Вариации при исчислении
Вариационные методы решения краевых задач
Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона
Краевая задача
курсовая работа Вариации при исчислении
Вариации при исчислении
В этой главе мы изложим способ построения разностных схем, основанный на использовании той или иной вариационной или проекционной постановки краевой задачи, решение которой требуется численно найти. Этот способ, называемый иногда методом конечных элементов, позволяет строить пригодные разностные схемы на нерегулярных сетках, а также при меньших предположениях о гладкости искомого решения и коэффициентов уравнения. Благодаря появляющейся свободе в выборе сеток узлы можно располагать гуще в тех частях области определения искомого решения, где решение ведет себя более сложно или где нас интересуют более мелкие детали его поведения. Возможность целесообразно располагать узлы позволяет достигать требуемой точности при меньшем числе узлов сетки. Метод конечных элементов можно интерпретировать как одну из возможных конкретизаций классических вариационных методов решения краевых задач. Вариационные и проекционные методы 1. Вариационная постановка краевых задач. Многие дифференциальные краевые задачи математической физики допускают естественные вариационные постановки. Мы ограничимся рассмотрением двух простых примеров таких задач и их вариационных постановок, иллюстрирующих, однако, суть дела. В этих примерах речь пойдет о различных краевых задачах для уравнения Пуассона в некоторой ограниченной области D плоскости х, у с кусочно-гладкой границей Г. Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в области D и на ее границе Г функций, обладающих также ограниченными производными первого порядка, которые могут иметь разрывы лишь на конечном множестве прямых для каждой функции w x,y - своих. Введем в линейном пространстве W норму, положив для каждой функции Пополнение пространства W приводит к полному пространству С. Переходим к рассмотрению примеров. Рассмотрим первую краевую задачу задачу Дирихле где s - длина дуги вдоль границы Г области заданные функции, удовлетворяющие всем условиям того, чтобы решение задачи А имело непрерывные вторые производные всюду в области D и на ее границе Г. Среди всех функций удовлетворяющих граничному условию решение задачи А придает выражению функционалу наименьшее численное значение. Пусть некоторая фиксированная функция. Введем обозначение так что Поскольку имеет непрерывные вторые производные, а , то также причем. Докажем равенство из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае функция не обращается тождественно в нуль, так что второе слагаемое в правой части формулы 4 строго положительно, и. Очевидно, Остается проверить, что третье слагаемое в правой части обращается в нуль. Действительно, из очевидных тождеств следует где — производная по внутренней нормали. В предпоследнем переходе в цепочке равенств 6 мы воспользовались теоремой из векторного анализа, в силу которой интеграл от дивергенции векторного поля по области равен потоку этого векторного поля через границу области. В данном случае этот поток обращается в нуль, так как Теорема доказана. Таким образом, задача А допускает следующую вариационную постановку: Рассмотрим третью краевую задачу где — заданные фунции, — производная в направлении внутренней нормали. Среди всех функций решение v задачи В придает функционалу наименьшее значение. Пусть - какая-нибудь фиксированная функция. Обозначим Докажем равенство из которого следует, что в случае , т. Очевидно, Остается показать, что выражение, стоящее в правой части 9 во вторых фигурных скобках, обращается в нуль. Действительно, преобразовывая двойной интеграл в этом выражении аналогично 6 , получим поскольку. Таким образом, третья краевая задача для уравнения Пуассона В допускает следующую вариационную постановку: Обратим внимание на то, что различие в вариационных постановках краевых задач А и В не исчерпывается различием в функционалах При минимизации функционала допустимыми считаются все функции , а при минимизации функционала лишь те функции , которые удовлетворяют краевому условию задачи А. Это различие дало повод называть краевое условие задачи В естественным, поскольку при вариационной постановке оно не накладывает никаких ограничений на. Разностное уравнение второго порядка 2. Общее решение неоднородного уравнения. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения. Признаки хорошей обусловленности 2. Достаточный признак хорошей обусловленности. Критерий хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами. Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка 2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма. Свойства хорошо обусловленных краевых задач 2. Доказательство критерия хорошей обусловленности. Свойства хорошо обусловленных задач. Обоснование метода прогонки для хорошо обусловленных краевых задач 2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений. Скорость сходимости решения разностного уравнения. Неустойчивая разностная схема ГЛАВА 5. Сходимость разностной схемы 2. Проверка сходимости разностной схемы. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой 3. Разбиение разностной схемы на подсистемы. Замена производных разностными отношениями. Другие спосрбы построения разностных схем. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости 2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью к сходимостью. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения. Достаточный признак устойчивости разностных схем решения задачи Коши 2. Каноническая запись разностной схемы. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Необходимый спектральный признак устойчивости 2. Обсуждение спектрального признака устойчивости. Прием исследования устойчивости нелинейных задач ГЛАВА 6. Схемы Рунге — Кутта и Адамса 2. Обобщение на системы уравнений. Методы решения краевых задач 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЛАВА 7. Простейшие приемы построения аппроксимирующих разностных схем 2. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор. Условие Куранта, Фридрихса и Леви, необходимое для сходимости 2. Примеры разностных схем для задачи Коши. Примеры разностных схем для задачи Дирихле. Спектральный анализ разностной задачи Коши 2. Необходимое спектральное условие устойчивости. Выглаживание разностного решения как действие аппроксимационной вязкости. Принцип замороженных коэффициентов 2. Признак Бабенко и Гельфанда. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье 2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке. Представление решений разностных схем для двумерной задачи теплопроводности. Представление решения разностной схемы для задачи о колебаниях струны. Сопоставление явной и неявной разностных схем. Условие на линии разрыва решения. Другое определение обобщенного решения. Построение разностных схем 2. Расщепление по физическим факторам ГЛАВА Анализ явной схемы установления. Метод Федоренко ГЛАВА Вариационные и проекционные методы 2. Способы решения алгебраической системы. Построение и свойства вариационно-разностных и проекционно-разностных схем 2. Пример вариационно-разностной схемы для первой краевой задачи. Пример вариационно-разностной схемы для третьей краевой задачи. О методике доказательства сходимости. Сопоставление вариационно-разностных, схем с общими вариационными и обычными разностными. Запись разностных краевых задач в виде Устойчивость как равномерная ограниченность норм степеней Rh. Некоторые способы оценки норм степеней операторов 2. Спектральный критерий ограниченности степеней самосопряженного оператора. Оценки собственных значений оператора Rh. Близость необходимого признака устойчивости к достаточному. Алгоритм вычисления спектра семейства разностных операторов над сеточными функциями на отрезке 2. Алгоритм вычисления спектра в общем случае. Обозначим через W линейное пространство всех непрерывных в области D и на ее границе Г функций, обладающих также. Докажем равенство из которого следует справедливость теоремы, поскольку в случае функция не обращается тождественно в нуль, так что второе слагаемое в правой части формулы.
Гражданский кодекс ст 314
Новости красноярского края официальный сайт
Грыжа поясничного отдела позвоночника лечение
Расписание поездов уфа курган
Цирк на фонтанке план зала
Спанбонд черный 60 г м2