Общая схема применения метода динамического программирования
Справочник химика 21
8.4. Общая схема применения метода динамического программирования
Модели динамического программирования 4. Список использованных источников В настоящее время многие организации в своей деятельности сталкиваются с математическими моделями. Математическая модель — это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих поведение реального объекта, составляющих его характеристики взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называется математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений. Для этого в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т. Данная курсовая работа посвящена рассмотрению моделей динамического программирования. Динамическое программирование в широком смысле представляет собой оптимальное управление процессом, посредством изменения управляемых параметров на каждом шаге, и, следовательно, воздействуя на ход процесса, изменяя на каждом шаге состояние системы. Целью работы является рассмотрение примеров решения различных по своей природе задач, содержание которых требует выбора переменных состояния и управления. Особое внимание уделяется построению оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, который подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. При этом отличительной особенностью является решение задач по этапам, через фиксированные интервалы, промежутки времени, что и определило появление термина динамическое программирование. Следует заметить, что методы динамического программирования успешно применяются и при решении задач, в которых фактор времени не учитывается. В целом математический аппарат можно представить как пошаговое или поэтапное программирование. Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р. Из этого следует, что планирование каждого шага должно проводиться с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию. Таким образом, динамическое программирование в широком смысле представляет собой оптимальное управление процессом, посредством изменения управляемых параметров на каждом шаге, и, следовательно, воздействуя на ход процесса, изменяя на каждом шаге состояние системы. В целом динамическое программирование представляет собой стройную теорию для восприятия и достаточно простую для применения в коммерческой деятельности при решении как линейных, так и нелинейных задач. Динамическое программирование является одним из разделов оптимального программирования. Для него характерны специфические методы и приемы, применительные к операциям, в которых процесс принятия решения разбит на этапы шаги. Методами динамического программирования решаются вариантные оптимизационные задачи с заданными критериями оптимальности, с определенными связями между переменными и целевой функцией, выраженными системой уравнений или неравенств. При этом, как и в задачах, решаемых методами линейного программирования, ограничения могут быть даны в виде равенств или неравенств. Однако если в задачах линейного программирования зависимости между критериальной функцией и переменными обязательно линейны, то в задачах динамического программирования эти зависимости могут иметь еще и нелинейный характер. Динамическое программирование можно использовать как для решения задач, связанных с динамикой процесса или системы, так и для статических задач, связанных, например, с распределением ресурсов. Это значительно расширяет область применения динамического программирования для решения задач управления. А возможность упрощения процесса решения, которая достигается за счет ограничения области и количества, исследуемых при переходе к очередному этапу вариантов, увеличивает достоинства этого комплекса методов. Вместе с тем динамическому программированию свойственны и недостатки. Прежде всего, в нем нет единого универсального метода решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации. Последнее достигается с помощью методов анализа вариантов и переработки списка состояний. Для процессов с непрерывным временем динамическое программирование рассматривается как предельный вариант дискретной схемы решения. Получаемые при этом результаты практически совпадают с теми, которые получаются методами максимума Л. Динамическое программирование применяется для решения задач, в которых поиск оптимума возможен при поэтапном подходе, например, распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом или запасами, устанавливающими момент пополнения запаса и размер пополняющего заказа; разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети; формирование последовательности развития коммерческой операции и т. Постановку задачи динамического программирования рассмотрим на примере инвестирования, связанного с распределением средств между предприятиями. В результате управления инвестициями система последовательно переводится из начального состояния S 0 в конечное S n. Предположим, что управление можно разбить на n шагов и решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление представляет собой совокупность n пошаговых управлений. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных: Переменная S k определяет, в каких состояниях может оказаться система на рассматриваемом k-м шаге. В зависимости от состояния S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной x k , которые удовлетворяют определенным ограничениям и называются допустимыми. Тогда последовательность состояний системы можно представить в виде графа, изображенного на рис. Рисунок 1 — График состояний системы. Применение управляющего воздействия x k на каждом шаге переводит систему в новое состояние S 1 S, x k и приносит некоторый результат W k S, x k. