/a.md Secret

## a.md

      
    Raw
  

              a.md
            
          
  title
  author
  date
  output
  
  
  スレ立てるまでもない質問はここで
  デフォルトの名無しさん
  2017-06-17
  
  
  html_document
  
  
  toc
  
  
  true
  
  
<style type="text/css">
div.todo {border-left: solid 1px black; padding-left: 1ex;}
div.todo:before {content: 'とど';}
</style>
まえがき {#preface}

\newcommand{\toss}{\operatorname{toss}}
\newcommand{\vol}{\operatorname{vol}}
\newcommand{\period}{\operatorname{period}}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\norm}[1]{|!|{#1}|!|}
このマークダウンa.mdは、次のコマンドでa.htmlにコンパイルされます。
Rscript -e "rmarkdown::render ('a.md')"

前提条件として次のシステムパッケージと

R
RStudio
python3

さらに、次のrのライブラリと
library (ggplot2);
library (poweRlaw);
library (pander);

次のpython3のライブラリが必要になります。
from sympy import *;

上記のコマンドが上手く動けば、次の処理が行われます。

r-markdown |- r with knitr -> pandoc-markdown |- pandoc -> html

したがって、htmlに限らず、Pandocで出力できるもの
ならば、どんな形式にでも出力できると思います。
例えば、次のコマンドではdocxが出力されます。
Rscript -e "rmarkdown::render ('a.md', output_format = 'word_document')"

pandocはrstudioに同封されていると思います。

$\pi/4$の巻 {#pi}

knitr::opts_chunk$set (echo = T, cache = T
, comment = '', fig.width = 4, fig.height = 4);

途中経過が見たいので、ビット配列を返すような関数に修正します。
start
#include <Rcpp.h>
// [[Rcpp::plugins(cpp14)]]
// [[Rcpp::export]]
Rcpp::LogicalVector c_bits (int n, double radius) {
	Rcpp::LogicalVector out (Rcpp::no_init (n));
	std::random_device rd;
	std::mt19937 g (rd ());
	std::uniform_real_distribution <double> dist (- radius, radius);
	while (0 < n--) {
		auto a = dist (g); 
		auto b = dist (g);
		out [n] = a * a + b * b < radius * radius;
	}
	return out;
}

走らせるザンス。
start-plot
param = list (m = 1e+3, n = 1e+3, radius = 123, p = pi / 4);
ensure.positive = function (x) {
	x [which (x <= 0)] = NA;
	x;
};
with (param, {
	x = do.call ('cbind', lapply (1:m, function (m) {
		cumsum (c_bits (n, radius)) / 1:n;
	}));
	matplot (1:n, x [, sample.int (m, min (10, m))], log = 'x', type = 'l'
	, main = 'ビット値の平均', xlab = 'n', ylab = '平均値');
	lines (c (1, n), rep (p, 2), col = 'red');
	y = apply (x, 1, function (x) mean ((x - mean (x)) ^ 2));
	plot (1:n, ensure.positive (y), log = 'xy', type = 'l'
	, main = '平均値の分散', xlab = 'n', ylab = '分散');
	lines (1:n, p * (1 - p) / 1:n, col = 'red');
});

ひとつ目のグラフは、長く走らせれば$\pi/4$に収束することを示しています。
だからこそ、
モンテカルロ界のハローワールド
として君臨しているのだと思います。今回のお題は次の疑問です。

どれくらいのスピードで収束するの？

ふたつ目のグラフはこの疑問にアプローチしています。シミュレーションを
個々に見ても傾向は掴みにくにので、r sprintf ('%.0e', param$m)回
シミュレーションを走らせて、シミュレーション毎のバラツキを見ています。
分散の二乗根をとってシミュレーションの結果と重ねてみましょう。
with (param, {
	x = do.call ('cbind', lapply (1:m, function (m) {
		cumsum (c_bits (n, radius)) / 1:n;
	}));
	y = apply (x, 1, function (x) mean ((x - mean (x)) ^ 2));
	y.lo = apply (x, 1, mean) - sqrt (y);
	y.hi = apply (x, 1, mean) + sqrt (y);
	matplot (1:n, x [, sample.int (m, min (100, m))], log = 'x', type = 'l'
	, main = '平均値のバラツキ', xlab = 'n', ylab = '平均値');
	polygon (c (1:n, rev (1:n)), c (y.lo, rev (y.hi)), col = rgb (0, 0, 1, 0.5));
});

