Как решать задачи B15 без производных
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Задание В15 (2014)
Как решать В-14 без производной. Подготовка к ЕГЭ МБОУ СОШ 46,г. Хабаровск. Учитель математики – Кочерга Г.Н. - презентация
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком. Эти определения интуитивно понятны: Стационарные точки — это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум локальный минимум или локальный максимум в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее наименьшее значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка. Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена. Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме: Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. На первом рисунке функция принимает наибольшее max y и наименьшее min y значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]. Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала. На четвертом рисунке функция принимает наибольшее max y и наименьшее min y значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала -6;6. На интервале [1;6 наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;4] ; на отрезке [-4;-1]. Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть. Оба отрезка попадают в область определения. Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби: Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1]. Стационарные точки определим из уравнения. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4]. Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] так как он не содержит ни одной стационарной точки: Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности , а также способы нахождения пределов. Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту. Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту. Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции если такие точки есть. Если интервал X имеет вид: Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности плюс бесконечности , то о наименьшем наибольшем значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервалах: Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль: Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции. Очевидно, производная существует на всей области определения функции. Производная обращается в ноль при. Эта стационарная точка попадает в интервалы -3;1] и -3;2. Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции: Следовательно, значения функции находятся в интервале при x из промежутка. Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке , наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной Для интервала -3;2 воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к двойке слева: Поэтому , наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной На промежутке функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения. То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка. А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты. На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Наибольшее и наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b]. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале X.
Логика информатика таблицы истинности
Скачать навител 9.8 для андроид карты торрент
Проигрыватель россия 321 стерео инструкция
Причина столкновения поездов в москве
Передается ли спид через жопу
Черная жемчужина корабль модель из дерева чертежи
Калуга жиздра расписание автобусов
Где можно продать игрушки
Расписание автобуса 3 гидростроитель
Сколько стоит узи гениталий
Как изменить размер шрифта на странице
Калия йодид раствор инструкция
Как убрать носогубные складки уколами
Фильмы о преступниках основанные на реальных событиях
Заявление на гражданство рф образец заполнения скачать