2.4.1. Классификация методов математического программирования
Лекции по математическому программированию - файл n1.doc
Классификация методов математического моделирования и математического программирования
Добавить в избранное О проекте. Математическое программирование Вид работы:. Все книги по информационному обеспечению. Лекция 1, 2 Математическое программирование. Понятие об оптимизационных задачах. Задача линейного программирования ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП Вопросы: Предмет - математическое программирование, краткая классификация методов. Основные понятия теории оптимизации. Постановка ЗЛП, различные формы записи. Графический метод решения ЗЛП. Предмет - математическое программирование Среди многочисленных проблем, возникновение которых связано с бурно развивающейся научно-технической революцией, пожалуй, наиболее важной является проблема совершенствования управления во всех звеньях хозяйства. Эффективность работы таких систем зависит от качества организационного управления. Чтобы добиться качества современному руководителю не всегда бывает достаточно личного опыта, интуиции и организаторских способностей в их традиционном понимании. При формировании стратегических и тактических решений руководитель должен учитывать множество подчас противоречивых соображений, опираться на сложные критерии эффективности путей достижения конечных целей. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием - математическое программирование. Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на экстремум функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Математическое программирование в настоящее время используется практически во всех областях жизни и производства: Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. Модель задачи математического программирования включает: Их называют планом задачи вектором управления, решением, стратегией, поведением и т. Целевая функция обозначается F x. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности и т. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений. План х, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называют допустимым. Допустимый план, доставляющий целевой функции экстремальное значение, называют оптимальным. В зависимости от особенностей целевой функции F x и функций ограничений gi x , задачи математического программирования делятся на ряд типов. Задача линейного программирования ЗЛП - задача оптимизации линейной функции при линейных ограничениях. Задача дискретного в частности целочисленного программирования - Задача оптимизации, в которой на переменные наложено дополнительное требование принимать лишь дискретные в частности целочисленные значения. Задача динамического программирования - задача оптимизации динамических систем то есть развивающихся с течением времени. Задача вероятностного или стохастического программирования - задача оптимизации, содержащая случайные величины. Основные понятия теории оптимизации Говорят, что функция F x имеет в т. Очевидно, что точки локального экстремума могут не давать наибольшего или наименьшего значений функции в некоторой области, кроме того, их может быть несколько. Большое значение в этой связи приобретает понятие выпуклости множества допустимых значений и выпуклости вогнутости функции. Множество S называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества оно содержит и отрезок, соединяющий эти точки: Функция F x , определенная на выпуклом множестве S, выпукла, если ее график целиком лежит ниже не выше отрезка, соединяющего любые две точки графика: Функция F x , определенная на выпуклом множестве S, вогнута, если ее график целиком лежит выше не ниже отрезка, соединяющего любые две точки графика: Теорема 3 основное свойство выпуклых задач: Всякий локальный оптимум является глобальным. Непрерывная функция, определенная на непустом замкнутом ограниченном множестве, достигает максимума минимума по крайней мере в одной точке этого множества. Из сказанного можно определить общий принцип решения задач оптимизации: При численных расчетах часто необходимо использовать еще два важных понятия. Противоположный ему вектор называют антиградиентом, он указывает направление наискорейшего убывания функции. Линия уровня и вектор градиент в каждой точке взаимно перпендикулярны. Примеры экономических задач Линейное программирование - раздел математического программирования, рассматривающий задачи оптимизации линейных функций многих переменных при линейных ограничениях на область изменения переменных. Особенностью ЗЛП является то, что линейная целевая функция не имеет экстремума и достигает наибольшего или наименьшего значения на границе допустимой области. Рассмотрим постановку ЗЛП на примере задачи