac{0.68 - \sqrt{0.68^2 - 4 \cdot 0.272 \cdot `r kmd`}}{2 \cdot 0.272} \implies `r kx`$$
$$kz = 1 - 0.4 \cdot kx \therefore 1 - 0.4 \cdot `r kx` \implies `r kz`$$
$$As = \frac{M_k \cdot 1.4}{kz \cdot d_{útil} \cdot \frac{fyk}{1.15}} \therefore \frac{`r M_k` \cdot 1.4}{`r kz` \cdot (`r dados2$espessura` - `r dados2$d_linha`) \cdot \frac{`r dados2$CA`}{1.15}} \implies `r As` cm^2/m$$

### Fator de fadiga ($ff$)

$$\Delta_{fsd,fad} = 105 Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi = 10mm$$
$$ff = \frac{\Delta \sigma}{\Delta_{fsd,fad}}\therefore \frac{`r dados2$delta_sigma`}{105} \implies `r ff` MPa$$

### Área de aço com fadiga

Será igual, pois o fator de fadiga foi igual a $1$.

$$As = ff \cdot As \therefore `r ff` \cdot `r As` \implies `r As2` cm^2/m$$

## Resposta final

A área de aço adotada foi $`r round(As, 2)` cm^2/m$.

\newpage

# Trabalho 3

## Enunciado

Determine a área de aço da armadura transversal considerando o efeito de fadiga.

## Dados

Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

```{r tabela-dados-3}

dados3 <- data.frame(
    Vskg=c(142),
    Vskq=c(270),
    Fck=c(35),
    bw=c(0.25),
    d=c(1.05)
    )
header = c(
  "$\\V_{skg}$"=1,
  "$\\V_{skq}$"=1,
  "$\\Fck$"=1,
  "$\\bw$"=1,
  "$\\d$"=1
  )
kable(
    dados3,
    col.names = c(
      "$kN$",
      "$kN$",
      "$MPa$",
      "$m$",
      "$m$"
      ),
    escape = F,
    booktabs = T,
    caption = "Dados do trabalho 3",
    linesep = "\\addlinespace",
    align = "c"
    ) %>%
    add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
    kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
```

## Desenvolvimento

```{r desenvolvimento-3}
alpha_v2 <- 1 - dados3$Fck / 250
V_Rd2 <- 0.27 * alpha_v2 * (dados3$Fck * 1000/1.4) * dados3$bw * dados3$d
Vsd <- 1.35 * dados3$Vskg + 1.5 * dados3$Vskq

Fctd <- 0.15 * dados3$Fck^(2/3)
Vc <- 0.6 * Fctd * 1000  * dados3$bw * dados3$d
Vsw <- Vsd - Vc
Asw <- Vsw / (0.9 * dados3$d * (50/1.15))

V1 <- dados3$Vskg + 0.5 * dados3$Vskq
V2 <- dados3$Vskg

sigma_s1 <- (V1 - 0.5 * Vc) / (0.9 * dados3$d * Asw)
sigma_s2 <- (V2 - 0.5 * Vc) / (0.9 * dados3$d * Asw)
delta_sigma <- (sigma_s1 - sigma_s2) * 10 # para MPa

delta_fsd_fad <- 85 # considerando uma barra de 10 mm

ff <- delta_sigma / delta_fsd_fad

Asw_2 <- ff * Asw

Fctm <- 0.3 * dados3$Fck^(2/3)
rho_min <- 0.2 * Fctm / 500 * 100 # ferro CA-50

rho <- Asw_2 / (100 * dados3$bw * 100) * 100

```

### Verificação da diagonal comprimida ($V_{Rd2}$)

$$\alpha_{v2} = 1 - \frac{Fck}{250} \therefore 1 - \frac{`r dados3$Fck`}{250}  \implies `r alpha_v2`$$

$$V_{Rd2} = 0.27 \cdot \alpha_{v2} \cdot Fcd \cdot bw \cdot d \therefore 0.27 \cdot `r alpha_v2` \cdot \frac{`r dados3$Fck * 1000`}{1.4} \cdot `r dados3$bw` \cdot `r dados3$d` \implies `r V_Rd2` kN$$