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана F k S и зависит от номера шага k и состояния системы S. Задача динамического программирования формулируется следующим образом: Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем:. В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности, впервые сформулированный в г. При решении задачи на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми, тогда оптимальным управлением будет то управление, которое обеспечит максимальный выигрыш именно на данном шаге. Однако, например, при покупке новой техники взамен устаревшей на ее приобретение затрачиваются определенные средства, поэтому доход от ее эксплуатации в начале может быть небольшой, а в следующие годы новая техника будет приносить больший доход. И наоборот, если принято решение оставить старую технику для получения дохода в текущем году, то в дальнейшем это приведет к значительным убыткам. Этот пример демонстрирует следующий факт: Кроме того, при выборе управления на данном шаге следует учитывать возможные варианты состояния предыдущего шага. Например, при определении количества средств, вкладываемых в предприятие в i-м году, необходимо знать, сколько средств осталось в наличии к этому году и какой доход получен в предыдущем i-1 -м году. Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать следующие требования:. В задачах динамического программирования первое требование учитывают, делая на каждом шаге условные предположения о возможных вариантах окончания предыдущего шага и проводя для каждого из вариантов условную оптимизацию. Выполнение второго требования обеспечивается тем, что в этих задачах условная оптимизация проводится от конца процесса к началу. На первом этапе решения задачи, называемом условной оптимизацией, определяются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге. В общем виде это уравнение имеет вид:. Этот максимум или минимум определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, осуществляется второй этап решения задачи, называемый безусловной оптимизацией. Вычислительную схему динамического программирования можно строить на сетевых моделях, а также по алгоритмам прямой прогонки от начала и обратной прогонки от конца к началу. Рассмотрим примеры решения различных по своей природе задач, содержание которых требует выбора переменных состояния и управления. Запишем математическую модель задачи. Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов. С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину х k средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана F k C k на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось С k средств. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий с k-го по n-е , будет равен:. Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования задача максимизации либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода задача минимизации. Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r t t — возраст оборудования. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S t , которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t 0 лет. Исходными данными в задаче являются доход r t от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S t , цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t 0. При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т. Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-й годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:. Это выражение свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за k—1 -й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t 0 лет; и не может быть меньше единицы этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена его произошла в начале предыдущего k—1 -го года. Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-м шаге. Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: Функцию Беллмана F k t определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых: Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r t. Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S t , приобретается новое за P единиц, а эксплуатация его в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r 0. Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Управление при котором достигается максимум дохода, является оптимальным. Значения функции F n t , определяемые F n-1 t , F n-2 t вплоть до F 1 t. F 1 t 0 представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и так далее. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования. Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности. Материально-ответственное лицо оптовой базы осуществляет оформление документов по операциям разгрузки или загрузки для одной машины, а затем переходит к обслуживанию другой машины. Известны затраты по выполнению каждой операции, которые показаны на ребрах графа рис. Издержки от операций обусловлены простоем транспорта, типом операции прием или отправка товара и не зависят от конкретной машины. Необходимо спланировать последовательность операций обоих видов таким образом, чтобы суммарные издержки по приему и отправке товаров для всех машин были минимальными. Из условия следует, что состояние экономической системы характеризуется двумя параметрами: Поэтому решение будем искать на плоскости X0Y, на ограниченном прямыми прямоугольнике, который является областью допустимых состояний системы. Если по оси X отложить число 10 разгруженных машин, а по оси Y — число 8 загруженных товаром машин, то можно построить на плоскости граф состояний процесса, в котором каждая вершина характеризует состояние операции приема и отгрузки товара на оптовой базе. Ребра этого графа означают выполнение работы по приему или отправке товара на очередной