Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы [1] , в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Для матрицы определены следующие алгебраические операции:. Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу ; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом векторное пространство над полем. Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения. То же можно сказать о представлении матрицами билинейных квадратичных форм. В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы , то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной в теоретическом значении и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью. Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу , Жордану , Фробениусу. Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений , а также при рассмотрении линейных преобразований. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения:. На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли:. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Этот приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера. Рассмотрим линейное преобразование A: Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число см. Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы столбцовый ранг матрицы или количество линейно независимых строк матрицы строчный ранг матрицы. Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы. Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями " … ". Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов. Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E , а также просто 1 или 1 специальным шрифтом. Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:. Множество всех матриц одинаковых размеров m x n с элементами из поля P поля всех действительных или комплексных чисел образует линейное пространство над полем P каждая такая матрица является вектором этого пространства. Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости которой нет в наиболее обычных стандартных применениях и четкого уточнения употребления термина называть векторами. По обычным правилам матричного умножения осуществляется умножение на матрицу слева вектора-столбца, а также умножение вектора-строки на матрицу справа. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать что обычно и делается , используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:. Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат смены базисов , таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также последнее матричного представления билинейных квадратичных форм. Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения см. Действительно, если новый вектор Av , полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A , преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B , получив B Av , то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования , нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы BA , представляющую композицию первого и второго преобразований, и совпадающую с обычным определением матричного умножения. Транспонирование уже обсуждалось выше: Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации. Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы. Каждая матрица представляет собой совокупность векторов одного и того же пространства. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:. Возводить в степень можно только квадратные матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной. Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица существует не всегда. Матрица невырождена, если все её строки столбцы линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк столбцов называется рангом матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю. Из указанных выше свойств сложения и умножения матриц ассоциативность и коммутативность сложения, дистрибутивность умножения, существование нулевой и противоположной по сложению матрицы следует, что квадратные матрицы n на n с элементами из любого кольца R образуют кольцо, изоморфное кольцу эндоморфизмов свободного модуля R n. Определитель матрицы с элементами из коммутативного кольца можно вычислять по обычной формуле, при этом матрица будет обратима тогда и только тогда, когда её определитель обратим в R. Это обобщает ситуацию с матрицами с элементами из поля , так как в поле обратим любой элемент, кроме нуля. Матрицы играют важную роль в теории групп. Они используются при построении общих линейных групп , специальных линейных групп , диагональных групп , треугольных групп , унитреугольных групп. Параметры должны удовлетворять условиям: Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Система линейных алгебраических уравнений. Это не означает того, что такой изоморфизм в принципе единственный: Очерки по истории математики: Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски , внести более точные указания на источники. Статьи без сносок Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 13 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Уставные правила между военнослужащими
Магазин лента орел каталог товаров в орле
Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.
Исламский сонник bolaga kawa yedirmoq
Hp elitebook 8440p характеристики
Какой эффективный способ похудеть
Солнышко родное текст
Вибрация в загородном доме причины
Киви кошелек сколько идут деньгина карту
Главное управление сбербанка россии
Новости 360 люберцы
Шкала богардуса модификация тест на этническую толерантность
Операции над матрицами
Зостерин ультра 60 инструкция по применению отзывы
Как осветлить кончики волос краской
Корабль стих на свадьбу
Глаза лексическое значение
Состав заместителей директора
Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
Самсунг таб 3 10.1 характеристики
Как выучить латынь за 1 день
Лечебные свойства чистотела для суставов
Где продают качественные диваны