Реферат: Математические методы планирования экспериментов
2. Математическое планирование эксперимента в научных исследованиях
/ ОМНИ Методичка по планированию эксперимента
Развитие современной науки и техники связано с созданием новых и постоянным совершенствованием существующих научных и технологических процессов. Основой их разработки и оптимизации является эксперимент. Заметное повышение эффективности экспериментальных исследований и инженерных разработок достигается использованием математических методов планирования экспериментов. В процессе экспериментирования и при обработке полученных данных существенно сокращает сроки решения, снижает затраты на исследования и повышает качество полученных результатов. Цель планирования эксперимента — нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ — Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. В нашей стране - в трудах Г. Часто, приступая к изучению какого-либо процесса экспериментатор не имеет исчерпывающих сведений о механизме процесса. Можно только указать параметры определяющие условия протекания процесса, и, возможно требования к его результатам. Поставленная проблема является задачей кибернетики. Зависимость между выходными параметрами откликом и входными параметрами факторами называется функцией отклика. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы Этому уравнению в многомерном пространстве соответствует гиперповерхность, которая называется поверхностью отклика, а само пространство — факторным пространством. Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида:. В этом выражении означает модельное, то есть рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, то есть В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью [1]. Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда исследователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств, эксперимент считают пассивным. В настоящее время пассивный эксперимент считается неэффективным. Гораздо более продуктивно проводится эксперимент, когда исследователь применяет статистические методы на всех этапах исследования, и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решение о дальнейших действиях. Такой эксперимент считают активным, и он предполагает планирование эксперимента. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Под математической моделью планирования понимается наука о способах составления экономических экспериментальных данных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки данных и их использование для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов [3]. Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения:. Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:. Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка 6. В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное. Так, при их 27, а число коэффициентов , при число опытов , а коэффициентов В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно. Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т. Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, то есть факторы и должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты звездные точки 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению , и т. Рисунок 3 — Планы второго порядка при: Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при ПФЭ , а при - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:. При этом величина звездного плеча и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана. Композиционный план для и представлен в таблице 1. Приведем его к ортогональному виду , для чего введем новые переменные преобразования для квадратичных эффектов:. Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо. В таблице 2 приведено значение а для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана. В частности, ортогональный план второго порядка для и представлен в таблице 3, а его геометрическая интерпретация - на рисунке 3, а. Представленный на рисунке 3, а и в таблице 3 прямоугольный квадратный план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен 9 опытов для определения 6 коэффициентов. Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер. Уравнения регрессии определяются независимо один от другого по формулам. Здесь i - номер столбца в матрице планирования; j - номер строки; суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий. Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью см. В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получаем уравнение регрессии в виде:. Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента к коэффициенту , используя выражение:. В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:. Значимость коэффициентов проверяется по критерию согласия Стьюдента. Коэффициент значим, если , где m— число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. Уравнение значимо, если составлено таким образом F - отношение меньше теоретического: Рототабельным называют планирование, для которого дисперсия отклика выходного параметра , предсказанного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее неизвестно, где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в раза меньше, чем удаление точек 1: Бокс и Хантер предложили рототабельные планы 2-го порядка. Для того чтобы композиционный план был рототабельным, величину звездного плеча выбирают из условия:. Число точек в центре плана увеличивают. В таблице 4 приведены значения а для различного числа независимых факторов. Рассмотрим идею выбора значения звездного плеча на примере матрицы рототабельного планирования второго порядка для , представленной в таблице 5. Размещение точек этого плана показано на рисунке 3, б. Для обеспечения рототабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние в раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей и. В результате этого все точки плана таблица 5 оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов в данном случае опыты с 9 до 13 для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом. Учитывая специфический характер рототабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:. Здесь - число опытов в центре плана; - число остальных опытов. Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимые, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново. При использовании рототабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по рототабельному плану второго порядка, поступают следующим образом. Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность , число степеней свободы которой. Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка [1]. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:. Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;. Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;. Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;. Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;. Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полученные разными исследователями. В данном реферате было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первого порядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка и построение планов второго порядка [2]. Методы планирования и обработки результатов инженерного экспиремента: ГОУ ВПО УГТУ — УПИ, Логические основания планирования эксперимента: Планирование эксперимента — Режим доступа: Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 23 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 68 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 50 Ветеринария 50 Военная кафедра ГДЗ 2 География Геодезия 30 Геология Геополитика 43 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 19 Деньги и кредит ЕГЭ Естествознание 96 Журналистика ЗНО 54 Зоология 34 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 64 Коммуникации и связь Компьютерные науки 60 Косметология 17 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 48 Криптология 3 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература: Плохо Средне Хорошо Отлично. Банк рефератов содержит более тысяч рефератов , курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому. Математические методы планирования экспериментов Название: Математические методы планирования экспериментов Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: Общие сведения о планировании эксперимента Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Математическая запись функции отклика представлена в виде формулы 1: Рисунок 2 — Поверхность отклика Для математического описания поверхности отдыха используют уравнение: Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида: Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, то есть 4 В регрессионной модели члены второй степени , характеризуют кривизну поверхности отклика. Краткая характеристика методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планом первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения: Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо: При kфакторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит: Таблица 1 — Композиционный план второго порядка Номер опыта. Число опытов в центре плана. Звездное плечо при различном числе факторов k. Число точек в центре плана. Отличный у Вас сайт, очень помог! Сделай паузу, студент, вот повеселись: Студент сдает экзамен по физике. Профессор пытается его вытянуть, спрашивает: Кстати, анекдот взят с chatanekdotov. Где скачать еще рефератов? Кто еще хочет зарабатывать от рублей в день "Чистых Денег"? Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?
Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др. Процедура планирования оказалась направленной не только на уменьшение дисперсии оцениваемых параметров, но также и на рандомизацию относительно сопутствующих, спонтанно изменяющихся и неконтролируемых переменных. В результате удалось избавиться от смещения в оценках. Фишер начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. Кишен рассмотрел планирование эксперимента по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы Х. Первое глубокое математическое исследование блок-схемы выполнено Р. Вначале была разработана теория сбалансированных неполноблочных планов BIB-схемы. Рао обобщили эти планы и разработали теорию частично сбалансированных неполноблочных планов РBIB-схемы. С тех пор изучению блок-схем уделяется большое внимание как со стороны специалистов по планированию эксперимента Ф. Кемптгорн и другие , так и со стороны специалистов по комбинаторному анализу Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы. Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движение по градиенту и отыскание интерполяционного полинома в области экстремума функции отклика почти стационарной области. Бокс, а затем П. Направление получило развитие в работах Н. Федорова в ядерной физике. Развитие теории планирование эксперимента в СССР отражено в работах В. Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов. Если же по каким-либо причинам число испытаний уже ограничено, то методы дают оценку точности, с которой в этом случае будут получены результаты. Методы учитывают случайный характер рассеяния свойств испытываемых объектов и характеристик используемого оборудования. Они базируются на методах теории вероятности и математической статистики. Выбор вида испытаний нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории, на стенде , полигонные , натурные или эксплуатационные. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной априорной информации. Входные параметры факторы могут быть детерминированными, то есть регистрируемыми и управляемыми зависимыми от наблюдателя , и случайными, то есть регистрируемыми, но неуправляемыми. Наряду с ними на состояние исследуемого объекта могут оказывать влияние нерегистрируемые и неуправляемые параметры, которые вносят систематическую или случайную погрешность в результаты измерений. Установление потребной точности результатов измерений выходных параметров , области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий. Выбирается вид образцов или исследуемых объектов, учитывая степень их соответствия реальному изделию по состоянию, устройству, форме, размерам и другим характеристикам. На назначение степени точности влияют условия изготовления и эксплуатации объекта, при создании которого будут использоваться эти экспериментальные данные. Условия изготовления, то есть возможности производства, ограничивают наивысшую реально достижимую точность. Условия эксплуатации, то есть условия обеспечения нормальной работы объекта, определяют минимальные требования к точности. Для ряда случаев при небольшом числе факторов и известном законе их распределения можно заранее рассчитать минимально необходимое число испытаний, проведение которых позволит получить результаты с требуемой точностью. Порядок проведения испытаний важен, если входные параметры факторы при исследовании одного и того же объекта в течение одного опыта принимают разные значения. Например, при испытании на усталость при ступенчатом изменении уровня нагрузки предел выносливости зависит от последовательности нагружения, так как по-разному идет накопление повреждений, и, следовательно, будет разная величина предела выносливости. В ряде случаев, когда систематически действующие параметры сложно учесть и проконтролировать, их преобразуют в случайные , специально предусматривая случайный порядок проведения испытаний рандомизация эксперимента. Это позволяет применять к анализу результатов методы математической теории статистики. Порядок испытаний также важен в процессе поисковых исследований: Эти экспериментальные задачи подобны математическим задачам численного поиска оптимальных решений. Наиболее хорошо разработаны методы одномерного поиска однофакторные однокритериальные задачи , такие как метод Фибоначчи, метод золотого сечения. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик. Необходимость обработки вызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных, вне связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка могут не только снизить ценность практических рекомендаций, но и привести к ошибочным выводам. Построение математической модели выполняется в случаях, когда должны быть получены количественные характеристики взаимосвязанных входных и выходных исследуемых параметров. Для этих целей применяют регрессионные модели , которые основаны на разложении искомой функции в ряд с удержанием одного линейная зависимость, линия регрессии или нескольких нелинейные зависимости членов разложения ряды Фурье, Тейлора. Одним из методов подбора линии регрессии является широко распространенный метод наименьших квадратов. Для оценки степени взаимосвязанности факторов или выходных параметров проводят корреляционный анализ результатов испытаний. В качестве меры взаимосвязанности используют коэффициент корреляции: При обработке или использовании экспериментальных данных, представленных в табличном виде, возникает потребность получения промежуточных значений. Для этого применяют методы линейной и нелинейной полиноминальной интерполяции определение промежуточных значений и экстраполяции определение значений, лежащих вне интервала изменения данных. Объяснение полученных результатов и формулирование рекомендаций по их использованию, уточнению методики проведения эксперимента. Снижение трудоемкости и сокращение сроков испытаний достигается применением автоматизированных экспериментальных комплексов. Такой комплекс включает испытательные стенды с автоматизированной установкой режимов позволяет имитировать реальные режимы работы , автоматически обрабатывает результаты, ведет статистический анализ и документирует исследования. Но велика и ответственность инженера в этих исследованиях: Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное. Эксперименты Проектирование Нерешённые проблемы статистики. Нет источников с ноября Википедия: Статьи без источников тип: Статьи с утверждениями без источников более 14 дней Википедия: Статьи к викификации Википедия: Статьи без ссылок на источники. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 29 апреля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Карта рельефа воронежской области
Что делать если муж хочет есть
Карта дорог подмосковья подробная
Когда можно сдавать мочу после антибиотиков
Общие сведения о способах электрозащиты