и наилучшем использовании ресурсов. Ресурсы используются предприятием для выпуска n видов продукции. В общем виде математическую модель задачи ЗЛП можно записать следующим образом: Рассмотрим задачу о диете. Необходимо составить диету рацион , содержащую определенные питательные вещества. Имеем n видов продуктов, каждый из которых сожержит необходимые m видов питательных веществ. Единица j-го продукта содержит аij единиц i-го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности необходимо не менее bi единиц i-го вещества. Необходимо составить диету минимальной стоимости. Математическая модель задачи примет вид: Здесь хj - количество j - го продукта в рационе. В матричной форме общая ЗЛП выглядит так: Кроме того, для записи ЗЛП можно использовать знак суммы: Рассмотрим задачу о размещении заказа. Мощность оборудования ограничена, например, временем Тi. Производительность оборудования задана коэффициентами аij. Известны коэффициенты затрат Сij - затраты i - го оборудования на производство j - го продукта. Построить план хij размещения заказа загрузки оборудования. Составим математическую модель задачи. Основные свойства ЗЛП Графический метод решения ЗЛП используется, если число неизвестных задачи не больше 2 или если разность между числом неизвестных и ограничений задачи, записанных в виде уравнений не более двух. Строим область допустимых решений. Определяем точку максимума минимума: Точка максимума - точка допустимой области, наиболее удаленная от линии уровня в направлении градиента, точка минимума - точка допустимой области, наиболее удаленная от линии уровня в направлении антиградиента. При решении ЗЛП возможны следующие случаи: Основные свойства ЗЛП см. ЗЛП является выпуклой задачей, поэтому решение всегда единственно. Оптимальное решение достигается по крайней мере в одной из вершин допустимой области: Если допустимая область не ограничена, то ЗЛП может быть разрешима или не разрешима, что зависит от целевой функции: Если допустимая область состоит из единственной точки, то в ней достигается и максимум и минимум - д. Если допустимая область пуста, то ЗЛП не разрешима - е. Если допустимая область ограничена и не пуста, то ЗЛП всегда имеет решение. Лекция 3 Симплекс-метод решения ЗЛП Вопросы: Стандартная форма ЗЛП, правила построения. Канонический вид ЗЛП, начальное допустимое базисное решение НДБР , метод искусственного базиса. Стандартная форма ЗЛП, правила построения Графический метод решения ЗЛП можно использовать, если число неизвестных равно 2 или разность между числом неизвестных и числом ограничений, записанных в виде уравнений, равна 2. В общем случае эти требования не всегда выполняются. Чтобы использовать для решения некий универсальный метод решения, ЗЛП необходимо записать в определенной, стандартной форме. Стандартная форма ЗЛП представляет собой такой вид задачи, в котором: Во-первых, поиск максимума линейной функции сводится к поиску минимума функции с противоположными по знаку коэффициентами: Во-вторых, линейная функция не имеет экстремумов и достигает своего наибольшего или наименьшего значения на границе допустимой области, поэтому и решать необходимо не неравенства, а уравнения. Запишем правила приведения любой ЗЛП к стандартному виду. Правила построения стандартной формы ЗЛП: Ограничения в виде неравенств могут быть сведены к уравнениям введением дополнительных, уравновешивающих неотрицательных уравнений. Если некоторая переменная х может быть не ограничена знаком, то в стандартном виде такую переменную можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: При этом дополнительные переменные не входят в целевую функцию. Стандартная форма ЗЛП в матричном виде выглядит так: Канонический вид ЗЛП, начальное допустимое базисное решение НДБР , метод искусственного базиса Чтобы ЗЛП имела решение необходимо, чтобы система ограничений была совместна. Это возможно, если ранг m системы число линейно независимых уравнений был не больше числа неизвестных n. Таких базисов может быть несколько, но не больше, чем Сnm. Переменные ЗЛП, соответствующие m векторам базиса, являются базисными, остальные переменные - свободные. Базисом называют любой набор m переменных такой, что определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, отличен от нуля. Соответствующее решение называю базисным решением. Переменные, входящие в базис, называют базисными б. Чтобы получить простейшее частное решение системы необходимо свободные переменные приравнять нулю, учитывая при этом неотрицательность всех переменных. Допустимым базисным решением ДБР является такое, при котором все переменные неотрицательны. В противном случае базисное решение недопустимо. Частное допустимое базисное решение, с которого начинают решение, называют