Извлечение корней: способы, примеры, решения.
Корень степени n: основные определения
Калькулятор корней
Многие путаются в корнях не потому, что они сложные чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств , а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.: Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:. Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей. Прочитав определение, многие ученики спросят: Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:. Однако суть не в этом. Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим. Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам Но что это за число? Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:. Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций логарифмов, степеней, пределов и т. Но об этом — в другой раз. Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе. Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного. Это вполне логично, поскольку. Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?: В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , то есть не принимает отрицательных значений. Так мы избавляемся от неоднозначности. Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами. Да, я не спорю: И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте. А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:. Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями. У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы:. Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль. О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикала , ученики дружно забывают эту формулу. Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:. Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:. Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:. Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится ведь минус на минус даёт плюс. Дальше вновь извлекаем корень:. В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: В противном случае корень не определён. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем. Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:. Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются. Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:. Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала имеем полное право, так как показатель нечётный , а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами. Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым. В итоге решил оставить здесь. Это называется алгебраическим корнем. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:. Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:. Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу. Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую то есть чётную! Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.: ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Корень степени n: У вас тоже так? Читайте дальше — и всё поймёте Многие путаются в корнях не потому, что они сложные чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств , а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией: В любом случае корень обозначается вот так: Классические примеры квадратных корней: Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться: Зачем вообще нужны корни? Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами: А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это: Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы. Почему нужны два определения? График квадратичной функции даёт два корня: Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем: Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа Из этого графика можно сделать два вывода: Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной отсутствует требование неотрицательности. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы: Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей. Вынесение минуса из-под знака корня Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. Арифметический корень Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы: Например, правило возведения в степень: Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху: А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов: Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа; Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа. С первым выражением всё просто: Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.
Иногда нужно просто вычислить корень. На нашем сайте представлен онлайн калькулятор корней. Вы сможете вычислить математический корень любого числа. Тут можно расчитать квадратный, кубический и корень любой другой степени включая дробную степень! На числа тоже не накладываеться никаких ограничений они также поддерживают дроби. Вычисление корня 4-й степени. Этот сайт выручит школьников, студентов и людей, которым требуется надежный инструмент для вычисления квадратного корня онлайн. В школе эта тема изучается вскользь, а в жизни иногда требуется выполнить максимально быстрое и абсолютно правильное математическое задание. Если ваш калькулятор не обладает такой функцией, или его просто нет поблизости, а вычисления на бумаге займут огромное количество времени, а иногда и усилий, то на этом сайте можно одолеть задачу в считанные секунды. Он готов решать задачу прямо сейчас. Онлайн вычисление корня совершенно бесплатно. Мы предусмотрели максимально полезный и удобный интерфейс с возможностью ввода чисел не только с помощью мыши, но и клавиатуры. Сложные математические расчеты станут настоящим удовольствием даже для тех, кто имел в школе двойку по математике! Пожелания и вопросы присылайте на - admin vsekorni.
Фпик волггту расписание сессии 2016
Сколько гарантия по закону
Сонник много животных разных
Уволить пенсионерапо результатам аттестации
Описание конструкции изделия