Момент инерции математической точки, тело относительно неподвижной оси(от чего зависить)
Момент силы, момент импульса. Уравнения моментов
Момент инерции
Момент инерции материальной точки равен. Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен. Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной d r. Все точки слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен. Полый тонкостенный цилиндр радиуса R обруч, велосипедное колесо и тому подобное. Сплошной цилиндр или диск радиуса R. Шар радиуса R, относительно оси, проходящей через его центр. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной, определяется с помощью теоремы Штейнера: Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец. Так как тело является абсолютно твердым, следовательно, все точки тела будут вращатьсяс одинаковой угловой скоростью. Если разбить тело на малые объёмы с элементарными массами m 1 , m 2 … находящиеся на расстоянии r 1 , r 2 …, от оси вращения, то кинетическую энергию тела можно записать в виде. Из сравнения W k. Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия. Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела. Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями: Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила. Тогда работа этой силы за время d t равна. Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом. Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство. Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: Вообще выполняется векторное равенство. В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю. Закон сохранения момента импульса: Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен -интегрируется по всему объёму. Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости.
Любое произвольное движение твердого тела можно представить как суперпозицию поступательного и вращательного движений. Поступательным называется такое движение, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям. В этом случае скорости всех точек тела в любой момент времени одинаковы, и его движение можно характеризовать движением одной лишь точки тела. Анализ такого движения производится по законам, справедливым для движения материальной точки. Вращательным движением относительно оси называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. При вращении твердого тела проекция радиуса-вектора каждой его точки на плоскость, перпендикулярную оси вращения за малый промежуток времени dt поворачивается на один и тот же угол. Тогда скорость любой другой точки В тела можно представить как векторную сумму скорости движения системы координат скорость точки A и - относительной скорости точки B: Однако, угол поворота за малый промежуток времени dt не зависит от выбора точки отсчета и является одинаковыми для всех точек твердого тела. Поступательная скорость тела - зависит от выбора точки отсчета. В частности, точку А можно выбрать таким образом, чтобы было равно нулю. Для плоского движения твердого тела в этом случае ось вращения, проходящая через точку А , является мгновенной осью вращения. Плоское движение твердого тела в каждый момент времени может быть представлено как вращательное движение вокруг некоторой мгновенной оси. Момент инерции относительно закрепленной оси. Раccмотpим твеpдое тело как cиcтему жеcтко cвязанныx между cобой матеpиальныx точек. Уpавнение движения для i -й матеpиальной точки массы m i в лабораторной системе координат имеет вид: Будем полагать, что cилы взаимодейcтвия являютcя центpальными, то еcть вектоpы и коллинеаpны. Умножим обе части уpавнение движения В. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать: Тогда с учетом введенных выше обозначений уравнение В. Если твердое тело может вращаться вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение В. Проекции момента импульса на ось z для этих точек будут равны. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси. Предположим, что твердое тело закреплено таким образом, что оно может вращаться вокруг некоторой неподвижной точки О. Введем в лабораторной системе отсчета декартову систему координат XYZ с началом в этой точке. Произвольная i -я точка твердого тела массы m i будет иметь скорость , где - вектор угловой скорости вращения твердого тела, а - радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку, где в данный момент времени находится i -я материальная точка. Перепишем выражение для в проекциях на оси системы координат xyz , начало которой лежит в точке О. В рассматриваемом случае начало декартовой системы координат совпадает с точкой О центром вращения , поэтому из В. Отличие заключается в том, что в покоящейся лабораторной системе координат постоянно меняются координаты x i , y i , z i каждого бесконечно малого элемента тела, поэтому и компоненты тензора меняются со временем. В выбранной системе координат xyz радиус-вектор - неизменная величина, а проекции угловой скорости w x , w y , w z меняются со временем. Диагональные элементы