### Cálculo do $V_{sd}$

$$V_{sd} = 1.35 \cdot V_{skg} + 1.5 \cdot V_{skq} \therefore 1.35 \cdot `r dados3$Vskg` + 1.5 \cdot `r dados3$Vskq` \implies `r Vsd` kN$$
$$V_{Rd2} > V_{sd} \implies `r V_Rd2` > `r Vsd` \text{ (OK)}$$

### Armadura transversal ($As_{w}/s$)

$$Fctd = 0.15 \cdot Fck^{2/3} \therefore 0.15 \cdot `r dados3$Fck`^{2/3}  \implies  `r Fctd` MPa$$
$$V_c = 0.6 \cdot Fctd \cdot bw \cdot d \therefore 0.6 \cdot `r 1000 * Fctd` \cdot `r dados3$bw` \cdot `r dados3$d` \implies `r Vc` kN$$
$$V_{sw} = V_{sd} - V_c \therefore `r Vsd` - `r Vc` \implies `r Vsw`$$

$$As_{w}/s = \frac{V_{sw}}{0.9 \cdot d \cdot fyd} \therefore \frac{`r Vsw`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot \frac{50}{1.15}} \implies `r Asw` cm^2/m$$


### Fator de fadiga

$$V_1 = V_g + 0.5 V_q \therefore `r dados3$Vskg` + 0.5 `r dados3$Vskq` \implies `r V1` kN$$
$$V_2 = V_g \implies `r V2` kN$$
$$\sigma_{s1} = \frac{V_1 - 0.5 \cdot V_c}{0.9 \cdot d \cdot As_{w}/s} \therefore \frac{`r V1` - 0.5 \cdot `r Vc`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot `r Asw`} \implies `r sigma_s1` kN/cm^2$$
$$\sigma_{s2} = \frac{V_2 - 0.5 \cdot V_c}{0.9 \cdot d \cdot As_{w}/s} \therefore \frac{`r V2` - 0.5 \cdot `r Vc`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot `r Asw`} \implies `r sigma_s2` kN/cm^2$$
$$\Delta \sigma = \sigma_{s1} - \sigma_{s2} \therefore `r sigma_s1 * 10` - `r sigma_s2 * 10` \implies `r delta_sigma` MPa$$
$$\Delta_{fsd,fad} = 85 Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi = 10mm$$
$$ff = \frac{\Delta \sigma}{\Delta_{fsd,fad}}\therefore \frac{`r delta_sigma`}{85} \implies `r ff` MPa$$

### Área de aço $As_w$

$$As_w = ff \cdot As_{w}/s \therefore `r ff` \cdot `r Asw` \implies `r Asw_2` cm^2/m$$

### Área de aço mínima $As_{w,min}$

$$\rho_{sw} = \frac{As_{w}}{s \cdot b_w} \geq 0.2 \cdot \frac{F_{ctm}}{F_{ywk}}\implies \frac{`r Asw_2`}{100 \cdot `r dados3$bw * 100`} \geq 0.2 \cdot \frac{0.3 \cdot `r dados3$Fck`^{\frac{2}{3}}}{500} \implies `r rho`\% \geq `r rho_min`\%$$


## Resposta final

Foi adotado $`r round(Asw_2, 2)` cm^2/m$ de área de aço.
	---
	title: "Pontes - A2 - Trabalhos 1, 2 e 3"
	author:
	- "Pedro Bernardino Alves Moreira - 20142104155"
	date: "11/06/2020"
	abstract: "Desenvolvimento dos trabalhos 1, 2 e 3 de pontes. Esse relatório foi gerado com um arquivo Rmd que se encontra disponível [nesse link](https://gist.github.com/PedroBern/ea407b57f7c9fb22d34cd5666e1d7a86)."
	output:
	pdf_document:
	number_sections: yes
	header-includes:
	- \renewcommand{\abstractname}{Resumo}
	- \usepackage{booktabs}
	- \usepackage{longtable}
	- \usepackage{supertabular}
	- \usepackage{array}
	- \usepackage{multirow}
	- \usepackage{wrapfig}
	- \usepackage{colortbl}
	- \usepackage{pdflscape}
	- \usepackage{tabu}
	- \usepackage{threeparttable}
	- \usepackage[normalem]{ulem}
	- \usepackage{caption}
	- \usepackage{floatrow}
	- \floatsetup[table]{capposition=top}
	- \floatsetup[figure]{capposition=top}
	- \captionsetup{options=chunk}
	- \DeclareNewFloatType{chunk}{placement=H, fileext=chk, name=}
	- \renewcommand{\thechunk}{\arabic{chunk}}
	- \usepackage{indentfirst}
	- \setlength{\parindent}{20pt}
	# - \setlength{\mathindent}{40pt}
	---

	```{r setup, include=FALSE, cache=F}
	# Install libraries, if not already installed
	if(!require(knitr)) install.packages("knitr")
	if(!require(kableExtra)) install.packages("kableExtra")
	# Load libraries
	library(knitr)
	library(kableExtra)
	# Set global options
	opts_chunk$set(echo = FALSE, fig.align = 'center', cache=F, prompt=F, highlight=T )
	```

