Skip to content

Instantly share code, notes, and snippets.

Embed
What would you like to do?
Свойства знакопостоянных рядов

Свойства знакопостоянных рядов



Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Свойства знакопостоянных рядов/


/ Лекция 01 Ряды
Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами
Свойства сходящихся рядов.
























Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:. Числа называются членами ряда , а член — общим или n -м членом ряда. Например, ряд с общим членом имеет вид: Сумма первых членов ряда называется n -ой частичной суммой ряда и обозначается. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся , а этот предел называется суммой ряда. То есть, если , то ряд сходится, а — сумма ряда. В этом смысле можно записать. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет. Исследовать на сходимость геометрический ряд , то есть ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:. Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд 1. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, то есть n -я частичная сумма ряда при равна. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд , полученный умножением данного ряда на число , также сходится, и имеет сумму. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряды также сходятся и их суммы равны соответственно и. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания или добавления конечного числа членов. Установить сходимость расходимость ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления , как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении суммировании первых членов ряда. Обычно сходимость расходимость ряда устанавливается с помощью специальных теорем — признаков сходимости. В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего. Предел отношения двух бесконечно малых величин б. Например, по правилу Лопиталя имеем:. Пусть для ряда существует предел отношения -го члена ряда к -му: Напомним, что , поэтому. Воспользуемся формулой , тогда:. В этом случае требуемой функцией является. Функция является невозрастающей на интервале. Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при. То же самое можно сказать и о данном ряде. Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при. Выписав и заменив в нем n на x , получим функцию. Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано! Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: Критическая точка , на интервале , то есть функция невозрастающая. Теперь можно переходить к интегрированию. Первый признак сравнения признак сравнения в форме неравенства. Пусть даны два ряда с положительными членами:. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 что, естественно, не повлияет на сходимость ряда. Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, так как синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:. Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме — ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства. Второй признак сравнения признак сравнения в предельной форме. Если и — ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения. Выпишем предел и преобразуем его:. Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, то есть , или в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, то есть не 0 и не. Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , то есть сходится. Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел 2. Третий признак сравнения признак сравнения в форме эквивалентных б. В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда сходимость или расходимость от этого не изменится. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при:. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , то есть n является бесконечно большой. А вот бесконечно малыми являются величины вида: Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость. Попробуем применить признак Даламбера:. Этого следовало ожидать см. Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:. Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства первый признак сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: В нашем случае при , и функция монотонно убывает в данном промежутке. Для этого необходимо вычислить. Используя правило Лопиталя, получим. Ряд называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Модульный признак сходимости знакопеременных рядов. Отметим, что если ряд 3. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов гармонический ряд расходится. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится. Например, ряд является условно сходящимся см. А ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин , сходится обобщенный гармонический при. Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд. Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:. Можно показать теорема Римана , что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом p подберем в процессе сравнения , имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, то есть при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет. До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, то есть числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:. Такой ряд не отличается существенно от ряда вида 4. Множество значений , при которых степенной ряд 4. Областью сходимости степенного ряда вида 4. Число получило название радиуса сходимости , а интервал — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, то есть при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку при , у других охватывает всю числовую ось при. Последнее изменение этой страницы: Все права принадлежать их авторам. Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.


Расписание автобуса 10 ярцево
Белые точки на руках ребенка
Медицинское заключение по результатам медосмотра бланк
Признаки сходимости знакопостоянных рядов
Тесты крипипаста твой будильник
H61m c характеристики
Well defined перевод
Свойства сходящихся рядов.
Ив роше интернет магазин каталог
Какой сейчас год по еврейскому календарю
Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами
Кинотеатры калининград расписание сеансов
Труба пнд 150
Сколько стоит сделать скважину
Свойства сходящихся рядов.
Сколько стоят сторожевые собаки
Sign up for free to join this conversation on GitHub. Already have an account? Sign in to comment
You can’t perform that action at this time.