Понятие множества.
Множество
Тема: Теория множеств
Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 — элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества — группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента. Существует лишь одно пустое множество. Множество называется конечным, если существует натуральное число п , такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного — множество натуральных чисел. Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Каждый элемент входит в множество только один раз. Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов. Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием. Другой способ задания множеств состоит в следующем: Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы. При данном способе задания множество может быть записано так: Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: Если множества А и В имеют общие элементы, то есть элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В , то говорят, что эти множества пересекаются. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А , если они существуют, — собственные подмножества. Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2 п различных подмножеств. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным обозначают I. Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества — кругами в этом прямоугольнике. Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью. Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В , то есть их общие элементы. Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно. Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А — множество чисел, кратных 2; В — множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3. Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств. Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Множество на рисунке показано штриховкой. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А обозначают. Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В — множество натуральных чисел, кратных 9, то — это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9. Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу. Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Глазовский государственный педагогический институт им. Пустое множество Множество — основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения: N — множество натуральных чисел; N 0 — множество целых неотрицательных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел. Множества могут быть конечными и бесконечными. Способы задания множеств Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Графическая иллюстрация множеств Определение. На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом: Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом: Операции над множествами Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Данное определение можно записать в таком виде: Данное определение можно записать так:
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Множество — это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента. В широком смысле, множество — это совокупность объектов элементов , которые понимаются как единое целое по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам. Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:. Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:. Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака ов , который присущ всем его элементам. Довольно часто вместо неё используется двоеточие: Данное множество можно записать и прямым перечислением: Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел о них позже , которые перечислить через запятую уже невозможно. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Практически всё понятно из самого названия: Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще — произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно или неслучайно взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества. Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера. Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны — кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т. Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:. Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов людей, кур, овец, монет и т. Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт: Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом. И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:. Целое число делится на 2 без остатка , если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 то есть любой чётной цифрой. С делимость на 3 чуть сложнее: Проверим, делится ли на 3 число Для этого просуммируем его цифры: Просуммируем цифры числа Целое число делится на 5 , если оно заканчивается пятёркой либо нулём: Целое число делится на 10 , если оно заканчивается на ноль: Ну и, наверное, все помнят — для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т. Следует отметить, что перечисленные признаки казалось бы, такие простые строго доказываются в теории чисел. Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел: Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: И в самом деле — ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом. Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:. В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных правильных и неправильных дробях. Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных вещественных чисел: Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот — каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа. С вложениями всё прозрачно: Множество иррациональных чисел — это тоже подмножество действительных чисел: Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Это, например, комплексные числа , с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы. Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:. Диаграммы Венна по аналогии с кругами Эйлера — это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:. Грубо говоря, пересечение — это общая часть множеств: Так, например, для множеств: Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств: Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами. Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов. Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами: Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так: И рассуждать можно точно так же: Пример с числовыми множествами: А вот эта разность оказывается пуста: И в самом деле — если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется: Запишем декартово произведение множеств: Но это чисто для удобства — и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке — здесь важно записать все возможные пары. А теперь гвоздь программы: Выполнить операции , если:. Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж ;. В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией. Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно — за каждой темой реферата закреплён один и только один студент. Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд к множеству добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт — либо один из студентов останется без темы отображения не будет вообще , либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь — остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Пожалуйста, загляните на страницу Функции и графики отроется на соседней вкладке , и в Примере 1 найдите график линейной функции. Задумаемся, что это такое? С теоретико-множественной точки зрения, здесь происходит отображение множества действительных чисел во множество действительных чисел: Далее взглянем на старую знакомую параболу. Итак, что же такое функция одной переменной? Как уже отмечалось в примере со студентами, не всякая функция является взаимно-однозначной. Таким образом, это биективная функция. На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых: Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет. Список для сверки в конце этого урока. Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает! И вообще — мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся. Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом:. Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов — в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров 1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы. Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример — это множество натуральных чисел. Да — оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел. Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы: Парадоксально, но с точки зрения мощности — чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных! Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так: Более того, счётно и множество рациональных чисел. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке — точек столько же! Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока Функции и графики: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
При каких болезнях ставят банки и как
Сайт характеристик машин
Как добиться вагинального оргазма
Написание программ для чпу
Изолон на клеевой основе