	\renewcommand{\figurename}{Figura}
	\renewcommand{\tablename}{Tabela}
	\renewcommand{\contentsname}{Sumário}
	\tableofcontents
	\newpage

	# Trabalho 1

	## Enunciado

	Determine o momento fletor $M_{xm}$ referente ao dimensionamento do tabuleiro da ponte e determine as áreas de aço.

	## Dados

	Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

	```{r tabela-dados}

	dados <- data.frame(
	X=c(5),
	Y=c(20),
	Z=c(30),
	R=c(0.55),
	Lx=c(3),
	Ly=c("$\\infty$"),
	a=c(30),
	b=c(50),
	C=c(2.5),
	Fck=c(40),
	CA=c(50)
	)
	header = c("X", "Y","Z","R","Lx","Ly","a", "b","C", "Fck", "CA")
	kable(
	dados,
	col.names = c("$cm$", "$cm$", "$tf$", "$tf/m^2$", "$m$", "$m$","$cm$", "$cm$","$cm$", "$MPa$", "$kgf/mm^2$"),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Dados do trabalho 1",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c") %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position")) %>%
	add_footnote(c(
	"X = espessura do asfalto",
	"Y = espessura do concreto",
	"Z = carga do TB",
	"R = carga distribuida do TB",
	"Lx = largura da ponte",
	"Ly = comprimento da ponte",
	"a = largura da área de contato da roda",
	"b = comprimento da área de contato da roda",
	"C = cobrimento da laje",
	"Fck = resistência do concreto",
	"CA = categoria do aço"
	), notation = "none")
	```

	## Desenvolvimento

	### $t'$ e $t$

	```{r t-linha}
	t_linha <- sqrt(dados$a * dados$b)
	t <- t_linha + 2 * dados$X + dados$Y
	```

	$$t' = \sqrt{a \cdot b}$$
	$$t = t' + 2e + h \: \implies \: \sqrt{a \cdot b} + 2X + Y$$
	$$t = \sqrt{`r dados$a` \cdot `r dados$b`} + 2 \cdot `r dados$X` + `r dados$X` \: \therefore \: `r t`\;cm$$


	### $g$

	```{r pesos}
	gamma_conc <- 2.5
	gamma_asf <- 2.4
	peso_laj <- dados$Y / 100 * gamma_conc
	peso_pav <- dados$X / 100 * gamma_asf
	g <- peso_laj + peso_pav
	glx2 <- g * dados$Lx^2
	```

	$$ peso \: da \: laje = h_{laje} \cdot \gamma_{concreto} \: \implies \: `r dados$Y/100` \cdot `r gamma_conc` \: \therefore \: `r peso_laj`\;tf/m^2$$
	$$ peso \: do \: pavimento = h_{asfalto} \cdot \gamma_{asfalto} \: \implies \: `r dados$X/100` \cdot `r gamma_asf` \: \therefore \: `r peso_pav`\;tf/m^2$$
	$$g = peso \: da \: laje + peso \: do \: pavimento \: \therefore \: `r g`\;tf/m^2`$$
	$$g \cdot lx^2 \: \implies \: `r g` \cdot `r dados$Lx`^2 \: \therefore \: `r glx2`\;tf$$

