这个就是源码

gistfile1.txt

$\textstyle$

<h1>第二章 守恒定律</h1>

<h3>6 能量</h3>

对于具有s个自由度的封闭力学系统，独立的运动几分熟等于2s-1。

$q_t=q_i(t+t_0,C_1,C_2,\cdots,C_{2s-1})$

$\dot{q}t=\dot{q_i}(C_1,C_2,\cdots,C,{2s-1})$
在该函数中消去$t+t_0$,将$2s-1$个任意常数$C_1,C_2,\cdots,C_{2s-1}$表示成$q_i,\dot{q_i}$的函数，这些函数就是运动积分。

由于时间具有均匀性，封闭系统的的拉格朗日函数不显含时间，因此拉格朗日函数对时间的全导数可以写成

​                                   $\frac{dL}{dt}=\sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\sum\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}$

利用拉格朗日方程，将$\frac{\partial L}{\partial q_i}$替换为$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}$,得

​                                   $\displaystyle \frac{dL}{dt}=\sum_{t}\dot{q_i}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}+\sum_{t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}=\sum\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\dot{q_i}}\dot{q_i})$

或者

​                                   $\displaystyle\frac{d}{dt}\sum\dot{q_i}(\frac{ L}{ \dot{q_i}}-L)=0$

由此可知
 $\displaystyle E=\sum_{t}\dot{q_t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_t}}-L$

在封闭系统中运动保持不变，是运动的积分，称之为<em>系统的能量</em>。

<u>能量与拉格朗日方程得关系是线性的</u>

$E=T(q,\dot{q})-U(q)$

用笛卡尔坐标写成

$E=\displaystyle\sum_{a}\frac{m_av_a^2}{2}+U(r_1,r_2,\cdots)$

依赖于素的得动能仅仅依赖于质点系坐标的势能

<h3>7 动量</h3>

平移就是将系统中所有的质点移动相同的位移$\varepsilon$得变换，即径矢$r_a\rightarrow r_a+\varepsilon$在速度不变时，坐标的无穷小得改变时的拉格朗日函数所能产生的变换为
$\delta L=\displaystyle\sum\frac{\partial L}{\partial r_a}\cdot \delta r_a=\varepsilon\cdot\sum \frac{\partial L}{\partial r_a}$

其中求和是对系统的所有质点进行的。对任意$\varepsilon$要求$\delta L=0$等价于
$\displaystyle\sum_a\frac{\partial L}{\partial v_a}=0$

根据拉格朗日方程可得
$\displaystyle\sum_a\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_a}=\frac{d}{dt}\sum_a\frac{\partial L}{\partial v_a}=0$

于是可以得出结论：封闭力学系统的矢量、
$P=\displaystyle\sum_a\frac{\partial L}{\partial v_a}$

在运动中保持不变。矢量$P$称之为系统的矢量。

对拉格朗日函数求导可得用速度表示的系统的矢量：
$P=\displaystyle\sum_am_av_a$

显然动量的可加性是显然的。

与能量的区别：无论质点间的相互作用是否可以忽略，系统的动量都等于各个之巅的动量

​                                                                   $$P=m_av_a$$

之和。

等式$\frac{\partial L}{\partial r_a}=-\frac{\partial U}{\partial r_a}$是作用在第a个质点上的力$F_a$

即表明——作用在封闭系统的所有质点上的力之和等于零：

​                                                               $\displaystyle\sum F_a=0$

特别的，但系统只由两个质点组成时，$F_1+F_2=0$,l两个之巅的相互作用力大小相等，方向相反。

上面就是<strong>作用与反作用定律（牛顿第三定律）</strong>

广义坐标：$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

广义力：$F_t=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

所以拉格朗日方程可以写为：$\dot{p_t}=F_t$

<h3>8 质心</h3>

​                                       $V=\frac{P}{\sum m_a}=\frac{\sum m_av_a}{\sum m_a}$

如果在给定参考系下力学系统的总动量为零，则称系统相对参考系静止。

该公式的右端可以看作是下边表达式对于时间的导数：

​                           $\displaystyle R=\frac{\sum m_ar_a}{\sum m_a}$

可以说，系统的整体运动的速度就是径矢为上式的点走起空间中的运动速度，这个点称之为系统的质心。

​       整体禁止的力学系统能量通称为内能$E_{int}$,它包括系统内质点的相对运动动能和相互作用势能。以速度V作整体运动的系统的能量可以写成

​                                               $E=\frac{\mu V^2}{2}+E_int$

<h3>9 角动量</h3>

下面研究由<em>空间各向同性</em>得到的守恒定律。

引入无穷小转动的矢量$\delta\phi$，其大小等于转角$\delta\varphi$,方向沿着转动轴（转动方向与$\delta\phi$的方向之间符合<em>右手螺旋定则</em>）