シミュレーションすると、大体青で囲った範囲内にビット値の平均が収まるだろう
という目安です。この絵がこのポエムのハイライトです。
ふたつ目のグラフは$1/n$に比例した曲線によく当てはまっています。
両対数のグラフなので直線で描かれています。この現象は単純な式変形で
理解することができます。それを以下に書きます。
平均値が収束する値を$\mu$とし、シミュレーションが時刻$i$に出力したビット値
を$x_i$とします。今の場合、$\mu = \pi/4$です。「収束値は知らない」という
体でやっているので、正確には異なりますが、ふたつ目のグラフでの黒線は次の
$\delta_1^2,,\delta_2^2,\dots$に相当します。
$$
\delta_n := \frac{x_1 +\cdots+ x_n}{n} - \mu,\quad
\delta_n^2 = \frac{(x_1 +\cdots+ x_n - n\mu)^2}{n^2}
= \frac{(x_1 - \mu)^2 +\cdots+ (x_n - \mu)^2}{n^2}.
$$
シミュレーションを十分長く走らせると、出力したビット列の分散が$\sigma^2$
に近づくと仮定します。
$$
\frac{(x_1 - \mu)^2 +\cdots+ (x_n - \mu)^2}{n} \approx \sigma^2
\quad\text{for enough large } n.
\tag{eq:clt}\label{eq:clt}
$$
すると、$\delta_n^2$は次のようになります。
$$
\delta_n^2 \approx \frac{\sigma^2}{n} \quad\text{for enough large } n.
\tag{eq:clt-1}\label{eq:clt-1}
$$
シミュレーションが一回こっきりでは心もとないので、
r sprintf ('%.0e', param$m)回繰り返して得た結果を、
「平均値の収束値を知らない」という体で描いたのがふたつ目のグラフです。
$\eqref{eq:clt}$は自明でない仮定なので、そこを詰めたものを
中心極限定理
と言います。実際、後で述べる中心極限定理が成り立たない例では、
収束先の$\sigma^2$が無限大になり、ブラウン運動の例では、
$\eqref{eq:clt}$からずれます。「中心極限定理が成り立つことは稀だ」ぐらいの
気でいた方が安全かもしれません。
初めのコードがやっていることは、正方形の中に点をランダムに
ばらまいて、円の内側の点にtrue、外側の点にfalseを割り当てることです。
with (param, {
	n = 2e+2;
	a = runif (n, - radius, radius);
	b = runif (n, - radius, radius);
	plot (a, b, xlim = c (- radius, radius), ylim = c (- radius, radius)
	, col = ifelse (a ^ 2 + b ^ 2 < radius ^ 2, 'red', 'black'));
	t = seq (- pi, pi, len = 1e+3);
	polygon (radius * cos (t), radius * sin (t), col = rgb (0, 0, 1, 0.5));
});

したがって、ある時刻$n$でtrueが出る確率は$\pi r^2/(4r^2) = \pi/4$で、
falseが出る確率は$1-\pi/4$になります。しつこいですが、このことが
あるからこそ、
モンテカルロ界のハローワールド
に君臨しているのであって、「何を今更
激おこぷんぷん丸」
かもしれませんが、もうちょっと辛抱して下さい。
一般に、次の手順で生成されるビット列を確率$p$の
ベルヌーイ分布
と言います。


$(0,1)$の範囲でランダムに値$x$を一つ選び、

$x&lt;p$ならば、trueを. それ以外の場合は、falseを返す。

したがって、初めのコードは、確率$\pi/4$のベルヌーイ分布を生成
します。確率$p$のベルヌーイ分布の分散は$p(1-p)$なので、$\eqref{eq:clt-1}$
の$\sigma^2$は$\pi/4(1-\pi/4)$とわかります。
ふたつ目のグラフの赤線は、$\pi/4(1-\pi/4)/n$を描いています。
最初のコードが、$p=\pi/4$のベルヌーイ分布を生成することを
確かめておきます。ベルヌーイ分布は次のコードで生成されます。
coin.toss = function (n, p = pi / 4) runif (n, 0, 1) < p;

このコードと最初のコードが似たようなビット列を出力すれば、
両者が同じと言って良いと思います。単純に両者の出力を
コルモゴロフ–スミルノフ検定
で比べても良いと思いますが、せっかくなので、中心極限定理を使ってみます。
with (param, {
	n = 1e+5;
	x = cumsum (c_bits (n, radius)) / 1:n;
	y = cumsum (coin.toss (n, p)) / 1:n;
	z = ((x - p) ^ 2 + (y - p) ^ 2) / 2;
	plot (1:n, ensure.positive (z), log = 'xy', type = 'l'
	, main = '平均値の分散', xlab = 'n', ylab = '分散');
	lines (1:n, p * (1 - p) / 1:n, col = 'red');
});