	### Momento devido a carga permanente ($M_{xm,permanente}$)

	```{r momentos_p}
	k_mxm <- 0.0625
	k_mym <- 0.0078
	mxm_p <- k_mxm * glx2
	mym_p <- k_mym * glx2
	```

	$$Pela\;tabela \;24:$$
	$$M = k \cdot g\cdot lx^2 \; \implies M = `r glx2`k$$
	$$M_{xm,permanente} \; \implies \; k = `r k_mxm` \; \implies\; `r glx2` \cdot `r k_mxm` = `r mxm_p`\;tf.m/m$$
	<!-- $$M_{ym,permanente} \; \implies \; k = `r k_mym` \; \implies\; `r glx2` \cdot `r k_mym` = `r mym_p`\;tf.m/m$$ -->

	### Momento devido a carga móvel na tabela ($M_{xm,tabela}$)

	```{r momentos_m}
	a <- 2
	lxa <- dados$Lx / a
	ta <- t / 100 / a
	```

	$$lx/a = `r dados$Lx` / `r a` \: \therefore \: `r lxa`$$
	$$t/a = `r t/100` / `r a` \: \therefore \: `r ta`$$

	Pela tabela 24, será necessário fazer a interpolação dos valores para econtrar o $M_{xm}$.

	![$M_{xm}$ na tabela 24](tabela.jpg){width=375px}



	```{r interpolacao, echo=T}
	interpolate <- function(a1, a2, b1, b2, c1){
	a2 + (b2 - a2) * (c1 - a1) / (b1 - a1)
	}
	mxm_m <- interpolate(0.25, 0.290, 0.5, 0.255, ta)
	```

	$$M_{xm,tabela} = `r mxm_m`\;tf.m/m$$

	### Momento devido a carga móvel ($M_{xm,móvel}$)

	```{r mxm-final}
	roda <- dados$Z / 6
	mp <- 0
	mp_linha <- 0.20
	q <- 0.5
	CIV <- 1.35
	faixas <- 1
	CIF <- max(1 - 0.05*(faixas-2),0.9)
	CIA <- 1.25
	mxm <- (CIV * CIF * CIA) * (roda * mxm_m + mp * q + mp_linha * q)
	```

	$$M_{xm} = (CIV \cdot CIF \cdot CIA) \cdot (P_{roda} \cdot M_{xm,tabela} + M_{p} \cdot q + M_{p}' \cdot q)$$
	$$q = 0.5\;tf$$
	$$P_{roda} = TB/6 \:\implies\: `r dados$Z`/6 \: \therefore \: `r roda`\;tf$$
	$$Pela\:tabela\:24,\:para\:lx/a = `r lxa` \begin{cases} M_p = `r mp`\\
	M_{p}' = `r mp_linha`\end{cases}$$
	$$Pela\:NBR\:7188 \begin{cases}
	CIV = `r CIV`\:(vão\:menor\:que\:10m)\\
	CIF = 1 - 0.05(n-2) > 0.9 \:\implies\:n = `r faixas` \:\implies\: CIF = `r CIF`\\
	CIA = 1.25\:(obras\:de\:concreto)
	\end{cases}$$
	$$M_{xm,móvel} = (`r CIV` \cdot `r CIF` \cdot `r CIA`) \cdot(`r roda` \cdot `r mxm_m` + `r mp` \cdot `r q` + `r mp_linha` \cdot `r q`) \; \therefore \; `r mxm` \; tf.m/m$$

	### Momento majorado ($M_{sd})$

	```{r msd}
	gamma_g <- 1.35
	gamma_q <- 1.5
	Msd <- gamma_g * mxm_p + gamma_q * mxm
	```

	$$M_{sd} = \gamma_g \cdot M_{xm,permanente} + \gamma_q \cdot M_{xm, móvel} \:\implies\: `r gamma_g` \cdot `r mxm_p` + `r gamma_q` \cdot `r mxm`\:\therefore\: `r Msd`\;tf.m/m$$

	### Altura útil da laje ($d_{útil}$)

	```{r d-util}
	h <- dados$Y
	c <- dados$C
	phi_x <- 1 # cm
	d <- (h - c - phi_x/2) / 100 # m
	```
	$$\phi_x = `r phi_x * 10`\;mm$$
	$$c = `r c`\;cm$$
	$$h = `r h`\;cm$$
	$$d_{útil} = h - c - \phi_x \: \therefore \: `r d * 100`\;cm$$