начальным допустимым базисным решением НДБР. Чтобы найти НДБР, удобно ЗЛП записать в каноническом виде. Если при этом все b , то говорят о допустимом каноническом виде, в противном случае - о недопустимом. Исходная задача ЗЛП содержит все ограничения со знаком. Стандартная форма ЗЛП является одновременно и каноническим допустимым видом. Ограничения исходной ЗЛП содержат неравенства разных знаков и уравнения. Стандартная форма ЗЛП не совпадает с каноническим видом. Чтобы построить канонический вид и получить НДБР используют метод искусственного базиса. В каждое уравнение, не содержащее переменную, создающую канонический вид, вводят искусственную неотрицательную переменную. Новые искусственные переменные создают канонический вид. Однако, вводя в ограничения-равенства искусственную переменную, изменяют исходные условия. Чтобы преобразованная задача соответствовала исходной, необходимо, чтобы в окончательном решении искусственные переменные равнялись нулю. Оптимальное решение вспомогательной задачи соответствует НДБР исходной задачи. Симплекс-метод При решении ЗЛП симплекс-методом удобно представить задачу в табличном виде. Тогда значение Fmax равно значению, стоящему в правом нижнем углу таблицы. Если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент целевой функции, следует перейти к новому базисному решению, значение целевой функции при котором будет меньше. Для этого используют следующие правила: Среди отрицательных коэффициентов целевой функции выбирают максимальный по модулю. Находят отношения , то есть отношения свободных членов ограничений к элементам матрицы коэффициентов ограничений, стоящим в разрешающем столбце и имеющим положительные значения. Среди этих отношений выбирают минимальное. Если среди элементов разрешающего столбца не будет ни одного положительного, то задача оптимизации не имеет решения. Производится замена базисного допустимого решения на другое, при этом таблица будет иметь следующее содержание: Каждая новая таблица проверяется на оптимальность. Операции 1 -4 осуществляются до тех пор, пока не будет получено оптимальное значение целевой функции. Лекция 4, 5 Устойчивость решений ЗЛП при небольших изменениях условий. Обращенный базис, симплекс - множители. Изменение значений правых частей ограничений. Изменение значений коэффициентов целевой функции. Обращенный базис, симплекс - множители Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-методом с точки зрения алгебры. В матричном виде стандартная форма ЗЛП имеет вид: Здесь Вmxm - матрица, состоящая из столбцов матрицы А, соответствующих переменным, которые в оптимальной таблице являются базисными. Матрица Rmx n-m состоит из всех оставшихся столбцов. Предположим известна матрица В Умножим слева ограничения ЗЛП на В Следовательно, в оптимальной таблице в столбцах тех переменных, которые были базисными в НДБР, находится матрица В Матрица В -1 называется обращенный базис. В оптимальной таблице В -1 находится среди коэффициентов ограничений, стоящих в столбцах тех переменных, которые были базисными в исходной таблице. Запишем теперь канонический вид задачи. Без ограничения общности, например, первые m переменных являются базисными, тогда можно определить из системы. Если предположить, что подобрали таким образом, что перед базисными переменными коэффициенты равны нулю, а перед свободными - неотрицательны, то вид 1 будет соответствовать оптимальному виду таблицы. Следовательно, в оптимальной таблице коэффициенты в выражении целевой функции перед переменными, которые были базисными в исходной таблице, есть. Это и есть симплекс - множители. Симплекс - множители - это такие числа , при умножении на которые каждого ограничения, соответственно, и сложении с выражением целевой функции будет получен такой вид целевой функции, что перед базисными переменными коэффициенты равны нулю, а перед свободными неотрицательны. Обращенный базис и симплекс - множители позволяют использовать найденное решение ЗЛП, если происходят изменения условий задачи. Изменение значений правых частей ограничений Правые части ограничений выражают ограниченные объемы ресурсов или минимальные нормы потребления и т. Предположим правые части ограничений изменились на. Можно ли использовать результаты уже решенной задачи? Если задача была решена для прежнего значения b, то известными являются обращенный базис В-1 и симплекс - множители. При этом при определении В-1 и значения b никак не учитывались, эти значения влияют лишь на оптимальное значение целевой функции. Указанный прием можно использовать лишь при небольших изменениях в b, то есть базисное решение должно остаться допустимым неотрицательным. Таким образом, если для базисных переменных получено хотя бы одно отрицательное