たのしいさんすう

微積.md

• 微分公式一覧
• 三角関数の微分

注:　$<この中にlatexが書ける>$ 注: frac(分数 fraction)

テイラー展開

$f(x) = \Sigma_{k=0}^{\infty} \frac{f^{k} (a)}{k!} (x-a)^k$

マクローリン展開

特に $a_k = \frac{f^{k} (0)}{k!}$ とおくと

$f(x)= \Sigma_{k=0}^{\infty} a_k x^k$

マクローリン展開の一般形

• 無限回微分可能な多くの関数 $f(x)$ について、以下の等式が成立する

$f(x) = \Sigma_{k=0}^{\infty} f^{(k)} (0) \frac{x^k}{k!}$

マクローリン展開の例

$e^x=\Sigma_{k=0}^{\infty} \frac{x^k} {k!}$

$= 1 + x + \frac{x^2} {2} + \frac{x^3} {6} +$ ...

$sin x = \Sigma_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}} {(2k + 1)!}$

$= x - \frac{x^3} {6} +$ ...

$cos x = \Sigma_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}} {(2k)!}$

$= 1 - \frac{x^2} {2} +$ ...

積分.md

<ガウス積分>

I^2 = ∫ e^(-x^2)dx * ∫e^(-y^2)dy = ∫∫ e^(-x^2) * e^(-y^2)dxdy = ∫∫ e^(-(x^2+y^2) )dxdy

ここで x^2+y^2=r^2とおくと

dxdy→rdθdrとなるから

∫∫ e^(-(x^2+y^2) )dxdy =∫∫e^(-r^2) rdθdr

これは ∫r * e^(-r^2)dr=-e^(-r^2) / 2 になるから

I^2 = ∫∫e^(-r^2) rdθdr = -∫e^(-r^2) / 2 dθ =-θ*e^(-r^2) / 2 になる

積分範囲は r: 0→∞ θ: 0→2π だから、定積分から I^2 = [θ] 0→2π * -[e^(-r^2) / 2] 0→∞ =-[2π - 0 ]* [0 - 1] / 2 =2π / 2 = π

よって I^2 = πより I = ∫[-∞, ∞] e^(-x^2)dx =√π

ちなみに一般には I = ∫[-∞, ∞] e^(-ax^2)dx =√(π/a) になるよ 正規分布はa=1/2を使う

群論.md

群論についてのメモ

• 亜群(マグマ)

  閉じている集合

  • 閉じている M x M = M (ある集合の元と元の二項演算の結果がそのある集合の元として存在し、演算結果が集合内に必ず収まること)

  以下すべて閉じていることが前提

• 半群

  結合則

• モノイド

  結合則 + 単位元

• 群

  モノイド + 逆元

  閉じている(二項演算結果もその集合内に含まれる)状態になってなければならない (a . b) -> a x b

  群は加法(減法を含む)と乗法(除法を含む)で分かれる

  • 実数(虚数以外のすべての数)は加群になる
  • 0除算があるから乗法群にはならない

  乗法群にならない実数も、後述の環にはなる → 逆元の条件がないから

• 可換群(アーベル群)

  可換(演算の順序交換が可能)な群 → 加法、乗法についてそれぞれ可換かどうかが言える

  整数全体の集合は和に関して可換群 加法群は通常可換群

• 環

  可換な加群 + 乗法がモノイド + 分配則 → 群より強い条件

• 可換環

  可換な加群 + 乗法がモノイド + 分配則

  例: 複素数環C

  整数の乗法は可換な演算であり整数全体は可換環

• 体(たい)

  可換な加群 + 乗法がモノイド + 分配則 + 逆元 → 環より強い条件

  例: 実数体R

  ある範囲なら、複素数も体になる → それを強調して複素数体という

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関数も群になる

1.結合則

f(x)○f(y) = 合成関数

2.単位元

f(x)=id. = 恒等変換(f(x)=xは特に不動点と呼ぶ。数学なら y = x)

3.逆元

f^-1(x) =逆関数(逆関数は^-1、インバースで表す)