	### Área de aço necessária ($As_{nec}$)

	```{r as-nec}
	fs_c <- 1.4
	bw <- 1
	kmd <- Msd * 10/ (d^2 * dados$Fck * 10^3 / fs_c)
	kz <- 0.9665 # pela tabela
	fs_y <- 1.15
	As_nec <- Msd * 10 / (kz * d * dados$CA / fs_y)
	```

	$$kmd = \frac{M_{d}}{b_{w} \cdot d_{útil}^2 \cdot f_{cd}} \:\implies\: \frac{`r Msd * 10`}{`r bw` \cdot `r d`^2 \cdot \frac{`r dados$Fck * 10^3`}{`r fs_c`}} \: \therefore \: `r kmd`\: \implies \: kz = `r kz`$$

	$$As_{nec} = \frac{M_d}{kz \cdot d_{útil} \cdot f_{yd}} \: \implies \: \frac{`r Msd * 10`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot \frac{`r dados$CA`}{`r fs_y`}} \: \therefore \: `r As_nec`\;cm^2/m$$

	### Variação de tensão ($\Delta\sigma_s$ e $ff$)

	```{r delta_tensao}
	m1 <- mxm_p + 0.8 * mxm
	sigma_s1 <- (m1 / (kz * d * As_nec)) * 100 # Mpa
	m2 <- mxm_p
	sigma_s2 <- (m2 / (kz * d * As_nec)) * 100 # Mpa
	delta_sigma <- sigma_s1 - sigma_s2
	delta_fad <- 105 # Mpa
	ff <- delta_sigma / delta_fad
	```

	$$M_1 = M_{xm,permanente} + 0.8M_{xm,móvel}^+ \: \implies \: `r mxm_p` + 0.8 \cdot `r mxm` \: \therefore \: `r m1` \;tf.m/m$$
	$$M_2 = M_{xm,permanente} + 0.8M_{xm,móvel}^- \: \implies \: `r mxm_p` + 0 \: \therefore \: `r m2` \;tf.m/m$$
	$$\sigma_{s1} = \frac{M_1}{kz \cdot d_{útil} \cdot As_{nec}} \: \implies \: \frac{`r m1`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot `r As_nec`} \: \therefore \: `r sigma_s1`\;Mpa$$
	$$\sigma_{s2} = \frac{M_2}{kz \cdot d_{útil} \cdot As_{nec}} \: \implies \: \frac{`r m2`}{`r kz` \cdot `r d` \cdot `r As_nec`} \: \therefore \: `r sigma_s2`\;Mpa$$
	$$\Delta\sigma_s = \sigma_{s1} - \sigma_{s2} \: \therefore \: `r delta_sigma`\;MPa$$
	$$\Delta _{fsd,fad} = `r delta_fad` Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi_x = `r phi_x * 10`\;mm$$
	$$ff = \frac{\Delta\sigma_s}{\Delta _{fsd,fad}} \: \implies \: \frac{`r delta_sigma`}{`r delta_fad`} \: \therefore \: `r ff`$$

	### Nova área de aço ($As_{nec}'$)

	```{r as2}
	As_nec_linha <- As_nec * ff
	```

	$$As_{nec}' = ff \cdot As_{nec} \: \therefore \: `r As_nec_linha`\;cm^2/m$$

	### Área de aço mínima ($As_{min}$)

	```{r as-min}
	rho <- 0.179
	As_min <- rho * dados$Y
	```

	$$f_{ck} = 40\;MPa \: \Longleftrightarrow \rho_{min} = `r rho`$$
	$$As_{min} = \rho_{min} \cdot A_c \: \implies \: \frac{`r rho`}{100} \cdot 100 \cdot `r dados$Y` \: \therefore \: `r As_min`\;cm^2/m$$

	## Resposta final

	A área de aço final adotada foi $`r formatC(As_nec_linha, 2, format = "f")`\;cm^2/m$.

	\newpage

	# Trabalho 2

	## Enunciado

	Determine a área de aço da laje de transição considerando o efeito da fadiga.

