Вычисление логарифмов, примеры, решения.
Десятичный логарифм
11.4.3. Десятичный логарифм
В этой статье мы поговорим про вычисление логарифмов , этот процесс называют логарифмированием. Сначала мы разберемся с вычислением логарифмов по определению. Дальше рассмотрим, как находятся значения логарифмов с использованием их свойств. После этого остановимся на вычислении логарифмов через изначально заданные значения других логарифмов. Наконец, научимся использовать таблицы логарифмов. Вся теория снабжена примерами с подробными решениями. В простейших случаях возможно достаточно быстро и легко выполнить нахождение логарифма по определению. Давайте подробно рассмотрим, как происходит этот процесс. Его суть состоит в представлении числа b в виде a c , откуда по определению логарифма число c является значением логарифма. То есть, нахождению логарифма по определению отвечает следующая цепочка равенств: Учитывая информацию предыдущих абзацев, когда число под знаком логарифма задано некоторой степенью основания логарифма, то можно сразу указать, чему равен логарифм — он равен показателю степени. Аналогично находим второй логарифм: Если же число b под знаком логарифма не задано как степень основания логарифма, то нужно внимательно посмотреть, нельзя ли прийти к представлению числа b в виде a c. Часто такое представление бывает достаточно очевидно, особенно когда число под знаком логарифма равно основанию в степени 1 , или 2 , или 3 , Вычислите логарифмы log 5 25 , и. Переходим к вычислению второго логарифма. Число можно представить в виде степени числа 7: Перепишем третий логарифм в следующем виде. Теперь можно увидеть, что , откуда заключаем, что. Следовательно, по определению логарифма. Коротко решение можно было записать так: Когда под знаком логарифма находится достаточно большое натуральное число, то его не помешает разложить на простые множители. Это часто помогает представить такое число в виде некоторой степени основания логарифма, а значит, вычислить этот логарифм по определению. Полученное выражение несложно представить в виде степени числа. Так как , то в последнем переходе мы использовали свойство степени в степени. На этом вычисление логарифма завершено. В заключение этого пункта отметим, что мы не ставили целью рассмотреть все способы представления числа под знаком логарифма в виде некоторой степени основания. Наша цель заключалась в том, чтобы дать самые часто используемые варианты действий, приводящие к результату при вычислении логарифмов по определению. Мощным инструментом вычисления логарифмов является использование свойств логарифмов. Некоторые свойства логарифмов позволяют сразу указать значение логарифмов. К таким свойствам относятся свойство логарифма единицы и свойство логарифма числа, равного основанию: То есть, когда под знаком логарифма находится число 1 или число a , равное основанию логарифма, то в этих случаях логарифмы равны 0 и 1 соответственно. Чему равны логарифмы и lg10? Так как , то из определения логарифма следует. На практике, когда число под знаком логарифма и основание логарифма легко представляются в виде степени некоторого числа, очень удобно использовать формулу , которая соответствует одному из свойств логарифмов. Рассмотрим пример нахождения логарифма, иллюстрирующий использование этой формулы. Число под знаком логарифма и основание логарифма можно записать в виде степени двойки: Для вычисления полученного логарифма воспользуемся свойством логарифма , получаем при затруднениях с вычислениями смотрите статью действия с обыкновенными дробями. Не упомянутые выше свойства логарифмов также используются при вычислении, но об этом поговорим в следующих пунктах. Информация этого пункта продолжает тему использования свойств логарифмов при их вычислении. Но здесь основное отличие состоит в том, что свойства логарифмов используются для того, чтобы выразить исходный логарифм через другой логарифм, значение которого известно. Приведем пример для пояснения. В приведенном примере нам было достаточно использовать свойство логарифма произведения. Однако намного чаще приходится применять более широкий арсенал свойств логарифмов, чтобы вычислить исходный логарифм через заданные. Итак, нам нужно найти log 60 Теперь посмотрим, как log 60 3 выразить через известные логарифмы. Наконец, вычисляем исходный логарифм: Отдельно стоит сказать о значении формулы перехода к новому основанию логарифма вида. Она позволяет от логарифмов с любыми основаниями переходить к логарифмам с конкретным основанием, значения которых известны или есть возможность их отыскать. Обычно от исходного логарифма по формуле перехода переходят к логарифмам по одному из оснований 2 , e или 10 , так как по этим основаниям существуют таблицы логарифмов, позволяющие с определенной степенью точности вычислять их значения. В следующем пункте мы покажем, как это делается. Для приближенного