Числа , , называются коэффициентами системы. Числа , называются свободными членами системы , — переменными системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде. Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца. Тогда справедливо матричное равенство. Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения. Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение. Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение. Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными. Система линейных уравнений 1 совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна. Если , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор - того порядка и берут соответствующие ему - уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальные переменных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными. Запишем систему в матричном виде. Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу. Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений. Обозначим через основную матрицу системы. Пусть , тогда решение найдем по формуле. Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения. Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных. Сравнивая значения матриц, получим ответ: Запишем решение системы в матричном виде или. Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений. Так как , то , система имеет единственное решение. На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть. На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы. Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть. Из последнего уравнения выражаем. Подставив значения переменных и в первое уравнение, найдем. Ответ запишем в следующем виде. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Гомельский государственный университет им. Система видa называется системой - линейных уравнений с неизвестными. Матрица называется основной матрицей системы , а матрица — расширенной матрицей системы. Матрицы - столбцы и - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы. Теорема Кронекера — Копелли. Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными 1 Теорема 2. Методы решения систем линейных уравнений. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными причем , т. Запишем систему в матричном виде , где , ,. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений Решение. Найдем все алгебраические дополнения , , , , , , , , Таким образом. Запишем решение системы в матричном виде или Отсюда Обозначим. Найдем определитель основной матрицы системы. Найдем остальные определители для формул Крамера , ,. По формулам Крамера находим значения переменных Ответ: Метод заключается в последовательном исключении переменных. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду , где , которой соответствует система После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть. Из этого уравнения выражается переменная. Решить методом Гаусса следующую систему Решение. Запишем систему для ступенчатой матрицы Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные , будут базисными а переменная — свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть Из последнего уравнения выражаем Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим откуда. Ответ запишем в следующем виде Ответ: Соседние файлы в папке Математика курс лекций 1 курс Точки перегиба и общее исследование функций. Собственные значения и векторы лин.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно. Решение системы уравнений — это последовательность чисел k 1 , k 2 , Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:. Переменная x i называется разрешенной , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю. Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:. Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5. Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:. Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 для первой системы и x 2 , x 5 для второй являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:. В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, то есть по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной. И все бы хорошо, но возникает вопрос: Для этого существует метод Гаусса. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Системы линейных уравнений: Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая: Система несовместна, то есть множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему. Система совместна и определена, то есть имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи. Система совместна и не определена, то есть имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Вот примеры разрешенных систем: Тогда возможны два случая: Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k: Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы: Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, то есть решения равны.
Системы линейных уравнений: основные понятия
https://gist.github.com/0aef663232d4f03c8f43e4bde6bd02ba
https://gist.github.com/74a7886caff4b8dcbcdcc70b4738ca54
https://gist.github.com/8dcb174cef9112ab12325bb46e52b231