Решение
Математический форум Math Help Planet
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если для комплексного , такое, что Число называется собственным числом собственным значением оператора f , соответствующим этому собственному вектору. Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X , то или. Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f , - символ Кронекера. Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений. Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид. Предположим, что n стран или к-либо других автономных сообществ людей осуществляют между собой торговлю. Пусть доход i-ой страны от торговли составляет х ден. Вэкономической лит-ре наз-ся структурной матрицей торговли. Ограничимся ситуацией, когда страна тратит все на покупку собственных товаров и товаров из других стран. Тогда сумма по столбцу. Произведение представляет собой выручку i-ой страны от продажи товаров j-ой. Поэтому суммарная выручка i-ой страны от продажи товаров на внутреннем и внешнем рынке:. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х 1 и х 2. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х 1 , х 2 и х 3. Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы. Пусть на плоскости задан ортогональный базис. Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х 1 , х 2. Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей. Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х 1 их 2 — скалярное произведение. Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:. При переходе к новому базису от переменных х 1 и х 2 мы переходим к переменным и. Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки. Полярными координатами произвольной точки М относительно заданной системы называются числа и см. Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М называются также амплитудой. Символ М ; обозначает, что точка М имеет полярные координаты и. Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число. Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: Пользоваться одним и тем же масштабом, 2. При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки. При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам. При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве. Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом , хорошо известное по школьному курсу математики. Тогда, если , то угол между этими прямыми можно найти из формулы. Если , то прямые перпендикулярны. Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси. Так как , , то при выполняется равенство. Если же , то , откуда. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. М на прямую АВ. Для опред-ния расстояния d нужно: М0 Х0;У0 ; б найти т N x1;y1 пересеч-ния прямых, ршивсис-мууравн этих прямых; в по формуле. Пусть заданы 2 прям. Последнее изменение этой страницы: Все права принадлежать их авторам. Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: Таким образом возникает естественный вопрос: Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора. Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, то есть будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения - для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: Опишем свойства этого уравнения и его решений. Приведем необходимые сведения об этих уравнениях. Уравнение 61 имеет на комплексной плоскости столько решений, какова его степень решения учитываются с учетом кратности. Оно имеет следующие решения: Решения, кратность которых выше 1, называют кратными. Однако на практике уравнения высокой степени можно успешно решать с помощью компьютеров. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что мы тем или иным способом построили решения уравнения При этом данная система имеет нетривиальное решение, так как ранг этой системы меньше числа неизвестных. Найдем собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе следующей матрицей: Мы получили 3 собсвенных значения, все они имеют кратность 1, то есть это простые собственные числа. Вычислим соответствующие собственные вектора. Эта система уравнений для 3 неизвестных имеет следующее решение: Свойства собственных векторов Теорема. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства. В силу его линейности получаем: Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов. Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций. Линейные операторы Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.
Провалы при нажатии на газ причины
Интернет магазин икеа екатеринбург каталог товаров 2017
Социологи используют термин социальный контроль для характеристики
Чем заменить морковь в супе
Y cos x п 6 график