boul2gom

1. Pour montrer qu'un ensemble (G,∗) est un GROUPE : Vous devez vérifier les 4 axiomes suivants:
Loi de composition interne (LCI) : La loi ∗ doit être interne à l'ensemble G (pour tous x,y∈G, x∗y∈G).
Associativité : Pour tous x,y,z∈G, (x∗y)∗z=x∗(y∗z).
Élément neutre : Il existe un élément e∈G tel que pour tout x∈G, x∗e=e∗x=x. 
Inversibilité : Tout élément x∈G admet un inverse (ou symétrique) pour ∗ dans G.
(Bonus) Pour prouver qu'il est commutatif (abélien) : Il faut ajouter que pour tous x,y∈G, x∗y=y∗x

2. Pour montrer qu'une partie H est un SOUS-GROUPE d'un groupe G : 
Il est très rare de revenir à la définition. Il faut utiliser la caractérisation des sous-groupes en 2 points:
H est non vide ce qui se prouve généralement en montrant que l'élément neutre e appartient à H.