中心極限定理が使えない場合 {#non-clt}

中心極限定理が使えない代表的な例として
べき乗則を考えます。例えば、
Wikipediaの閲覧回数（激重）
を例に見てみます。

param = list (views = views [- (1:2)], scale = 1e+6);
param = with (param, {
	x = views / scale;
	fit = conpl$new (x);
	out = estimate_xmin (fit);
	param$xmin = out$xmin;
	param$ymin = approx (x, 1:length (x), param$xmin)$y;
	param$alpha = out$pars;
	param;
});

power.mean = function (alpha) (alpha - 1) / (alpha - 2);
power.median = function (alpha) exp (log (2) / (alpha - 1));
with (param, {
	x = views / scale;
	plot (x, 1:length (x), log = 'xy', type = 'l'
	, xlab = sprintf ('views / week / %.0e', scale), ylab = 'rank');
	xs = seq (xmin, max (x), len = 1e+3);
	lines (xs, ymin * exp (- (alpha - 1) * log (xs / xmin)), col = 'red');
});

このデータの場合、スケーリング指数r sprintf ('%.1f', param$alpha)の
べき乗則になっています。一般に、スケーリング指数$\alpha$のべき乗則だと、
次の式から、
$$
\mathbb{E}\alpha(x^k) := \frac{\int{x=x_\min}^{x_\max}
x^kx^{-\alpha}}{\int_{x=x_\min}^{x_\max}x^{-\alpha}}
= \frac{\alpha - 1}{\alpha - (k + 1)}
\frac{x_\min^{(k+1)-\alpha} - x_\max^{(k+1)-\alpha}}
{x_\min^{1-\alpha} - x_\max^{1-\alpha}}
$$
$x_\max$を無限大とした平均と分散は、条件付きで次のように与えられます。
$$
\begin{split}
2 < \alpha &\implies \text{平均} = \frac{\alpha - 1}{\alpha - 2}x_\min, \
3 < \alpha &\implies \text{分散} = \left(\frac{\alpha - 1}{\alpha - 3}

\left(\frac{\alpha - 1}{\alpha - 2}\right)^2\right)x_\min^2.
\end{split}
$$
今使っている閲覧回数のデータの場合、$\alpha=$
r sprintf ('%.1f', param$alpha)なので、分散は発散しています。
したがって、中心極限定理は成り立ちません。もちろん、べき乗則が上級国民から
下級国民にまで全てに当てはまるということはまずなくて、大抵はごく少数の
上級国民にだけ当てはまります。それでも、べき乗則が成り立つ場合は、
富は上級国民に集中しているために、上級国民を調べることで富の分布がかなり
把握できるという性質があります。ちなみに、このデータの場合、本当の一位
（メインページ）と二位（ブランクページ）を取り除いているので、
xHamsterが最上級国民となって
います。エロ恐るべし。それはそれとして、wikipediaの総ページ数も人やボット
の数も有限なので、実際には分散は発散しません。したがって、十分大きなデータ
を集めれば、中心極限定理が適用できると思うかもしれませんが、中心極限定理が
前提としているのは、地球上にあるウェブページ数ぐらいの小さなデータ数では
ありません。ある程度の数の標本がないと、分散が$1/n$になる傾向が現れて
きません。その「ある程度の数」がwikipediaの総ページ数ぐらいになるかも
しれません。そうなると、標本をとって母集団の分布を推定する行為が
無意味になります。