​                                           $|\delta r|=rsin \theta\cdot\delta\phi$

位移矢量的方向垂直过r和$\delta\phi$平面。显然有

​                                           $\delta r=\delta\phi\times r$

在系统转动时不仅矢径发生改变，而且所有质点的速度也会随之发生改变，并且变化规律相同。

所以速度的增量为:

​                                           $\delta r=\delta\phi\times v$

将其带入拉格朗日方程中，并作代换之后有

​                                           $\displaystyle\delta\phi\cdot\sum_a(r_a\times \dot{p_a}+v_a\times p_a)=\phi\theta\cdot\frac{d}{dt}\sum_a r_a\times p_a=0$

由于$\delta\phi$具有任意性，所以有

​                                           $\displaystyle\frac{d}{dt}\sum_a r_a\times p_a=0$

即在封闭力学系统矢量

​                                   $M=\displaystyle\sum_ar_a\times p_a$

保持不变，这个物理量称之为系统的<em>角动量</em>

类似于线动量，这个物理量不依赖于质点间是否有相互作用，它的可加性是显然的。

假定两个坐标原点相差矢量a，同一个点对这两个坐标原点的径矢f分别为$r_a$和$r'_a$.则有关系式$r_a=r'_a+a$

​                               $M=M'+a\times P$

<u>由此可知，只有在系统整体静止（即P=0）时，其角动量不依赖于坐标原点的选择。</u>

应该指出，角动量在任意轴上的投影，都可以由拉格朗日函数的微分形式求得：

​                                                   $M_(x/y/z)=\displaystyle\sum_a\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi_a}}$,

根据前面给出的角动量守恒的证明过程（前面有）这个结论是显然的，利用柱坐标$r,\phi,z$代入$x_a=r_acos\phi_a,y_a=r_asin\phi_a$式中，有

​                                               $M_z=\displaystyle\sum_am_a(x_a\dot{y_a}-y_a\dot{x_a})=\sum_am_ar^2_a\dot{\phi_a}$

另一方面，用这些坐标表示时，拉格朗日函数也可以是

​                                               $L=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_a m_a(\dot{r_a}^2+\dot{y_a}^2+\dot{z_a}^2)-U$

带入里面也可得上式。

<h3>10 力学的相似性</h3>

拉格朗日函数乘以任意常数不会改变运动方程。

这些特殊情况包括那些势能式坐标的齐次函数的情况，即势能条件

​                                       $U(\alpha r_1,\alpha r_2,\cdots,\alpha r_n)=\alpha^kU(r_1,r_2,\cdots,r_n)$,

其中$\alpha$是任意常数，$k$是函数的齐次次数。

我们引入变换$r_a\rightarrow \alpha r_a,t\rightarrow\beta t$

这时有

​                                                       $\frac{\alpha ^2}{\beta^2}=\alpha ^k$

即$\beta=\alpha ^{1-\frac{k}{2}}$

<strong>该变换的结果就是拉格朗日函数乘以常数$\alpha^k$,运动方程保持不变。</strong>

结论：如果系统的势能是（笛卡尔）坐标的k次齐次函数，则由运动方程可以得到一系列几何上相似的不同轨迹，并且（不同的轨迹上的相应点的）运动时间之比满足关系式

​                                                           $\frac{t'}{t}=(\frac{l'}{l})^{1-\frac{k}{2}}$

其中$l'/l$是两个轨迹线度之比。

除了时间之外，其他的与时间有关的线性齐次函数也可以由此表示

​               $\frac{v'}{v}=(\frac{l'}{l})^{1-\frac{k}{2}}，\frac{E'}{E}=(\frac{l'}{l})^{1-\frac{k}{2}},\frac{M'}{M}=(\frac{l'}{l})^{1-\frac{k}{2}}$

<strong>位力定理：</strong>如果力学系统在有限的空间中运动，势能是坐标的齐次函数，则动能和势能的时间平均值之间存在非常简单的关系，这个关系式称为位力定理。

<h4>预备知识：</h4>

<strong>齐次函数的欧拉定理表述如下:</strong>

若 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" /> 是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n" alt="[公式]" /> 次齐次函数,则有 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dnf%5C%5D" alt="[公式]" />

<hr />

<strong>证明:</strong>

若函数满足条件 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" /> 则称其为 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n" alt="[公式]" /> 次齐次函数.

