Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
Признак делимости на 2, примеры, доказательство.
Признаки делимости чисел
В этой статье подробно разобран признак делимости на 2. Сначала дана его формулировка, после чего приведены примеры его применения при выяснении, какие из целых чисел делятся на два. Дальше показано доказательство признака делимости на 2. В заключение рассмотрены альтернативные способы, позволяющие установить делимость на 2 чисел, заданных в виде значений некоторых выражений. Чтобы говорить о признаках делимости вообще и, в частности, о признаке делимости на 2 , необходимо иметь общее представление о делимости целых чисел. Формулировка признака делимости на 2 такова: Отметим, что озвученный признак делимости на 2 позволяет проверять как целые положительные числа натуральные числа , так и целые отрицательные на их способность делиться на 2 без остатка. Несомненно, можно разделить каждое из данных чисел на 2 например, выполнив деление столбиком , откуда будет видно, делится ли число на 2 без остатка или с остатком. Однако признак делимости на 2 позволяет ответить на вопрос задачи намного быстрее. Разберем пример разложения числа на простые множители , в котором удобно и целесообразно применять признак делимости на 2. Разложите число на простые множители. Так как запись числа последней цифрой имеет 4 , то из признака делимости на два можно утверждать, что это число делится на 2. Очевидно, тоже делится на 2. Так как 88 оканчивается цифрой 8 , то это число делится на 2. Число 44 также делится на 2 , имеем И опять признак делимости на 2 позволяет нам утверждать, что 22 делится на 2 , получаем А вот число 11 оканчивается цифрой 1 , следовательно, не делится на 2. Обратившись к таблице простых чисел , мы обнаружим, что 11 — простое число. Целые числа в зависимости от их делимости или неделимости на 2 разделяют соответственно на четные и нечетные числа. В силу признака делимости на 2 можно утверждать, что запись любого четного числа оканчивается на одну из цифр 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , а нечетного — на 1 , 3 , 5 , 7 , 9. Перед доказательством признака делимости на 2 докажем вспомогательное утверждение: Теперь можно рассмотреть доказательство признака делимости на 2. Для удобства переформулируем признак делимости на 2 , озвученный в первом пункте этой статьи, в виде необходимого и достаточного условия делимости целого числа на 2 и докажем его. Чтобы целое число a делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы в записи числа a последней цифрой была 0 , 2 , 4 , 6 или 8. Все дальнейшее доказательство базируется на следующем свойстве делимости: Если же a не делится на 2 , то опять же в силу указанного свойства делимости число a 0 не может делиться на 2 иначе бы a делилось на 2 , а это возможно только при a 0 равном 1 , 3 , 5 , 7 или 9. Если число a оканчивается на одну из цифр 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то a 0 делится на 2. Если же a оканчивается на одну из цифр 1 , 3 , 5 , 7 или 9 , то a 0 не делится на 2 , поэтому a тоже не делится на 2. В заключение этого пункта отметим, что числа, записи которых оканчиваются цифрами 1 , 3 , 5 , 7 или 9 при делении на 2 всегда дают остаток 1. Действительно, пусть запись числа a оканчивается одной из указанных цифр. Полученное представление показывает, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 при необходимости смотрите теорию из раздела деление целых чисел с остатком. В этом пункте мы хотим коснуться случаев, в которых целое число задано не непосредственно, а в виде некоторого значения буквенного выражения , и нужно определить, делится ли данное число на 2 или нет. Обычно в этих случаях признак делимости на 2 не помогает, также не представляется возможным выполнить и непосредственное деление. Следовательно, нужно искать какие-то другие пути решения. Один из подходов к решению таких задач подсказывает следующее свойство делимости: Таким образом, если мы представим исходное буквенное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 2 , то этим будет доказана делимость исходного числа 2. Представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей иногда помогает формула бинома Ньютона. Делится ли значение выражения , вычисленное при некотором натуральном n , на 2? Теперь воспользуемся формулой бинома Ньютона, после чего упростим полученное выражение: В последнем выражении можно 2 вынести за скобки, в итоге имеем равенство. При любом натуральном n правая его часть делится на 2 , так как содержит множитель 2 , следовательно, на 2 делится и левая часть равенства. Во многих случаях для доказательства делимости на 2 используется метод математической индукции. Возьмем выражение из предыдущего примера и докажем методом математической индукции, что при любых натуральных n его значение делится на 2. Докажите, что значение выражения при любом натуральном n делится на 2. Воспользуемся методом математической индукции. Имеем , а 6 очевидно делится на 2. То есть, докажем, что делится на 2 , учитывая, что делится на 2. Для этого выполним следующие преобразования: Выражение делится на 2 , так как делится на 2 , выражение тоже делится на 2 , так как содержит множитель 2 , следовательно, в силу свойств делимости разность этих выражений тоже делится на 2. Этим доказано, что при любом натуральном n значение выражения делится на 2. Отдельно следует сказать о том, что если в произведении присутствуют два числа, которые идут друг за другом в натуральном ряду чисел , то такое произведение делится на 2. Аналогично, если в произведении присутствуют два множителя, между которыми находится четное число членов натурального ряда, то такое произведение делится на 2. Обобщим информацию двух предыдущих пунктов. Это выражение делится на 2 , так как содержит множитель 4 , который делится на 2. Полученное произведение делится на 2 , так как содержит множитель 2. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Делимость, признаки делимости Признак делимости на 2, примеры, доказательство. Признак делимости на 2, примеры. Доказательство признака делимости на 2. Другие случаи делимости на 2. Приведем более строгое доказательство. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.
Журнал производства земляных работ образец
Эльбрус глаза карие текст
Изготовление альпийской горкисвоими руками
Продать баллон из под закиси азота
Gps модуль на e90
Что делать если завис ноутбук асус