マルコフ過程 {#markov}

最初のコードを次のように模式的に書きます。
$$
\begin{array}{c}
\text{平面上の点} & (a_1, b_1) & (a_2, b_2) & \cdots \
& \downarrow & \downarrow & \cdots \
\text{出力} & x_1 & x_2 & \cdots \
\end{array}
$$
これをちょっと書き換えて、平面上の位置は前回の位置に依存するように変更
します。
$$
\begin{array}{c}
\text{平面上の点} & (a_1, b_1) &\to& (a_2, b_2) &\to& \cdots \
& \downarrow && \downarrow && \cdots \
\text{出力} & x_1 && x_2 && \cdots \
\end{array}
$$
この手の次の状態が現在の状態に依存して定まる過程を
マルコフ過程と言います。
人によっては、
隠れマルコフモデル
と言った方がしっくりくるかもしれません。ここでは、単純にマルコフ過程
と言うことにします。平面上の正方形内を
ブラウン運動
させてみます。ブラウン運動は代表的なマルコフ過程で、やはり
確率過程界のハローワールドとして君臨しているように思います¹。
平面上の動きを見たいので、次のコードを用意します。
brown
#include <Rcpp.h>
// [[Rcpp::plugins(cpp14)]]
// [[Rcpp::export]]
Rcpp::NumericMatrix c_walk (int n, double a, double b, double eps) {
	Rcpp::NumericMatrix out (n, 2);
	std::random_device rd;
	std::mt19937 g (rd ());
	std::normal_distribution <double> dist (0, eps);
	auto guard = [] (const double& x) -> double {
		if (x < 0) {
			return - std::max (x, -1.0);
		} else if (1 < x) {
			return 2 - std::min (x, 2.0);
		}
		return x;
	};
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		out (i, 0) = a = guard (a + dist (g)); 
		out (i, 1) = b = guard (b + dist (g)); 
	}
	return out;
}

試し打ちザンス。
param = list (n = 1e+6, a = 1, b = 1, eps = 2e-2, p = pi / 4);
with (param, {
	x = c_walk (n, a, b, eps);
	y = cumsum (rowSums (x * x) < 1) / 1:n;
	plot (1:n, y, log = 'x', type = 'l'
	, main = 'ビット値の平均', xlab = 'n', ylab = '平均値');
	lines (c (1, n), rep (p, 2), col = 'red');
	i = 1:1e+3;
	plot (x [i, 1], x [i, 2], xlim = c (0, 1), ylim = c (0, 1), type = 'l'
	, main = sprintf ('ウロウロ up to n = %d', max (i)), xlab = 'x', ylab = 'y');
});

ベルヌーイ過程に比べて収束は遅いのですが、やはり、ビット値の平均は
$\pi/4$に収束します。このことは、今回の場合も十分長い時間走らせると、
正方形の中に点が一様にばらまかれることから来ています。正方形の中の点の
分布が同じなら、出てくるビット列も平均や分散が等しくなります。
平均や分散は、データの並び順を無視して計算するので、こういったことが
起こります。
初めのグラフに対応するグラフを描いてみます。
param$m = 1e+3;
param$n = 2e+4;
out = with (param, {
	bit = lapply (1:m, function (m) {
		x = c_walk (n, runif (1, 0, 1), runif (1, 0, 1), eps);
		#x = c_walk (n, a, b, eps);
		rowSums (x * x) < 1;
	});
	x = do.call ('cbind', lapply (bit, function (bit) {
		cumsum (bit) / 1:n;
	}));
	matplot (1:n, x [, sample.int (m, min (10, m))], log = 'x', type = 'l'
	, main = 'ビット値の平均', xlab = 'n', ylab = '平均値');
	lines (c (1, n), rep (p, 2), col = 'red');
	y = apply (x, 1, function (x) mean ((x - mean (x)) ^ 2));
	plot (1:n, ensure.positive (y), log = 'xy', type = 'l'
	, main = '平均値の分散', xlab = 'n', ylab = '分散');
	lines (1:n, p * (1 - p) / (1:n), col = 'red');
	do.call ('cbind', bit);
});

下に示しているように、出力されたビット列はベルヌーイ分布に収束しますが、
初めのグラフと異なり、中心極限定理は成り立っていません。
つまり、$\eqref{eq:clt}$が成り立ちません。
with (param, {
	a = mean (apply (out, 2, mean));
	b = mean (apply (out, 2, function (x) mean ((x - mean (x)) ^ 2)));
	pander (data.frame (
		平均 = c (実験値 = a, 理論値 = p), 分散 = c (b, p * (1 - p))
	));
});

