1.2.9. Формула Грина
Формула Грина
Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции дугой , сверху — графиком функции дугой , которые вместе составляют замкнутый контур. Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , , тогда. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:. Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и. Б удем предполагать, что функции и имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области. Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой , а зависит только от положения начальной и конечной точек и. Рассмотрим две произвольные кривые и , лежащие в рассматриваемой области и соединяющие точки и. В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру , составленному из кривых и. Этот контур можно, очевидно, считать произвольным. Таким образом, из условия, что для любых двух точек и криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Справедливо и обратное заключение: Действительно, из равенства 2 следует равенство 1. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:. Пусть во всех точках некоторой области функции и вместе со своими частными производными , непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в этой области, был равен нулю, т. Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области D и запишем для него формулу Грина:. Если выполняется условие 3 , то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,. Докажем теперь необходимость этого условия, то есть докажем, что если равенство 2 выполняется для любой замкнутой кривой в области , то в каждой точке этой области выполняется и условие 3. Пусть, например, в некоторой точке. Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку. Возьмем двойной интеграл по этой области от разности. Он будет иметь положительное значение. Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению, равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию 2 , и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда вытекает, что во всех точках данной области , а следовательно. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Вычитая почленно 1 из 2 , получаем формулу Грина. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так: Запишем параметрические уравнения эллипса. Тогда И по формуле 3 получим. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Рассмотрим криволинейный интеграл , взятый по некоторой плоской кривой , соединяющей точки и. Пусть , 1 т. Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов имеем: Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области D и запишем для него формулу Грина: Если выполняется условие 3 , то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно, Таким образом, достаточность условия 3 доказана. Допустим, напротив, что равенство 2 выполняется, т. Пусть, например, в некоторой точке выполняется неравенство. Соседние файлы в папке Высшая математика
Сколько золота в 1 гривне
Схема сигнализации старлайн а6
Расписание автобуса 160 ленинск кузнецкий
Графика н норильск
Нарисовать самому аниме
Какое приложение жрет батарею
Варикозная экзема фото лечение
Карта питера земледельческая 5
Проблемы квалификации бандитизма
Экологические проблемы города саратова
Где можно помыться в казани
Сколько стоит монета 3 копейки 1961
Карта мира в виде животных
Карта ильинка бурятия
Договорные и обычные нормы международного права