Математические методы графический метод - Графический метод решения задач линейного программирования: схема и примеры
Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом. Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и: Задача может быть как на нахождение максимума max , так и на нахождение минимума min. В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки. Графический метод решения задачи 1 следующий. Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений 1. Так, первое неравенство 1. С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны. Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство 1. Далее подставляем координаты этой точки в 1. Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны не содержит выбранную точку. Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство 1. Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы 1. Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам 1. Поэтому, графически, область допустимых решений ОДР является пересечением всех построенных полуплоскостей. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой. Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет. Подставить координаты этой точки в систему неравенств 1. Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку. Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе 1. Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений ОДР. Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым 2. ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений. Теперь мы можем искать экстремум целевой функции 1. Для этого выбираем любое число и строим прямую 3. Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна. Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. То есть с одной стороны от прямой 3 целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой 3 , тем больше будет значение. С другой стороны от прямой 3 целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой 3 в другую сторону, тем меньше будет значение. Если мы проведем прямую, параллельную прямой 3 , то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением. Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой 3 , максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой 3 и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня 3 в сторону возрастания убывания , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим малым. Поэтому максимального минимального значения нет. Задача решений не имеет. Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида 3 , проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное минимальное значение целевой функции определяется по формуле: Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального минимального значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин: Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и. Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход ден. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом. Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит: Доход от произведенных платьев составит: Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид: Проводим оси координат и. Проводим прямую через точки 0; 7 и 10,5; 0. Проводим прямую через точки 0; 10 и 10; 0. Проводим прямую через точки 0; 8 и 8; 0. Прямые и являются осями координат. Область допустимых решений ОДР ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств: Заштриховываем область, чтобы точка 2; 2 попала в заштрихованную часть. Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, П1. Проводим прямую через точки 0; 4 и 3; 0. Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны и , то она возрастает при увеличении и. Проводим прямую, параллельную прямой П1. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты. То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит ден. Решить задачу линейного программирования графическим методом. Проводим прямую через точки 0; 6 и 6; 0. Проводим прямую через точки 3; 0 и 7; 2. Область допустимых решений ОДР ограничена построенными прямыми. Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка 4; 1 попала в заштрихованную часть. Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,. Проводим прямую линию уровня через точки 0; 6 и 4; 0. Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции. Решаем задачу графическим методом. Проводим прямую через точки 0; 8 и 2,; 0. Проводим прямую через точки 0; 3 и 6; 0. Проводим прямую через точки 3; 0 и 6; 3. Заштриховываем область, чтобы точка 3; 3 попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE. Строим произвольную линию уровня целевой функции, например, П3. Проводим прямую через точки 0; 7 и 7; 0. Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и. Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и. Поэтому максимума не существует. Проводим прямую, параллельную прямой П3. Минимальное значение целевой функции: Максимального значения не существует. Обыкновенные дифференциальные уравнения Справочник по элементарным функциям Методы вычисления неопределенных интегралов. Решение задач линейного программирования графическим методом Рассмотрено решение задач линейного программирования графическим методом. Решение задач симплекс методом. Описание метода Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом. Построение области допустимых решений Графический метод решения задачи 1 следующий. Нахождение экстремума целевой функции Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений ОДР. Пример решения задачи линейного программирования графическим методом Условие задачи Фирма выпускает платья двух моделей А и В. Решение Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Пример 2 Условие задачи Решить задачу линейного программирования графическим методом. Решение Решаем графическим методом. Пример отсутствия решения Условие задачи Решить графически задачу линейного программирования. Решение Решаем задачу графическим методом. Ответ Максимального значения не существует. Пример решения прямой и двойственной задачи. Решение задач симплекс методом Описание метода Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.
Las ketchup the ketchup song asereje перевод
Сурганова и оркестр мураками текст
Графический метод решения задачи линейного программирования
Срочный трудовой договор на 3 месяца образец
Ультразвуковое исследование малого таза
Автобус 26 химки на карте
Где соловьев куда пропал
Основные события западного фронта первой мировой
Модель 1457 газовая плита инструкция
Вторичное жилье эконом класса в москве
Ржд северобайкальск расписание поездов
Сколько весит кирпич шб 5
Графический метод решения ЗЛП
Написание характеристики семьи
Приказ 630 от 31 декабря 2002
Остров дураков незнайка на луне текст
Автобус новочеркасск багаевская расписание 2017
Полезные конфетыиз сухофруктовсвоими руками
Решение задач линейного программирования графическим методом
Защита прав потребителей пермь
Где живет с мужем лорак в москве
Евросеть пятигорск каталог телефонов в пятигорске
Каталог ekf 2015 pdf