一般には、中心極限定理はマルコ過程には適用できません。
スタックオーバフロー
に優れた解説があるので、興味があれば見て下さい。
一般には、マルコ過程では中心極限定理は成り立たないのですが、グラフは
大きな$n$のところでは、分散は$1/n$に比例しているように見えます。
以下ではそのことについて考えます。
同一の初期値でシミュレーションを何度もやって平均をとると、ビット列は
次の状態遷移で記述できると考えらます。
$$
\begin{array}{c}
&&& p_0 \
1 - p_0 & \circlearrowleft & \boxed{\operatorname{true}}
& \rightleftarrows &
\boxed{\operatorname{false}} & \circlearrowleft & 1 - p_1 \
&&& p_1 \
\tag{eq:charlie}\label{eq:charlie}
\end{array}
$$
$p_0$はtrueからfalseへの遷移確率、$p_1$はfalseからtrueへの
遷移確率です。この状態遷移図は次の行列$T$に化けます。
from sympy import *;
p_0 = Symbol ('p_0');
p_1 = Symbol ('p_1');
T = Matrix ([[1 - p_0, p_1], [p_0, 1 - p_1]]);
print ('$$\n' + 'T := ' + latex (T) + ',\quad' 
+ latex (T.eigenvects ()) + '\n$$\n');

時刻$t$でtrueが$n_1(t)$個、falseが$n_0(t)$個あらば、
時刻$t+1$でのそれぞれの個数は次のようになると言っています。
$$
\begin{pmatrix}
n_1(t+1) \ n_0(t+1)
\end{pmatrix} = T \begin{pmatrix}
n_1(t) \ n_0(t)
\end{pmatrix}.
$$
以降では、厄介を避けるために、$p_0 + p_1 < 1$の場合のみを考えます。
$X(1)\in\mathbb{R}^2$が与えられたとし、$X(k+1) := T^kX(1)$とおくと、
次の式が成り立ちます。
$$
\frac{X(1) +\cdots+ X(n)}{n} = \frac{T^0 +\cdots+ T^{n-1}}{n} X(1)
= \frac{1}{n}\frac{1 - T^n}{1 - T} X(1).
$$
$T$の固有ベクトルを次のように書き、
$$
X_0 := \frac{1}{p_0 + p_1}\begin{pmatrix}
p_1 \ p_0
\end{pmatrix},\quad X_\lambda := \begin{pmatrix}
1 \ - 1
\end{pmatrix},\quad \lambda := 1 - (p_0 + p_1).
$$
$X(1) = c_1X_1 + c_\lambda X_\lambda$とおくと、平均分布は次のように書ける
ことがわかります。
$$
\frac{X(1) +\cdots+ X(n)}{n} = c_1X_1

\frac{c_\lambda}{n}\frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda}X_\lambda.
$$
したがって、どのような初期分布であろうと、$n\to\infty$で平均分布は
$c_1X_1$に収束します。ビット値の平均$\bar{x}(n)$は次のようになります。
$$
\bar{x}(n) := \frac{(1,0)\bar{X}(n)}{(1,1)\bar{X}(n)}
= \frac{p_1}{p_1 + p_0} + \frac{1}{n}\frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda}
\frac{c_\lambda}{c_1}
,\quad \bar{X}(n) := \frac{X(1) +\cdots+ X(n)}{n}.
$$

平均分布がが確率$p_\toss$のベルヌーイ分布に収束するためには、次の式が
成り立つ必要があります。
$$
\frac{p_1}{p_0} = \frac{p_\toss}{1-p_\toss}.
$$
この時、$p_1$と$p_0$は$p_\toss$と$\lambda$で次のように書けます。
$$
p_1 = p_\toss(1 - \lambda),\quad p_0 = (1 - p_\toss)(1 - \lambda),
$$
$\eqref{eq:clt}$を定義するのに使った$\delta_n$に似た$\Delta_n(\lambda)$
を次のように定義すると、
$$
\Delta_n(\lambda) := \bar{x}(n) - p_\toss
= \frac{1}{n}\frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda} \frac{c_\lambda}{c_1},
$$
ベルヌーイ過程との収束速度の比が得られます。
$$
\frac{\Delta_n(\lambda)}{\Delta_n(0)} = \frac{1 - \lambda^n}{1 - \lambda}.
\tag{eq:ratio}\label{eq:ratio}
$$
この式は、$\lambda$がゼロでない場合も、ビット列の平均値が指数的に
ベルヌーイ分布の平均値に近づくことを示しています。
ここで、brownが生成するビット列は、$p_\toss=\pi/4$として、
この条件を満たす状態遷移で近似できると仮定します。この仮定には、ほとんど
根拠がなく、上手く行かなくて当然といったものです。
シミュレーションならではの遊びです。
$C$を単位円として、次の式で$p_0$を近似できると思うのですが、前年ながら
計算する能力がありません。
$$
p_0 \approx \frac{1}{\vol(C)}\int_{x\in C}\int_{y\not\in C}
\frac{1}{2\pi\eps^2} \exp\left(- \frac{\norm{x - y}^2}{2\eps^2}\right)
$$
したがって、シミュレーション結果から$p_0$と$p_1$を求めることにします。
ベルヌーイ過程の生成するベルヌーイ分布と区別するために、
$\eqref{eq:charlie}$が生成するビット列をチャーリー列ということにします。
x = with (param, {
	p1 = mean (apply (out, 2, function (x) {
		sum (diff (x) > 0) / sum (x == F);
	}));
	p0 = mean (apply (out, 2, function (x) {
		sum (diff (x) < 0) / sum (x == T);
	}));
	a = 1 / p1 + 1 / p0 - 2;
	b = 1 / p + 1 / (1 - p) - 2;
	list (pander (data.frame (
		p1 = c (チャーリー = p1, ベルヌーイ = p, 'ベルヌーイ / チャーリー' = p / p1)
		, p0 = c (p0, 1 - p, (1 - p) / p0)
		, lambda = c (1 - (p0 + p1), 0, 0)
		, period = c (a, b, b / a)
		)), list (p1 = p1, p0 = p0, charlie = a, bernoulli = b)
	);
});
charlie = x [[2]];
x [[1]];