тензора J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции. Недиагональные элементы J xy , J yx , J xz , J zx , J yz , J zy называются центробежными моментами инерции. Симметричный тензор всегда можно привести к диагональному виду, то есть выбрать такую систему координат, определяемую формой тела, в которой все недиагональные элементы будут равны нулю. Оси, проходящие через центр масс тела, будем называть центральными осями , а оси, проходящие через центр масс и одновременно являющиеся главными, будем называть главными центральными осями. Связь между моментом инерции и компонентом тензора инерции. Представим радиус-вектор i -й материальной точки dm в виде где вектор направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта рис. В19 , в рассматриваемом случае положение вектора жестко связано с телом. Поэтому при вращении тела вектор момента импульса меняет свое направление в пространстве: Вектор так же, как и радиус-вектор, удобно разложить на две составляющие - одну, совпадающую с вектором угловой скорости , и другую, перпендикулярную к нему, то есть В этом случае векторное уравнение В10 можно разбить на два скалярных уравнения: Это уравнение полностью описывает вращательное движение твердого тела вокруг закрепленной оси. Из него следует уравнение В. Значение момента инерции J твердого тела относительно некоторой оси, можно найти, зная ее направление этой оси в пространстве и значения компонент тензора инерции. Пусть система координат xyz расположена произвольным образом относительно тела так, что все компоненты тензора. Воспользуемся соотношением С учетом В. Лекции Университетский курс общей физики. Изд-во физического факультета МГУ, Механика и теория относительности. Это означает, что расстояние между двумя любыми точками не изменяется со временем, то есть твердое тело не деформируется. Угловая скорость связана с линейной скоростью любой точки тела соотношением. Изменение со временем определяется величиной углового ускорения. Свяжем начало системы координат, движущейся поступательно, с какой-либо точкой А твердого тела точкой отсчета. Тогда скорость любой другой точки В тела можно представить как векторную сумму скорости движения системы координат скорость точки A и - относительной скорости точки B:. В качестве точки отсчета может быть выбрана любая точка твердого тела или пространства если положение этой точки относительно твердого тела не меняется со временем , поэтому и разложение В. Уpавнение движения для i -й матеpиальной точки массы m i в лабораторной системе координат имеет вид:. С учетом того, что , так как , то , поcле cуммиpования по вcем точкам cиcтемы получим. Величина -импульс i -й материальной точки называетcя моментом импульcа cиcтемы отноcительно некоторой неподвижной точки, выбpанной за начало кооpдинат; - момент внешниx cил отноcительно той же точки; величина является моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:. Заметим,что для центральных сил. Это уравнение называется уравнением моментов. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z , то. Так как w одинакова для всех точек системы, то момент импульса всего тела относительно оси z равен. Так как взаимное расположение точек в твердом теле не изменяется со временем, то момент инерции является постоянной величиной, и. При непрерывном распределении масс для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда В. Если удалось определить момент инерции J 0 относительно некоторой оси, проходящей через центр масс - точку с радиусом-вектором J 0 -масса точки тела, - ее радиус-вектор , то в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела J относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находящейся на расстоянии a от нее, равен. Момент импульса этой точки равен по определению. Векторы , , можно рассматривать как в лабораторной системе координат XYZ , так и в системе координат xyz , жестко связанной с телом. Учитывая, что , а , получаем. Момент импульcа вcего тела pавен cумме моментов импульcов вcеx элементаpныx маcc:. Совокупность 9 величин J xx , J xy , J xz , J yx , J yy , J yz , J zx , J zy , J zz определяет тензор инерции. Проекции момента импульса на оси координат В. Отметим, что выражение В19 принимает точно такой же вид, если векторы , , проецировать на оси лабораторной системы координат XYZ. Вектор так же, как и радиус-вектор, удобно разложить на две составляющие - одну, совпадающую с вектором угловой скорости , и другую, перпендикулярную к нему, то есть В этом случае векторное уравнение В10 можно разбить на два скалярных уравнения:. Уравнение В25 может быть использовано и для решения обратной задачи - определения компонент тензора инерции через известные значения моментов инерции J относительно нескольких различных закрепленных осей.
Хабрахабр с чего начать программировать
Пачек узнаем сколько пачек
Образец приказа график отпусковна 2017 год
Злоупотребление правом в предпринимательской деятельности
Ссудный счет клиента