вычисления значений логарифмов могут быть использованы таблицы логарифмов. Наиболее часто используется таблица логарифмов по основанию 2 , таблица натуральных логарифмов и таблица десятичных логарифмов. При работе в десятичной системе счисления удобно пользоваться таблицей логарифмов по основанию десять. С ее помощью и будем учиться находить значения логарифмов. Представленная таблица позволяет с точностью до одной десятитысячной находить значения десятичных логарифмов чисел от 1, до 9, с тремя знаками после запятой. Принцип нахождения значения логарифма с помощью таблицы десятичных логарифмов разберем на конкретном примере — так понятнее. В левом столбце таблицы десятичных логарифмов находим две первые цифры числа 1, , то есть, находим 1,2 это число для наглядности обведено синей линией. Третью цифру числа 1, цифру 5 находим в первой или последней строке слева от двойной линии это число обведено красной линией. Четвертую цифру исходного числа 1, цифру 6 находим в первой или последней строке справа от двойной линии это число обведено зеленой линией. Теперь находим числа в ячейках таблицы логарифмов на пересечении отмеченной строки и отмеченных столбцов эти числа выделены оранжевым цветом. А можно ли, используя приведенную таблицу, находить значения десятичных логарифмов чисел, имеющих больше трех цифр после запятой, а также выходящих за пределы от 1 до 9,? Покажем, как это делается, на примере. Сначала нужно записать число в стандартном виде: Теперь применяем свойства логарифма: В итоге весь процесс вычисления логарифма выглядит так: В заключение стоит отметить, что используя таблицу десятичных логарифмов можно вычислить приближенное значение любого логарифма. Для этого достаточно с помощью формулы перехода перейти к десятичным логарифмам, найти их значения по таблице, и выполнить оставшиеся вычисления. Для примера вычислим log 2 3. По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Логарифмы, свойства логарифмов, их значения Вычисление логарифмов, примеры, решения. Вычисление логарифмов по определению. Использование свойств логарифмов при вычислении. Нахождение логарифмов через другие известные логарифмы. Таблицы логарифмов, их использование. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. Математика пособие для поступающих в техникумы.
За основание логарифмов часто принимают число Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак lg, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log 10 пишут просто: Десятичным лосарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чисел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. Целая часть десятичного логарифма числа а называется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма. Десятичный логарифм целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен — п , где п — число нулей в записи этого числа, считая и нуль целых. Характеристика десятичного логарифма положительного числа, большего 1 , равна количеству цифр в целой части этого числа без одной. Вообще, если целая часть положительного числа а , большего единицы, содержит п цифр, то. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна — п , где п — число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых. Но в таком случае. При умножении числа на 10 n десятичный логарифм его увеличивается на п. Перенос запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равносилен умножению этой дроби на 10 n. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на п. При делении числа на 10 n десятичный логарифм уменьшается на п. При переносе запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п. Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов. Мантисса десятинного логарифма положительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10 n с любым целым показателем п. Действительно, при любом целом п как положительном, так и отрицательном. Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равносилен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым показателем п положительным или отрицательным. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется. Найти характеристики десятичных логарифмов чисел:. Десятичные логарифмы и их свойства За основание логарифмов часто принимают число Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение. Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных логарифмов. Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утверждения. Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа. Найти десятичные логарифмы чисел: Найти характеристики десятичных логарифмов чисел: Найдите характеристики и мантиссы следующих логарифмов:
Вычисление логарифмов, примеры, решения.
Причина износа шлифовальных кругов
Импульсная характеристика линейной цепи
Мухтар возвращение серия где
Что относится к политическим проблемам
Маршрут троллейбуса 5 челябинск
Сколько камер имеет сердце рыбы