Геометрические характеристики трубы круглой - Таблица. Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса. Момент инерции и момент сопротивления при кручении. Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение.
Моменты инерции плоских сечений простой формы. Моменты инерции простых сечений. Моменты инерции сечений сложной формы. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения. Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений. Сопротивление стержня различным видам деформирования часто зависит не только от его материала и размеров, но и от характера осевой линии, формы поперечных сечений и их ориентации. Уже в древности строители знали, что доска или брус, поставленные на ребро, во много раз лучше противостоят изгибу, чем положенные плашмя. Речь идет как об их несущей способности, так и о деформативности. Для двутавровой стандартной балки, поставленной на две опоры, эти показатели примерно в 7 и 30 раз выше, чем у балки квадратного поперечного сечения такой же площади, c деланной из того же материала. Таким образом, рациональное расположение материала по сечению позволяет снизить его расход. Как увидим дальше, этот вывод имеет обобщение на форму конструкции в целом. Но в данный момент, отвлекаясь от физических свойств изучаемого объекта, рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, определяющие сопротивление различным видам его деформирования. В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов. Геометрические характеристики — числовые величины параметры , определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации. Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений. Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть. Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L 2. Отметим два важных свойства: Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь. При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А , сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси рис. В формулах 6 введены обозначения: А 1 , А 2 , …, А n — площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 , … , x n , y n — координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у. Из выражений 4 можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:. Для сложного поперечного сечения формулы 7 можно представить в следующем виде. Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х 1 , а также у и у 1 имеют вид:. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента S x. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента S y. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии. Определить статический момент полукруга радиусом R рис. Как следует из рис. Подставляя найденные значения y и dF в выражение S z , получим. Координата центра тяжести сечения y c определяется по формуле Найти положения центра тяжести фигуры, имеющей форму тавра рис. Разбиваем изображенную на рис. Центры тяжести каждой из простых фигур обозначаем соответственно с 1 и с 2. Проводим через центры тяжести каждой из фигур оси z 1 , z 2 и ось y. Ось y является осью симметрии фигуры, проходит через центры тяжести обеих простых фигур и всей фигуры также и поэтому индексации не имеет. Выбираем в качестве начала координат центр тяжести второй фигуры c 2 и в качестве оси, относительно которой будем производить все вычисления, ось z 2. Вычислим статический момент площади фигуры относительно оси z В соответствии с основным своим свойством статический момент площади относительно любой центральной оси равен нулю. В связи с этим для сокращения арифметических вычислений при определении положения центра тяжести сложных фигур рекомендуется выбирать в качестве начала координат центр тяжести одной из простых фигур. Находим координату центра тяжести всей фигуры, используя выражение Найденное значение координаты центра тяжести отложим вдоль оси y вверх от точки c 2 , так как это значение положительное. Полученную точку обозначим буквой C. Ось z C , проведенная через центр тяжести всей фигуры будет одной из центральных осей фигуры. Вторая центральная ось фигуры в данном примере не определяется, так как этой осью является ось симметрии y. Статические моменты S y простых фигур и всей фигуры относительно этой оси равны нулю. Анализируя полученное решение, можно сделать вывод о том, что при определении центра тяжести для сложных фигур очень важно удачно выбрать начало координат и, соответственно, оси, относительно которых производятся все вычисления. Как уже отмечалось выше, начало координат следует помещать в центр тяжести одной из простых фигур. Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. Для первого 1 прямоугольника. Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:. Для сечений, состоящих из n- числа областей рис. Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y см. Преобразуя формулы 10 , получим:. Если предположить, что оси x 1 и y 1 см. Оси называются центральными , если они проходят через центр тяжести фигуры, т. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью. Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат рис. Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. H айдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно рис. Данное условие называется условием инвариантности. Формулируется условие инвариантности следующим образом: Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: Размерность моментов инерции L 4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т. Вычислим моменты инерции простейших фигур. Определим моменты инерции относительно осей, совпадающих со сторонами, и относительно центральных осей рис. Момент инерции относительно оси х , c овпадающей с основанием,. Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:. Определить осевые моменты инерции фигуры, приведенной на рис. В примере 2 для изображенной на рис. Вычислим расстояния a 1 и a 2 между осями z 1 и z c и осями z 2 и z c. Так как исходные оси z 1 и z 2 являются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно оси z c воспользуемся формулой. Определить момент инерции сечения, показанного на рис. Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг. Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов:. Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры. По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем:. Момент инерции сечения относительно оси y согласно Чему равен размер b в см фигуры, изображенной на рис. Выразим момент инерции относительно оси z через неизвестный размер сечения b , воспользовавшись формулами 12 , учитывая, что расстояние между осями z и z 1 равно 7 см: Решая выражение а относительно размера сечения b , получим: Какая из фигур, изображенных на рис. Выразим площади фигур через их размеры и определим: Вычисляем момент инерции для круглого сечения: Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы: Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади. Найдем моменты инерции сечения относительно горизонтальной z и вертикальной y центральных осей инерции: Определяем полярный момент инерции сечения как сумму осевых моментов инерции: Момент инерции сечения треугольной формы относительно главной оси инерции z будет меньше по сравнению с моментом инерции относительно оси z 1 на величину a 2 A. Пусть координаты точки М до поворота — x , y , после поворота — x 1 , y 1 рис. Теперь определим моменты инерции относительно осей х 1 и у Сложив почленно уравнения 14 , 15 , получим:. Найти моменты инерции прямоугольника рис. Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:. Центральные моменты относительно повернутых осей y 0 и z 0 равны:. Центробежный момент инерции относительно осей y 0 и z 0 равен:. Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей y 1 и z 1 равны:. Моменты инерции относительно осей y 1 и z 1 равны:. Центробежный момент инерции равен:. При повороте на 45 0 моменты инерции относительно новых осей оказались одинаковыми. Чему равна их величина? Для решения задачи воспользуемся выражением 14 с учетом того, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю: Подставим в формулу а численные значения для моментов инерции и угла поворота осей: Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения 16 нулю:. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения. В литературе главные оси иногда обозначаются через u и v. При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:. Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:. Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле:. После определения моментов инерции относительно главных осей можно построить эллипс инерции — это эллипс, полуоси которого равны радиусам инерции относительно главных осей. Построение эллипса инерции удобно использовать для анализа правильности определения моментов инерции. Эллипс инерции должен быть вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура. Построить эллипс инерции этого сечения. Осевые радиусы инерций сечения определяются по формулам:. Построенный эллипс инерции показан на рис. У которой из фигур рис. Определить наибольший радиус инерции сечения относительно оси z. Найдем площадь каждой из фигур и размеры сечений. Диаметр первого сечения найдем из выражения: Находим моменты и радиусы инерции каждого из сечений относительно центральной оси z. Для сечения круглой формы: Для сечения квадратной формы: Для сечения прямоугольной формы: Для сечения треугольной формы: Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции для составного сечения рис. Центр тяжести фигуры лежит на оси симметрии у , которая и является главной центральной осью. Через точку С перпендикулярно оси у проводим ось z , которая и будет другой главной центральной осью. Для каждого из прямоугольников находим моменты инерции относительно их главных центральных осей:. Используя зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей, находим величины главных центральных моментов инерции: Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения, представленного на рис. Сечение, изображенное на рис. Так как сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит в точке пересечения этих осей. Эти же оси в данном случае будут являться главными центральными осями. Определяем главные моменты инерции сечения. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции сечения, представленного на рис. Размеры на рисунке в сантиметрах. Разбиваем сечение на простейшие фигуры: Положение центров тяжести простейших фигур известно из курса элементарной математики. Выбираем положение вспомогательных осей, относительно которых будем отсчитывать координаты центра тяжести всего сечения. Так как сечение имеет одну ось симметрии вертикальную , то эта ось является одной из главных осей. Остаётся определить положение центра тяжести на этой оси. Для этого проводим вспомогательную ось X 0 , от которой будем отсчитывать расстояния до центров тяжести элементарных фигур по вертикали: Площади этих простейших фигур равны:. Вычисляем расстояние от оси X 0 до центра тяжести всей фигуры по оси Y:. Отложив от оси X 0 по оси Y отрезок равный 13,6 см, получим точку пересечения главных центральных осей X c , Y c , т. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Моменты инерции каждой составляющей фигуры всего сечения относительно оси X c определяем по формуле перехода к параллельным осям:. Тогда моменты инерции размерность - см В скобках приведено значение этой величины, выраженное в единицах размерности СИ ,. Аналогично определяем величину главного момента инерции относительно оси Y c:. Тогда моменты инерции каждой составляющей фигуры относительно оси Y c , размерность - см 4 , равны:. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции сечения, изображенного на рис. Сечение состоит из прокатных профилей, все геометрические характеристики которых приведены в таблицах ГОСТа. Аналогично выписываем из табл. Определяем положение центра тяжести сечения. Выбираем вспомогательные оси Х 0 Y 0. Так как сечение имеет одну ось симметрии, то совместим ось Y 0 c этой осью, а ось X 0 проведем через основание двутавра рис. Определяем ординату центра тяжести y c по формуле:. Используя найденные значения координат, проводим главные центральные оси X c и Y c главными они являются потому, что одна ось совпадает с осью симметрии. Точка пересечения осей точка С определяет центр тяжести. Определяем главные моменты инерции сечения по формуле:. Вычисляем главный момент инерции составного сечения относительно оси Y c. Найти расстояние с между ветвями составного стержня, обеспечивающее равенство главных моментов инерции сечения рис. Требуемое условие обеспечивается равенством моментов инерции относительно осей симметрии z и у , являющихся главными центральными осями сечения. Разбиваем каждую часть сечения на три прямоугольника, как показано на рис. Приравнивая J y и J z , получаем уравнение. Читателю предлагается изобразить составное сечение для этого случая. Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси — величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки. Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м 3. В балках из металла обычно применяются сложные поперечные сечения, потому что в них материал может быть использован экономичнее, чем в таких сечениях, как прямоугольник и круг. Так, известно, что валы делают полыми, чтобы удалить ту часть материала, которая слабо работает. Известно также, что при изгибе балок материал около нейтральной оси принимает на себя малые нормальные напряжения и также не может быть использован полностью. Поэтому целесообразнее переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет работать более интенсивно. Так получается из прямоугольного сечения профиль двутавра , обладающего той же прочностью и меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию большинство металлов. Сечения в виде тавра , применяются или в случаях, вызываемых специальными конструктивными обстоятельствами, или для таких материалов, как чугун, бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко разнятся между собой; последнее обстоятельство требует, чтобы напряжения в крайних волокнах были различными. Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее экономичном проектировании сечения следует стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это ведет к размещению большей части материала подальше от нейтральной оси. Однако для некоторых сечений можно увеличить момент сопротивления не добавлением, а, наоборот, путем срезки некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси. Так, например, для круглого сечения срезка заштрихованных сегментов рис. Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером. При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений. Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, элементы нумеруются , номера элементов указываются на чертеже. Проводим прямоугольную систему осей z , y. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры , необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Собственные оси элементов — оси, параллельные начальным осям z c , y c. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях. Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам:. Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей z c , y c. Проводим систему центральных осей z c , y c , таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Суммируя, получаем значения I z c , I z c , I z c y c. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения:. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы см. Проводим контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 — 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные исходные размеры и значения геометрических характеристик не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку разность между приближенным и точным значением к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. Определяем геометрические характеристики сечения — осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей. Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками. Определяем положение главных центральных осей. Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки:. Для определения моментов сопротивления сложного сечения необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей u max и v max могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины i v и i u каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции. Какими свойствами они обладают? Чему он равен для прямоугольного и круглого сечения? Для чего он строится? Отношение внутреннего диаметра кольца к наружному. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции? Определите полярный момент сечения? Определите величину J p? Статическим моментом площади сложного сечения называется сумма произведений площадей на расстояние от … до их центров тяжести. Координата центра тяжести сечения y c определяется как отношение суммы … к сумме ….. Осевым моментом инерции площади поперечного сечения называется взятый по всей площади сечения F интеграл от произведения элементарных площадок на … их расстояния от … до этих площадок. Отношение внутреннего диаметра кольца d к наружному Д равно 0,5. Осевой момент инерции относительно оси x. Статический момент относительно оси y. Результат округлить до целого значения. Уфа, почтовый ящик
Организационные причины несчастных случаев
Карта дорог туапсе
Энциклопедия по машиностроению XXL
Тесты масла лукойл люкс
Объем контейнера 40 футов сколько кубов
Дальномер bosch plr 50
Авито автомобиль газель фермер
Де нол детям инструкция по применению
Косы спицами схемы и описание
Грузовик лондон новости
Белвест спб каталог
Проверить место в очереди в детский сад
Геометрические параметры трубы и ГОСТы
Норма кислорода в крови человека
Тесты беон 16 аниме
Экологические проблемы в литературных произведениях
Сколько калорий в отварной говядине нежирной
Нормы литературного языка складываются в результате
Энциклопедия по машиностроению XXL
Your reward перевод
Управление минюста рф
Параметры моделей девушек таблица 2016
Как сменить ip адрес tp link