ドンピシャとはいきませんが、悪くない値が出ているようです。ここで、
periodは次のように定義しています。
$$
\period(\lambda) := \sum_{m,n=0}^\infty (m+n) p_1(1-p_1)^mp_0(1-p_0)^n
= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_0} - 2.
$$
上の表から、brownが出力するビット列をチャーリー列で近似した場合、
対応するベルヌーイ分布に比べて、
r sprintf ('%.1f', charlie$charlie / charlie$bernoulli)倍長いperiod
を持つことがわかります。
periodは$\eqref{eq:ratio}$と次のように関係しています。
$$
\frac{\period(\lambda) + 2}{\period(0) + 2}
= \frac{\Delta_\infty(\lambda)}{\Delta_\infty(0)}
= \frac{1}{1 - \lambda}.
$$
チャーリー列はベルヌーイ分布を$\period(\lambda)/\period(0)$だけスロー再生
したものだと考えることができるので、それで、平均値の分散を漸近的に近似
できればラッキーです。試してみるザンス。
out = with (param, {
	for (eps in c (2e-2, 5e-2, 1e-1, 2e-1)) {
		bit = lapply (1:m, function (m) {
			x = c_walk (n, runif (1, 0, 1), runif (1, 0, 1), eps);
			rowSums (x * x) < 1;
		});
		x = do.call ('cbind', lapply (bit, function (bit) {
			cumsum (bit) / 1:n;
		}));
		matplot (1:n, x [, sample.int (m, min (10, m))], log = 'x', type = 'l'
		, main = 'ビット値の平均', xlab = 'n', ylab = '平均値');
		lines (c (1, n), rep (p, 2), col = 'red');
		y = apply (x, 1, function (x) mean ((x - mean (x)) ^ 2));
		plot (1:n, ensure.positive (y), log = 'xy', type = 'l'
		, main = '平均値の分散', xlab = 'n', ylab = '分散');
		lines (1:n, p * (1 - p) / 1:n, col = 'red');
		if (F) {
			z = rowMeans (do.call ('cbind', lapply (bit, function (bit) {
				p1 = sum (diff (bit) > 0) / sum (bit == F);
				p0 = sum (diff (bit) < 0) / sum (bit == T);
				lambda = 1 - (p0 + p1);
				(1 - lambda ^ (1:n)) / (1 - lambda);
			})));
			lines (1:n, z ^ 2 * p * (1 - p) / (1:n), col = 'green');
		}
		z = mean (sapply (bit, function (bit) {
			p1 = sum (diff (bit) > 0) / sum (bit == F);
			p0 = sum (diff (bit) < 0) / sum (bit == T);
			(1 / p1 + 1 / p0 - 2) / (1 / p + 1 / (1 - p) - 2);
		}));
		lines (1:n,  z ^ 2 * p * (1 - p) / (1:n), col = 'blue');
	}
});

たまたな上手くいっていますが、初期値をランダムにしているせいだろうと
思います。コメントアウトしていることから分かるように、$\eqref{eq:ratio}$
も試してみたのですが、上手くいかないようです。
views = c (112094257
,5401953
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,24611);

Footnotes


ハローワールドのみならず、様々な分野の一線で使われている
頻出ハローワールドだと思います。 ↩