Лекция 1. "Матрицы и основные действия над ними. Определители"
3. Матрицы и определители
Учебное пособие: Матрицы и определители
Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:. Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц. Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы. Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме разности соответствующих элементов матриц А и В. Имеем матрицы , , ;. Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение если они существуют двух матриц А и В. Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем детерминантом матрицы и обозначаемое. Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно. Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:. Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя — вертикальные линии. Матрица — это таблица чисел, а определитель — число. Общий множитель всех элементов строки столбца определителя можно вынести за знак определителя:. Если все элементы некоторой строки столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю. Если элементы одной строки столбца определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки столбца прибавить вычесть соответственные элементы другой строки столбца , умноженные на одно и тоже число:. Введем понятие определителя третьего порядка: Чтобы запомнить, какие произведения в формуле 2 брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников правило Саррюса:. Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента через. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком. Формулы 3 называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки j-го столбца , или формулами Лапласа для определителя третьего порядка. Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки столбца. Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 — 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке столбце были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки столбца. Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложением по элементам строки столбца. Девятое свойство определителяносит название теорема аннулирования:. Но, для этого же примера: Иногда при вычислении определителя с помощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду, после чего применяется формула 4. Что касается определителя произведения двух квадратных матриц, то он равен произведению определителей этих квадратных матриц: В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему такое, что , и число, обратное ему такое, что. Например, для числа 5 противоположным будет число. Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение — А. Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства. Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу. Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы , , то есть. Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы. Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы. Пусть даны матрицы А и В. Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия:. Справочное пособие к решению задач: Высшая математика для экономистов. Все материалы в разделе "Математика". Понятие и типы матриц. Определители детерминанты квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Алгебра матриц Лекция 2. Определители квадратной матрицы и их свойства 2. Теоремы Лапласа и аннулирования Лекция 3. Единственность обратной матрицы 2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы 4. Задачи и упражнения 4. Матрицы и действия над ними 4. Индивидуальные задания Литература ЛЕКЦИЯ 1. Ключевые понятия Диагональная матрица. Что такое определитель матрицы? Определитель 4 порядка Определитель матрицы 4х4: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. Вычисление матрицы в MS Excel. Системы линейных и дифференциальных уравнений.
Схемы территориального планирования города москвы
Маленький принц курск каталог
Схема стеклоподъемников ваз 21214
Русско японская война 1904 1905 гг карта
Cos 30 таблица
График отключения горячей водыв северном медведково
Фотострана вход без регистрации
Немеет правая рука после сна
Любовь говорит википедия
Денежное дерево описание растения
Санатории где лечат тазобедренные суставы
Масляные духи мускус
Книга история вселенной
Как удобнее добраться до шереметьево
Что лучше в тесто маргарин или масло