Лекция 7. Поверхности
/ Начертательная геометрия
Лекция 7. Поверхности
Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией образующей при ее винтовом движении. Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или ге-. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая оси геликоида или наклонна. Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим. Одна из направляющих является ци-. Причем во всех своих положениях образующая l параллельна плоскости, которая называется плоскостью параллелизма, перпендикулярной оси II. Обычно за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций рис. У прямого геликоида образующая l пересекает ось II под прямым углом. Прямой геликоид относится к числу коноидов и называется винтовым коноидом. Наклонный геликоид отличается от прямого геликоида тем, что. Этот угол не равен прямому углу. Образующая l наклонного геликоида движется по двум направляющим. Одна из направляющих является цилиндрической винтовой линией m , а другая ее осью II. Причем во всех своих положениях образующая l параллельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующей и осью, па-. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида. Его направляющими являются цилиндрическая винтовая линия m и ее ось II. Образующие геликоида параллельны соответствующим образующим направляющего конуса. Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей l , касающейся во всех свих положениях цилиндрической винтовой линии m. Она является ребром возврата геликоида рис. Развертывающийся геликоид, как линейчатая поверхность с ребром возврата, относится к числу торсов. Если образующая l пересекается с осью поверхности, геликоид называется закрытым рис. Если образующая l не пересекается с осью поверхности, геликоид называется открытым рис. Введем плоскость-посредник которая пересечет поверхности по линиям l и k. Пересечение линий даст точки M и N, принадлежащие кривой пересечения. Применяя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения. В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости и шаровые поверхности — сферы. В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:. При построении линии взаимного пересечения поверхностей необходимо сначала строить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные случайные точки. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения рис. Для построения линии пересечения заданных поверхностей в качестве вспомогательных плоскостей необходимо использовать фронтальную плоскость P и ряд горизонтальных плоскостей S, T, R. Построение начинаем с определения проекций характерных точек. Проводим фронтальную плоскость P P H. Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек 1 и 2 находим как точки пересечения очерков. Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи. Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям. Проекции 3 и 4 точек, лежащих на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскости T T V. Она проходит через центр сферы. Плоскость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса r. В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизонтальные проекции 3 и 4. Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции. Промежуточные точки точки 5, 6, 7, 8 находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей S S V и R R V. Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом видимости. Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. Прежде чем перейти к рассмотрению этого способа, рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения, у которых оси совпадают. Такие поверхности называются соосными поверхностями вращения. Линия пересечения соосных поверхностей окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхностей вращения. При этом, если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии рис. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические построенные из одного центра и эксцентрические проведенные из разных центров сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер сфер с постоянным центром. Следует отметить, что если плоскость осей поверхностей вращения не параллельна плоскости проекций, то окружности, по которым пересекаются поверхности, будут проецироваться в эллипсы, а это усложняет решение задачи. Поэтому способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:. Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции. Рассмотрим пример построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения рис. Точки 1, 2, 3, 4 определяются как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащие плоскости пересечения. Остальные точки находим способом вспомогательных сфер. Эта сфера будет одновременно соосна конусу и цилиндру и пересечет их по окружностям. Плоскости этих окружностей перпендикулярны соответствую-. Фронтальные проекции этих окружностей отрезки прямых. Проведенная сфера пересекает конус по окружности диаметра a b , а цилиндр по окружностям CD c d и EF e f. Таким образом, можно построить достаточное количество точек искомой линии пересечения. При этом нужно иметь ввиду, что не все. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер. Радиус максимальной секущей сферы будет равен расстоянию от центра о до самой удаленной точки пересечения контурных образующих от точки о до точек 2 и 4. Минимальной секущей сферой должна быть такая сфера, которая касалась бы одной поверхности большей и пересекала вторую меньшую. В данном примере минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности MN m n и пересекает ци-. Пересекаясь между собой, ок-. Это самые глубокие точки линии пересечения. Для точности решения между максимальной и минимальной сферами необходимо построить дополнительные промежуточные сферы:. Если дополнительная сфера пересекает только одну данную поверхность, то такая сфера для решения задачи непригодна. Для построения второй проекции линии пересечения можно использовать окружности, полученные от сечения конуса вспомогательными сферами. Можно также построить дополнительные сечения поверхности. Точки и , лежащие на контурных образующих цилиндра, являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной проекции. Существуют четыре варианта пересечения двух поверхностей. Все образующие первой поверхности цилиндра. В этом случае линия пересечения поверхностей распадается на две замкнутые кривые линии рис. Не все образующие той и другой поверхности пересе-. В этом случае линия пересечения одна замкнутая кривая линия рис. Все образующие одной поверхности пересекаются со второй, но не все образующие второй поверхности пе-. Поверхности имеют в одной точке точка на рис. Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые линии, пересекающиеся в точке касания. Все образующие обеих поверхностей пересекаются между собой. Пересекающиеся поверхности имеют две общие касательные плоскости. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются в точках касания рис. В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть пространственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые. Теорема о двойном касании. Если две поверхности второго порядка имеют две общие точки точки касания , то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причем плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки касания. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой — либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые. Какие поверхности называются линейчатыми? Чем отличаются многогранные поверхности от многогранни-. При каком условии точка принадлежит поверхности? Как образуются поверхности вращения? Какие линии на поверхности вращения называют параллелями. Как образуются поверхности геликоидов? Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостями? Какие линии получаются при пересечении конуса вращения плоскостями? Как необходимо провести секущую плоскость, чтобы в сечении тора была окружность? В чем заключается общий способ построения линии пересечения поверхностей? В каких случаях для построения линии пересечения поверхностей применяют в качестве посредников проецирующие плоскости, в каких. Какие точки линии пересечения называют характерными опорными точками? FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?
Образец отличное резюме
Красивые цитаты о вечере
Маршруты городского транспорта нижний тагил
Для чего нужен инулин
Мал мала тюмень детская одежда каталог
Сайт стат гов кз
Подработка в раменском свободный график
Как сделать пирог в мультиварке рецепт
Sigma feat paloma faith changing перевод
Банковские инвестиции проблемы и перспективы 2017
Как дрессировать собаку с помощью электронного ошейника
Новости рынка драгоценных
Календарный план подготовительная группа ноябрь
Золотой 585 тула каталог
Как ухаживать за котятами без кошки