	## Dados

	Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

	```{r tabela-dados-2}

	dados2 <- data.frame(
	comprimento=c(3.80),
	espessura=c(0.3),
	d_linha=c(0.04),
	TB=c(30),
	q=c(0.5),
	coeficiente=c(1.42),
	phi=c(10),
	delta_sigma=c(105),
	CA=c(50)
	)

	header = c(
	"Comprimento"=1,
	"Espessura"=1,
	"$\\d'$"=1,
	"$\\TB$"=1,
	"$\\q$"=1,
	"$\\CIV \\\\cdot \\CNF \\\\cdot \\CIA$"=1,
	"$\\\\phi$"=1,
	"$\\\\Delta \\\\sigma$"=1,
	"$\\CA$"=1
	)
	kable(
	dados2,
	col.names = c(
	"$m$",
	"$m$",
	"$m$",
	"$tf$",
	"$tf/m^2$",
	"",
	"$mm$",
	"$MPa$",
	"$kgf/mm^2$"
	),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Dados do trabalho 2",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```


	## Desenvolvimento

	```{r desenvolvimento-2}
	Fck <- 40 # MPa

	# cargas
	pav <- 24 * 0.15
	base_pav <- 18 * 0.20
	laje <- 25 * dados2$espessura

	g <- pav + base_pav + laje

	comprimento_console <- 0.3

	Mk_g <- g * (dados2$comprimento - comprimento_console/2)^2 / 8

	Q <- dados2$TB * 10 / 21 + dados2$q * 10
	Mk_q <- Q * (dados2$comprimento - comprimento_console/2)^2 / 8

	M_k <- 1.35 * Mk_g + 1.5 * dados2$coeficiente * Mk_q

	d <- (dados2$espessura - dados2$d_linha)

	kmd = M_k * 1.4 / (1 * d*2 (Fck * 1000 / 1.4))
	kx = (0.68 - sqrt(0.68*2 - (4 0.272 * kmd)))/(2 * 0.272)
	kz = 1 - 0.4 * kx
	As <- M_k * 1.4 / (kz * d * dados2$CA / 1.15) # cm^2/m

	kmd = 132 * 1.4 / (1 * 0.26*2 (20 * 1000 / 1.4))
	kx = (0.68 - sqrt(0.68*2 - (4 0.272 * kmd)))/(2 * 0.272)
	kz = 1 - 0.4 * kx
	As <- 132 * 1.4 / (kz * 0.26 * 50 / 1.15) # cm^2/m