машине. Каждому ребру можно сопоставить издержки, связанные с выполнением операции по разгрузке или загрузке машины. Точка S 0 определяет начало процесса, a S 1 — конечное состояние, соответствующее приему и отправке всех машин. Оптимизацию процесса будем производить с конечного состояния S 1. Каждый шаг представляет собой сечение графа состояний, проходящее через вершины на рис. Рисунок 2 — Графическая схема связи операций. Рисунок 3 — Сетевая модель операции, шаг 1. Второй шаг оптимизации задается сечением по вершинам А 2 , В 2 , C 1. Из состояний А 2 и C 1 возможен единственный переход в вершины А 1 и B 1 соответственно, поэтому в вершинах А 2 и C 1 записываем суммарные издержки 29 и 28 на первых двух шагах перехода в конечное состояние S 1. Из вершины В 2 возможны два варианта перехода: Рисунок 4 — Сетевая модель операции, шаг 2. На третьем шаге сечение проходит через вершины А 3 , В 3 , С 2 , D 1. Из вершин А 3 и D 1 возможен единственный переход в вершины А 2 и С 1 соответственно. Из вершины В 3 возможны два варианта перехода: Выбираем для вершин В 3 и С 2 наименьшие суммарные издержки и обозначаем стрелкой условно оптимальный переход, как показано на рис. Рисунок 5 — Сетевая модель операции, шаг 3. Четвертый шаг оптимизации задается сечением по вершинам А 4 , В 4 , C 3 , D 2 , Е 1. Из состояний А 4 и Е 1 возможен единственный переход в вершины А 3 и D 1 соответственно, поэтому в вершинах А 4 и Е 1 записываем суммарные издержки:. Рисунок 6 — Сетевая модель операции, шаг 4. На пятом шаге сечение проходит через вершины А 5 , В 5 , С 4 , D 3 , Е 2 , F 1. Из вершин А 5 и F 1 возможен единственный переход в вершины А 4 и Е 1 соответственно:. Рисунок 7 — Сетевая модель операции, шаг 5. Шестой шаг оптимизации задается сечением по вершинам А 6 , В 6 , C 5 , D 4 , Е 3 , F 2 , G 1. Из состояний А 6 и G 1 возможен единственный переход в вершины А 5 и F 1 соответственно, поэтому в вершинах А 6 и G 1 записываем суммарные издержки:. Рисунок 8 — Сетевая модель операции, шаг 6. Сечение Н 11 , I Определяем оптимальную траекторию на исходном сетевом графе, просматривая результаты всех шагов в обратном порядке, учитывая, что выбор некоторого управления на k-м шаге приводит к тому, что состояние на k-1 -м шаге становится определенным. В результате строим ориентированный граф от состояния S 0 к состоянию S 1 , представленный на рис. Рисунок 9 — Оптимальная последовательность операций. Минимальные издержки F min соответствуют следующему оптимальному пути на графе:. Таким образом, в соответствии с решением оптимальное управление процессом разгрузки и загрузки машин товаром состоит в следующем: Динамическое программирование связано с возможностью представления процесса управления в виде цепочки последовательных действий, или шагов, развернутых во времени и ведущих к цели. Таким образом, процесс управления можно разделить на части и представить его в виде динамической последовательности и интерпретировать в виде пошаговой программы, развернутой во времени. Это позволяет спланировать программу будущих действий. Поскольку вариантов возможных планов—программ множество, то необходимо из них выбрать лучший, оптимальный по какому-либо критерию в соответствии с поставленной целью. В курсовой работе основное внимание уделено подробному рассмотрению задачи построения оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности. Динамическое программирование также применяется для решения таких задач, как распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом или запасами, устанавливающими момент пополнения запаса и размер пополняющего заказа; разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети и т. В заключение можно отметить, что методы динамического программирования успешно применяются и при решении задач, в которых фактор времени не учитывается. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Финансы и статистика, Экономико-математические модели управления производством теоретические аспекты: Экономико-математические методы и модели: Математические методы и модели в управлении: Главная Опубликовать работу О сайте. Сохрани ссылку на реферат в одной из сетей: Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем: Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать следующие требования: В общем виде это уравнение имеет вид: Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий с k-го по n-е , будет равен: Таблица 2 t 0 1 … n r r 0 r 1 … r n S S 0 S 1 … S n При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т. На величину t накладывается следующее ограничение: На первом шаге, с задаваемым сечением А 1 В 1 , из состояний А 1 и B 1 возможен только один вариант перехода в конечное состояние S 1. Поэтому в вершинах А 1 и B 1 записываем соответственно издержки 13 и Ребра A 1 S 1 и B 1 S l обозначаем стрелкой, направленной в вершину S 1 , как показано на рис. Рисунок 3 — Сетевая модель операции, шаг 1 2-й шаг. Рисунок 4 — Сетевая модель операции, шаг 2 3-й шаг. Рисунок 5 — Сетевая модель операции, шаг 3 4-й шаг. Из состояний А 4 и Е 1 возможен единственный переход в вершины А 3 и D 1 соответственно, поэтому в вершинах А 4 и Е 1 записываем суммарные издержки: Рисунок 6 — Сетевая модель операции, шаг 4 5-й шаг. Из вершин А 5 и F 1 возможен единственный переход в вершины А 4 и Е 1 соответственно: Рисунок 7 — Сетевая модель операции, шаг 5 6-й шаг. Из состояний А 6 и G 1 возможен единственный переход в вершины А 5 и F 1 соответственно, поэтому в вершинах А 6 и G 1 записываем суммарные издержки: Рисунок 8 — Сетевая модель операции, шаг 6 7-й шаг. Рисунок 9 — Оптимальная последовательность операций Минимальные издержки F min соответствуют следующему оптимальному пути на графе:
Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение. Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими. Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т. Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия. Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т. Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу. Дифференциальные уравнения второго порядка модель рынка с прогнозируемыми ценами - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Характерной особенностью динамического программирования является последовательное исследование переменных. Главное заключается в том, что создается такая вычислительная схема, когда предпочтительнее большое количество задач с малым числом переменных, а не одна задача с множеством переменных. В результате процесс вычисления представляется не таким объемным. Но следует отметить, что для этого необходимо соблюдение двух условий:. Такие условия производны от принципа оптимальности Беллмана, на котором базируется теория динамического программирования. На принципе Беллмана основывается также главный метод - определение правил доминирования. Это, в свою очередь, подразумевает осуществление сравнения примеров будущего развития на каждом этапе, при этом бесперспективные варианты сразу же исключаются. Решающие правила - это правила в виде формул, которые выделяют один из других элементы последовательности. Например, задача оптимального распределения ежегодного урожая зерна на продукцию и семена с целью получения большего количества хлеба. Динамическое программирование в значительной мере полезно в случае нахождения решения задачи, которая изначально предполагает наличие определенных этапов. Из представленного материала ясно, что динамическое программирование - это метод оптимизации решений, который предполагает использование многошагового процесса. Допустим, что рассматриваемый процесс существует, изменяется во времени и полностью делится на определенное количество этапов. Такое деление может быть:. Многоэтапный процесс можно регулировать. Это значит, что каждый этап требует принятие определенного решения, которое влияет на результат деятельности конкретного шага и процесса в целом. Соответственно, регулирование всем процессом реализуется посредством уравнения отдельных этапов. Среди наиболее простых задач, решение которых предполагает применение метода динамического программирования, можно назвать задачу об оптимальном режиме набора высоты и скорости летательным аппаратом. Далее будут обозначены приемы динамического программирования на основе решения данной задачи. Пусть летательному аппарату, который находится на высоте H s со скоростью V s , следует подняться на определенную высоту H f. Скорость аппарата достигает заданного значения и составляет V f. Известны дискретные показатели расхода горючего, необходимого для набора высоты и увеличения скорости полета по горизонтали. Необходимо определить такой режим набора высоты и скорости, который предполагает минимальную трату горючего. Важным представляется определить из всех существующих траекторий наилучшую, то есть ту, которая предполагает минимальный расход горючего. Для того, чтобы сделать верный выбор можно рассмотреть все траектории, но их количество слишком большое, поэтому более простое решение задачи предполагает использование метода динамического программирования. Необходимо осуществить оптимизацию каждого шага, начиная с последнего. Мы знаем конечное состояние самолета, это точка S кон. Ясно, что траектория В2- S кон предпочтительнее В1- S кон на 3 единицы расхода топлива. Для того, чтобы определить в каждой узловой точке наиболее правильное управление, необходимо изучить два образующихся из этой точки пути - горизонтальный и вертикальный. Для каждой траектории представляется важным нахождение суммы траты топлива на данном этапе и минимального расхода горючего на оптимальном продолжении пути, уже определенном для дальнейшей точки, по заданному направлению. Из двух траекторий выберем оптимальную, а значит ту, которая предполагает меньшую сумму. Если данные показатели эквивалентны, то выбор траектории не является принципиальным. Окончательное решение будет иметь вид, представленный на рисунке — оптимальная траектория обозначена стрелками. Представленный пример задачи является наиболее распространенным в раскрытии сущности метода динамического программирования. Так, каждый этап предполагает определение только по двум параметрам - высота, скорость. Это и делает решение задачи очень простым и конечным. Тем не менее, следует отметить, что такая задача является скорее теоретической, нежели практической. Так, в реальной обстановке самолет способен одновременно увеличивать высоту и скорость В этом случае работать придется с кусочно-линейной аппроксимацией траектории. Очевидно, что определение системы координат для решения задачи и метод деления действия на этапы имеют множество вариаций. В данном случае такой метод решения задачи используется для наглядности геометрической интерпретации. Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Следующая. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими Целительная привычка Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Тренинг уверенности в себе Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Как слышать голос Бога Классификация ожирения по ИМТ ВОЗ Глава 3. Завет мужчины с женщиной Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т. Основы вычислительного метода динамического программирования.
Река протва где протекает
Обжалование действий связанныхс заключением контракта
Инструкцией по движению поездов и маневровой работе украина
Круиз волна расписание 2017
Где пожарить шашлыки в реутове