对上述定义等式两边关于 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=a" alt="[公式]" /> 求导有:

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dn%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />

接下来令 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Ba%3D1%5C%5D" alt="[公式]" /> 得到: <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dnf%5C%5D" alt="[公式]" /> 即得证.

<hr />

<strong>推论:</strong>

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Cbeta+%5Ctext%7B%3D1%7D%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Cbeta+%7D%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Cbeta+%7D%7D%3D%5Cleft%28+n-1+%5Cright%29%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" /> 也就是说每一项偏导数都是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n-1" alt="[公式]" /> 次齐次函数.

<strong>证明:</strong>

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />---<strong>[i]</strong>

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dnf%5C%5D" alt="[公式]" /> -------------------------------<strong>[ii]</strong>

对<strong>[i]</strong>两边关于<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=a" alt="[公式]" /> 求导有:<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dn%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />

将<strong>[ii]</strong>代入上式得到: <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" />

显然 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" />

这就是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n-1" alt="[公式]" /> 次齐次函数的定义.

应用欧拉定理得到 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Cbeta+%5Ctext%7B%3D1%7D%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Cbeta+%7D%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Cbeta+%7D%7D%3D%5Cleft%28+n-1+%5Cright%29%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" /> 证毕.

<hr />

<strong>后日谈:</strong>

见评论区, 有位dalao指出了另一个证明方法, 还蛮有趣的就也摆上来吧.

直接对齐次函数定义 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" /> 关于任意变量求导:

得到 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5Ccdot+a%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5CRightarrow+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" />

上面的 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" /> 其实就是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n-1" alt="[公式]" /> 次齐次函数的定义.

<blockquote>
  这里要注意到所有等号左边的 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5C%5D" alt="[公式]" /> 表示的是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />
  而所有等号右边的 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=f" alt="[公式]" /> 表示的是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" /> , 为了简洁就省写了一点儿.
</blockquote>

所以说, 实际上可以不用到欧拉定理就可以证明 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=f" alt="[公式]" /> 的每一项偏导数都是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n-1" alt="[公式]" /> 次齐次函数.

利用上述结论我们可以的到另一个证明欧拉定理的方法:

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=n" alt="[公式]" /> 次齐次函数定义是 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />

对上述定义等式两边关于 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=a" alt="[公式]" /> 求导有:

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+a%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2Ca%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2Ca%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%3Dn%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7Df%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />

我们再利将结论 <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+a%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%3D%7B%7Ba%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5C%5D" alt="[公式]" /> 代入上式

得到: <img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha+%3D1%7D%5E%7Bs%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%7D%7B%5Cpartial+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%5Ccdot+%7B%7Bx%7D_%7B%5Calpha+%7D%7D%7D%3Dnf%5Cleft%28+%7B%7Bx%7D_%7B1%7D%7D%2C%7B%7Bx%7D_%7B2%7D%7D%2C...%2C%7B%7Bx%7D_%7Bs%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D" alt="[公式]" />

因为动能是速度的二次函数，根据欧拉齐次函数定理有
$\displaystyle\sum_a\frac{\partial T}{\partial v_a}\cdot v_a=2T$

或者利用$\partial T/\partial v_a=p_a$写成

$2T=\displaystyle\sum_a p_a \cdot v_a=\frac{d}{dt}\sum_a p_a\cdot r_a-\sum_a\dot{p_a}\cdot r_a$

将上面的式子等式对时间平均。函数$f(t)$对时间平均定义为

$\bar{f}=\displaystyle \lim_{\tau \to 0}\frac{1}{\tau}\displaystyle \int^{\tau}_{0}f(t)dt$

容易看出，如果函数$f(t)$是某个有界函数$F(t)$对时间的全导数，则$f(t)$对事件平均等于零。事实上

$\bar{f}=\displaystyle\lim_{\tau \to 0}\frac{1}{\tau}\int^{\tau}<em>0\frac{dF}{dt}=\lim</em>{\tau \to 0}\frac{F(\tau)-F(0)}{\tau}=0$

如果势能是所有径矢的k次齐次函数，则根据欧拉定理。等式变为所要求的关系
$2\bar{T}=k\bar{U}$

又因为$\bar{T}+\bar{U}=\bar{E}=E$，可以将等式等价地写成

$\bar{U}=\frac{2}{k+2}E,\bar{T}=\frac{k}{k+2}E$

对于k=2，即微振动的特殊情况有

$\bar{T}=\bar{U}$

即动能和势能对时间平均相等。对牛顿引力(k=-1)有
$2\bar{T}=-\bar{U}$

这时表明，只有在总能量为负值的情况下，在牛顿引力的作用下，运动才是有界的。