	ff <- dados2$delta_sigma / 105

	As2 <- ff * As

	```

	### Cargas permanentes ($g$)

	$$g = pavimentação + base + laje \therefore 24 \cdot 0.15 + 18 \cdot 0.20 + 25 \cdot `r dados2$espessura` \implies `r g` kN/m$$

	### Momento devido as cargas permanentes ($M_{kg}$)

	Adotando um console de $0.30m$.

	$$M_{kg}^+ = M_{kg}^- = \frac{g\cdot l^2}{8} \therefore \frac{`r g` \cdot (`r dados2$comprimento` - `r comprimento_console/2`)^2}{8} \implies `r Mk_g` kN.m$$

	### Momento devido as cargas moveis ($M_{kq}$)

	$$Q = \frac{TB}{7 \cdot 3} + q \therefore \frac{`r dados2$TB * 10`}{21} + `r dados2$q * 10`\implies `r Q` kN.m/m$$
	$$M_{kq}^+ = M_{kq}^- = \frac{Q \cdot l^2}{8} \therefore \frac{`r Q` \cdot (`r dados2$comprimento` - `r comprimento_console/2`)^2}{8} \implies `r Mk_q` kN.m/m$$

	### Momento final

	$$M_k^+ = M_k^- = 1.35 \cdot M_{kg} + 1.5 \cdot CIV \cdot CNF \cdot CIA \cdot M_{kq} \therefore 1.35 \cdot `r Mk_g` + 1.5 \cdot `r dados2$coeficiente` \cdot `r Mk_q` \implies `r M_k` kN.m/m$$

	### Área de aço

	Considerando concreto de $`r Fck` MPa$.

	$$kmd = \frac{M_k \cdot 1.4}{b \cdot d_{útil}^2 \cdot \frac{fck}{1.4}} \therefore \frac{`r M_k` \cdot 1.4}{1 \cdot (`r dados2$espessura` - `r dados2$d_linha`)^2 \cdot \frac{`r Fck * 1000`}{1.4}} \implies `r kmd`$$
	$$kx = \frac{0.68 - \sqrt{0.68^2 - 4 \cdot 0.272 \cdot kmd}}{2 \cdot 0.272} \therefore \frac{0.68 - \sqrt{0.68^2 - 4 \cdot 0.272 \cdot `r kmd`}}{2 \cdot 0.272} \implies `r kx`$$
	$$kz = 1 - 0.4 \cdot kx \therefore 1 - 0.4 \cdot `r kx` \implies `r kz`$$
	$$As = \frac{M_k \cdot 1.4}{kz \cdot d_{útil} \cdot \frac{fyk}{1.15}} \therefore \frac{`r M_k` \cdot 1.4}{`r kz` \cdot (`r dados2$espessura` - `r dados2$d_linha`) \cdot \frac{`r dados2$CA`}{1.15}} \implies `r As` cm^2/m$$

	### Fator de fadiga ($ff$)

	$$\Delta_{fsd,fad} = 105 Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi = 10mm$$
	$$ff = \frac{\Delta \sigma}{\Delta_{fsd,fad}}\therefore \frac{`r dados2$delta_sigma`}{105} \implies `r ff` MPa$$

	### Área de aço com fadiga

	Será igual, pois o fator de fadiga foi igual a $1$.

	$$As = ff \cdot As \therefore `r ff` \cdot `r As` \implies `r As2` cm^2/m$$

	## Resposta final

	A área de aço adotada foi $`r round(As, 2)` cm^2/m$.

	\newpage

	# Trabalho 3

	## Enunciado

	Determine a área de aço da armadura transversal considerando o efeito de fadiga.

	## Dados

	Dados do trabalho fornecidos no enunciado.

	```{r tabela-dados-3}

	dados3 <- data.frame(
	Vskg=c(142),
	Vskq=c(270),
	Fck=c(35),
	bw=c(0.25),
	d=c(1.05)
	)
	header = c(
	"$\\V_{skg}$"=1,
	"$\\V_{skq}$"=1,
	"$\\Fck$"=1,
	"$\\bw$"=1,
	"$\\d$"=1
	)
	kable(
	dados3,
	col.names = c(
	"$kN$",
	"$kN$",
	"$MPa$",
	"$m$",
	"$m$"
	),
	escape = F,
	booktabs = T,
	caption = "Dados do trabalho 3",
	linesep = "\\addlinespace",
	align = "c"
	) %>%
	add_header_above(header = header, line = F, align = "c", escape=F) %>%
	kable_styling(latex_options = c("HOLD_position"))
	```

	## Desenvolvimento

	```{r desenvolvimento-3}
	alpha_v2 <- 1 - dados3$Fck / 250
	V_Rd2 <- 0.27 * alpha_v2 * (dados3$Fck * 1000/1.4) * dados3$bw * dados3$d
	Vsd <- 1.35 * dados3$Vskg + 1.5 * dados3$Vskq

	Fctd <- 0.15 * dados3$Fck^(2/3)
	Vc <- 0.6 * Fctd * 1000 * dados3$bw * dados3$d
	Vsw <- Vsd - Vc
	Asw <- Vsw / (0.9 * dados3$d * (50/1.15))

	V1 <- dados3$Vskg + 0.5 * dados3$Vskq
	V2 <- dados3$Vskg

	sigma_s1 <- (V1 - 0.5 * Vc) / (0.9 * dados3$d * Asw)
	sigma_s2 <- (V2 - 0.5 * Vc) / (0.9 * dados3$d * Asw)
	delta_sigma <- (sigma_s1 - sigma_s2) * 10 # para MPa

