Analysis I - Zusatzaufgabe

ex-06

Voraussetzungen:
	Es sei f eine Funktion auf den positiven ganzen Zahlen mit Werten in den
	ganzen Zahlen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
		f(2) = 2
		f(m * n) = f(m) * f(n) für 1 ≤ m,n ∈ N
		f(m) > f(n) für m > n und m,n ∈ N

Behauptung:
	f(2011) = 2011

Beweis:
	Man bestimme f(1):
		f(2) = f(1 * 2) = f(1) * f(2) = f(1) * 2 = 2
		⇒ f(1) = 1

	Behauptung: f(n) = n für n ≥ 1 und n ∈ N
	Beweis durch vollständige/starke Induktion über n:

	IA:
		Sei n = 1
			⇒ f(1) = 1

	IV:
		Es gelte f(x) = x für alle x ≤ n ∈ N \ {0}:

	IS: Unter Voraussetzung von IV gilt es auch für n+1:
		Fall 1: Sei n ungerade:
			⇒ n+1 ist gerade
			Somit gilt: ∃ k ∈ N: n+1 = 2 * k und k ≤ n
			Nach IV ist f(k) = k. Somit gilt:
			f(n+1) = f(2 * k) = f(2) * f(k) = 2 * k = n+1
			⇒ f(n+1) = n+1

		Fall 2: Sei n gerade:
			⇒ n+1 ist ungerade
			⇒ n+2 ist gerade
			Somit gilt: ∃ k∈N: n+2 = 2 * k und k ≤ n+1
			Da n ≥ 1 folgt: n+1 ≠ 1 (wir schließen 1*2 aus)
			Daher gilt: k ≤ n < n+1

			Nach IV gilt: f(k) = k. Somit gilt:
			f(n+2) = f(2 * k) = f(2) * f(k) = 2 * k = n+2
			⇒ f(n+2) = n+2

			Nun kennen wir f(n+2) = n+2 und f(n) = n, somit gilt:
				f(n) < f(n+1) < f(n+2)
				⇒ n < f(n+1) < n+2
				⇒ f(n+1) = n+1

	Somit gilt:
		f(n) = n für alle n ∈ N und n ≥ 1

	⇒ f(2011) = 2011