значение, то решение задачи можно продолжить двойственным симплекс-методом. Изменение значений коэффициентов целевой функции Коэффициенты целевой функции выражают цены реализации, стоимость затрат и т. Если изменения произошли в коэффициентах целевой функции, можно ли воспользоваться решением задачи с прежними коэффициентами? Чтобы получить выражение целевой функции оптимальной таблицы в общем виде, используют оптимальную таблицу. Умножим все уравнения системы соответственно на С1, С2, … , Сn и сложим с выражением целевой функции исходной таблицы в общем виде. При этом оптимальность таблицы также определятся коэффициентами целевой функции. Заметим, что Сj не влияют на ограничения задачи. Если изменить Сj, то изменятся условия оптимальности: Включение дополнительных переменных Каждая переменная ЗЛП, если она не является уравновешивающей или искусственной, определяет план производства некоторой продукции, объем потребления и т. Предположим, поступило предложение выпускать новый вид продукции или использовать новую технологию. Стоит ли менять уже налаженное производство? Будет ли увеличение прибыли сокращение расходов весомым? Все остальные условия остаются прежними. Чтобы учесть эти изменения, не решая задачу с самого начала, необходимо дополнительные данные записать в оптимальную таблицу. При этом свободные члены не изменяются. Осталось записать коэффициент целевой функции, это можно сделать с помощью симплекс - множителей. Умножим коэффициенты Р на соответствующие симплекс - множители и прибавим к коэффициенту целевой функции в стандартном виде: Следовательно, план менять не стоит. При этом решение продолжается обычным симплекс-методом. Включение дополнительных ограничений Экономическая ситуация, в которой приходится решать производственные и плановые задачи, изменяется. Может оказаться так, что некоторый ресурс, считавшийся ранее неограниченным, окажется лимитирован. Например, введение веерного распределения электроэнергии т. Другими словами, необходимо проверить. Удовлетворяет ли рассчитанный план новым ограничениям, и как его изменить, если ограничения нарушаются. Итак, пусть - новое дополнительное ограничение к уже решенной задаче. Необходимо учесть новое ограничение, записав его в каноническом виде, соответствующем оптимальной таблице: Чтобы исключить базисные переменные оптимальной таблицы, используют оптимальный канонический вид. При этом решение продолжается двойственным симплекс-методом. Двойственный симплекс-метод Для решения задачи двойственным симплекс-методом она должна иметь недопустимый канонический вид. И признак оптимальности должен выполняться. Недопустимый канонический вид ограничений и оптимальный вид Сj целевой функции записывают в исходную таблицу. Среди всех отношений коэффициентов целевой функции к отрицательным элементам разрешающей строки выбирают , соответствующий столбец помечают, выполняют обычные симплекс-преобразования и называют разрешающим. Обычный симплекс-метод при сохранении допустимости решения переходит последовательно к оптимальному решению. А двойственный симплекс-метод при сохранении оптимальности переходит последовательно от недопустимого решения к допустимому. Правила двойственного симплекс-метода отличаются от правил обычного выбором разрешающих столбца и строки. Если в разрешающей строке для двойственного метода нет ни одного отрицательного элемента, то задача не разрешима. Проблемы вырождения, зацикливания Как правило, все базисные переменные отличны от нуля то есть в симплекс-таблице все свободные члены. Однако, нет никаких ограничений к тому, чтобы одна или несколько базисных переменных обратились в ноль. Базисное решение базис является невырожденным, если оно содержит ровно m отличных от нуля компонент. В противном случае - вырожденным. Если начальный план задачи невырожден, то никаких сложностей при решении не возникает, при правильном выборе разрешающего элемента. При этом значение целевой функции не изменится. Двойственность в линейном программировании Вопросы: Понятия двойственности, теневой цены, двойственной оценки. Правила построения двойственной задачи. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание. Понятия двойственности, теневой цены, двойственной задачи Двойственность является одним из фундаментальных понятий в линейном программировании, приводящим к важному результату теоретического и практического характера. Рассмотрим понятие двойственности на примере задачи оптимального использования ресурсов. На производство единицы j-го вида продукции требуется aij единиц i-го вида ресурса. Математическая модель задачи выглядит следующим образом. В общем случае задача решается симплекс-методом. Зададимся вопросом, какова с точки зрения предприятия ценность имеющихся в его распоряжении ресурсов? При решении этого вопроса будем иметь в виду, что ресурсы, которые предприятие не может полностью использовать, имеют для него очень низкую ценность, в том смысле, что предприятие не согласно нести даже небольшие расходы на увеличение запасов этих ресурсов. Дорогое оборудование, не участвующее в технологическом процессе, составляет для предприятия нулевую ценность. Наибольшую ценность, очевидно, будут иметь те ресурсы, которые в наибольшей степени ограничивают выпуск продукции, а, следовательно, и прибыль предприятия и на увеличение запасов которых предприятие согласно затратить значительные средства. Но как бы ни усовершенствовался технологический процесс совсем без ресурсов не обойтись. Таким образом, можно предположить, что существуют оптимальные теневые цены, соответствующие оптимальному распределению ресурсов. Имеем те же исходные данные, что и для задачи оптимального использования ресурсов. Другими словами, стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта так как существуют неизбежные издержки: Запишем обе задачи в матричном виде: Пара двойственных задач может быть экономически интерпретирована следующим образом. Сколько и какой продукции xj необходимо производить, чтобы при заданных стоимостях Cj и размерах ресурсов bi максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении? Какова должна быть цена каждого ресурса yi, чтобы при заданных количествах bi и стоимостях Cj минимизировать затраты? Правила построения двойственной задачи Исходя из общего вида прямой и двойственной задач можно установить связь между этими задачами, позволяющую для любой ЗЛП строить двойственную ей задачу. Свойства двойственных задач правила. Число неизвестных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи. Число ограничений двойственной задачи равно числу неизвестных прямой задачи. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов прямой задачи. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются свободными членами ограничений прямой задачи. Свободные члены ограничений двойственной задачи являются коэффициентами целевой функции прямой задачи. Если ограничения прямой задачи записаны со знаком меньше или равно , то ограничения двойственной задачи записываются со знаком больше или равно. Если ограничение прямой задачи задано в виде уравнения, то соответствующее неизвестное двойственной задачи не ограничено знаком. Если какое-либо неизвестное прямой задачи не ограничено знаком, то соответствующее ограничение двойственной задачи будет задано в виде равенства. Если целевая функция прямой задачи сформулирована на максимум, то целевая функция двойственной задачи будет сформулирована на минимум. Существует много различных комбинаций ограничений и целевой функции для записи исходной задачи. Для упрощения задачи построения двойственной задачи запишем прямую задачу в некотором стандартном виде прямой задачи. Этот вид предполагает, что: Чтобы записать прямую задачу в стандартном виде, необходимо: Составить двойственную задачу к исходной. Задачу можно записать в виде, соответствующем исходной прямой задаче, если заменить: Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание Теорема 1. Двойственная задача к двойственной есть прямая задача. Пусть имеем пару двойственных задач в матричном виде. Значение функции F, соответствующее любому допустимому решению прямой задачи, не больше значения функции Z, соответствующего любому допустимому решению двойственной задачи. Пусть X и Y соответственно произвольные допустимые решения прямой и двойственной задач. Что и требовалось доказать. Известно, что прямая задача разрешима, следовательно, можно определить значения симплекс-множителей оптимального решения. В матричной форме двойственная задача имеет вид. Таким образом, если , то ограничения прямой задачи удовлетворяются, значит это решение. Экономическое содержание теорем состоит в следующем: План производства и оценки ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, то есть равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обуславливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Лекция 7, 8 Элементы теории игр и принятия решений Вопросы: Способы решения задач теории игр. Основные понятия теории игр Теория игр принадлежит к наиболее молодым математическим дисциплинам, её возникновение относится к концу II-й Мировой войны. Теория игр представляет собой математическую дисциплину, предметом исследования которой являются методы принятия решений в конфликтных ситуациях. Ситуация называется конфликтной, если в ней сталкиваются интересы нескольких лиц, преследующих противоположные цели. Каждая из конфликтующих сторон может проводить ряд мероприятий для достижения своих целей, причём успех одной из сторон означает неудачу другой. При наличии свободной конкуренции в роли борющихся сторон торговые фирмы, промышленные предприятия и т. Однако, конфликтные ситуации встречаются и во многих других областях. К конфликтным ситуациям относятся почти все ситуации, возникающие при планиро-вании военных операций, выборе системы оружия, охране объектов от нападения, преследовании и перехвате цели. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить, учтя только основные факторы. Упрощенная, формализованная модель конфликтной ситуации, называется игрой, а конфликтующие 7стороны - игроками. Игра представляет собой совокупность правил, описывающих поведение игроков. Допустимые действия любого из игроков в игре называются правилами игры. Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой партию игры. Элементами игры являются ходы. Правила игры предусматривают, какова должна быть последовательность ходов, и указывают характер каждого хода. Ходы бывают личными и случайными. Личный ход представляет собой выбор игроком одного из данного множества вариантов. Например, в шахматах каждый ход - личный, причем 1-й - выбор из 20 вариантов. Решение, принятое игроком при личном ходе, называется выбором. Случайный ход представляет собой выбор одного из вариантов, но не игроком, а некоторым механизмом случайного выбора. Например, сдача карт, бросание монеты и т. Выбор при случайном ходе называется исходом хода. Исходом игры является выигрыш или проигрыш. Величина этого выигрыша или проигрыша называется ценой игры. Для личного хода правила игры перечисляют все возможные варианты выбора и определяют какой игрок его делает. Для случайного хода - указывают варианты и вероятности их выбора. Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока. Стратегии могут быть чистыми и смешанными. Стратегия, выбираемая в результате личного хода, является чистой. Стратегия, основанная на случайном выборе, называется смешанной. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. В игре могут сталки-ваться интересы двух или более противников. В 1-м случае игра называется парной, во 2-м - множественной. Ограничимся рассмотрением только парных игр. Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого. Рассмотрим парную игру с нулевой суммой. Не зная выбора друг друга, 1-й игрок выбирает i-ю стратегию, а 2-й игрок -j-ю стратегию. В результате игры 1-й игрок выигрывает величину , а 2-й - проигрывает эту же величину. Из чисел составляют матрицу, которая называется платежной или матрицей игры,. Строки матрицы соответствуют стратегиям 1-го игрока, а столбцы - стратегиям 2-го. Игра, определяемая матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называется конечной игрой размерности mхn. Чтобы описание игры было законченным, необходимо указать цели, которыми руководствуются игроки при выборе своих стратегий. Специфической трудностью является то, что ни один из игроков не контролирует полностью значение , так как 1-й игрок распоряжается только выбором i, а 2-й - j. Преодоление этой трудности, то есть определение наиболее рационального способа ведения игры каждым игроком, и представляет собой существо теории игр. Математическое программирование Такие методы объединяются под общим названием - математическое программирование. Скачать Скачать документ Читать online Читать online. Задачи математического программирования В зависимости от свойств функций f и gi математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач. Общая задача линейного программирования ЗЛП: Практикум по решению линейных задач математического программирования Математическое программирование — это раздел математики, который изучает теорию и методы поиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как на одном определенном предприятии, так и в некоторой отрасли или в отдельном Решение задачи линейного программирования графическим методом Математическое программирование "планирование" — это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Нужна качественная работа без плагиата? Другие книги по информационному обеспечению. Не нашел материала для курсовой или диплома? Наш проект для тех, кому интересно, для тех, кто учится, и для тех, кто действительно нуждается!
Костюм на ивана купала своими руками
Сколько ракатовв зухр намазеи правила
Новости спорта беларуси за последнюю неделю
Форель запеченная в пакете с овощами
Текст пісні ангел
Пуховичи бобруйск расписание электричек
Где приобрести слуховой аппарат в москве
Схемы патентных узоров
Московский москва авито из рук в руки
Приказ 64 дспот 20.03 2015 скачать
Договор на изготовление оборудования образец
Интерактивная схема планет eve
Масло трансмиссионное atf 3
Иван скорпион характеристика
Сколько русских военных погибло в сирии