	delta_fsd_fad <- 85 # considerando uma barra de 10 mm

	ff <- delta_sigma / delta_fsd_fad

	Asw_2 <- ff * Asw

	Fctm <- 0.3 * dados3$Fck^(2/3)
	rho_min <- 0.2 * Fctm / 500 * 100 # ferro CA-50

	rho <- Asw_2 / (100 * dados3$bw * 100) * 100

	```

	### Verificação da diagonal comprimida ($V_{Rd2}$)

	$$\alpha_{v2} = 1 - \frac{Fck}{250} \therefore 1 - \frac{`r dados3$Fck`}{250} \implies `r alpha_v2`$$

	$$V_{Rd2} = 0.27 \cdot \alpha_{v2} \cdot Fcd \cdot bw \cdot d \therefore 0.27 \cdot `r alpha_v2` \cdot \frac{`r dados3$Fck * 1000`}{1.4} \cdot `r dados3$bw` \cdot `r dados3$d` \implies `r V_Rd2` kN$$


	### Cálculo do $V_{sd}$

	$$V_{sd} = 1.35 \cdot V_{skg} + 1.5 \cdot V_{skq} \therefore 1.35 \cdot `r dados3$Vskg` + 1.5 \cdot `r dados3$Vskq` \implies `r Vsd` kN$$
	$$V_{Rd2} > V_{sd} \implies `r V_Rd2` > `r Vsd` \text{ (OK)}$$

	### Armadura transversal ($As_{w}/s$)

	$$Fctd = 0.15 \cdot Fck^{2/3} \therefore 0.15 \cdot `r dados3$Fck`^{2/3} \implies `r Fctd` MPa$$
	$$V_c = 0.6 \cdot Fctd \cdot bw \cdot d \therefore 0.6 \cdot `r 1000 * Fctd` \cdot `r dados3$bw` \cdot `r dados3$d` \implies `r Vc` kN$$
	$$V_{sw} = V_{sd} - V_c \therefore `r Vsd` - `r Vc` \implies `r Vsw`$$

	$$As_{w}/s = \frac{V_{sw}}{0.9 \cdot d \cdot fyd} \therefore \frac{`r Vsw`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot \frac{50}{1.15}} \implies `r Asw` cm^2/m$$


	### Fator de fadiga

	$$V_1 = V_g + 0.5 V_q \therefore `r dados3$Vskg` + 0.5 `r dados3$Vskq` \implies `r V1` kN$$
	$$V_2 = V_g \implies `r V2` kN$$
	$$\sigma_{s1} = \frac{V_1 - 0.5 \cdot V_c}{0.9 \cdot d \cdot As_{w}/s} \therefore \frac{`r V1` - 0.5 \cdot `r Vc`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot `r Asw`} \implies `r sigma_s1` kN/cm^2$$
	$$\sigma_{s2} = \frac{V_2 - 0.5 \cdot V_c}{0.9 \cdot d \cdot As_{w}/s} \therefore \frac{`r V2` - 0.5 \cdot `r Vc`}{0.9 \cdot `r dados3$d` \cdot `r Asw`} \implies `r sigma_s2` kN/cm^2$$
	$$\Delta \sigma = \sigma_{s1} - \sigma_{s2} \therefore `r sigma_s1 * 10` - `r sigma_s2 * 10` \implies `r delta_sigma` MPa$$
	$$\Delta_{fsd,fad} = 85 Mpa \: \Longleftrightarrow \: \phi = 10mm$$
	$$ff = \frac{\Delta \sigma}{\Delta_{fsd,fad}}\therefore \frac{`r delta_sigma`}{85} \implies `r ff` MPa$$

	### Área de aço $As_w$

	$$As_w = ff \cdot As_{w}/s \therefore `r ff` \cdot `r Asw` \implies `r Asw_2` cm^2/m$$

	### Área de aço mínima $As_{w,min}$

	$$\rho_{sw} = \frac{As_{w}}{s \cdot b_w} \geq 0.2 \cdot \frac{F_{ctm}}{F_{ywk}}\implies \frac{`r Asw_2`}{100 \cdot `r dados3$bw * 100`} \geq 0.2 \cdot \frac{0.3 \cdot `r dados3$Fck`^{\frac{2}{3}}}{500} \implies `r rho`\% \geq `r rho_min`\%$$


	## Resposta final

	Foi adotado $`r round(Asw_2, 2)` cm^2/m$ de área de aço.