Form ajax

form_submit_ajax.php

<?php
add_action( 'admin_footer', 'submit_javascript' );

// Imprime JS el el html del admin.
function submit_javascript() { ?>
	<script type="text/javascript" >
	jQuery(document).ready(function($) {
    
    $('#idForm').on( 'submit', function(e) {
      e.preventDefault(); // evita el submit convencional
      
      // serializa todos los campos del formulario, debes incluir un campo action con valor value="my_action".
      // es importante porque ese action es que el activa la funcion de lado admin en WP.
      
      var data = $(this).serialize(); 

      // desde verison 2.8 ajaxurl ya esta definida por defecto asi que solo ponla debajo y listo.
		jQuery.post(ajaxurl, data, function(response) {
      
      // response tiene el contenido generado en la funcion, con JS puedes agregar nuevo HTML debajo del fomulario, justo lo que buscas.
			alert('Got this from the server: ' + response);
		});
    });

	});
	</script> <?php
}

add_action( 'wp_ajax_my_action', 'my_action' );

// Esta funcion responde a la llamada de AJAX y aqui haces lo que necesites hacer. Devuelves el valor al navegador utilizando echo, al final.
function my_action() {

	$variable_post_ejemplo = $_POST['un valor que viene del formulario'] );

  echo $variable_post_ejemplo;

	wp_die(); // esto siempre al final de la funcion, para que termine ahi. IMPORTANTE.
}