= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Презентация на тему: "История возникновения алгебры"
История развития алгебры
Алгебра это:
Требуя внимания на знаковых, а не пространственных объектах, алгебра противопоставляется геометрии и дополняет её. Синтез алгебры и геометрии доставляет алгебраическая геометрия. Исторически алгебра зародилась при решении уравнений. Арифметика изучается с самых древних сохранившихся текстов, относимых к математике. Франсуа Виет в конце 16 века ввел буквенные обозначения для переменных. В веках под алгеброй понимается наука о вычислениях с использованием переменных, записанных с помощью букв, в частности решение алгебраических уравнений. В настоящее время в школьном образовании подобные буквенные вычисления называются элементарной алгеброй. Итальянскими математиками в 15 веке были найдены формулы для решения общего уравнения 3-й и 4-й степени, однако для более высоких степеней задача до 19 века не поддавалась решению. В году норвежский математик Нильс Абель доказал, что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы. В году французский математик Эварист Галуа в рамках созданной им теории Галуа вывел общий критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. С середины 19 века в центре алгебраических исследований оказывается изучение произвольных алгебраических операций. Так расширялось понятия числа, появилось понятие алгебра логики, были исследованы кватернионы. Алгебра как общая теория произвольных алгебраических операций стала восприниматься с начала 20 века с появлением работ Давида Гильберта. Это понимание было закреплено в вышедшей в году монографии Б. Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. При этом если между такими множествами можно установить изоморфизм взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции , то множества считаются одинаковыми, и поэтому природа множеств безразлична. Следовательно, объектом изучения алгебры являются сами алгебраические операции. Примером изучаемого в рамках алгебры множества с операцией является группа. Понятие группы появилось в теории Галуа в 19 веке, в которой группы сопоставлялись уравнениям, а условием разрешимости уравнения в радикалах оказалась разрешимость соответствующей группы. В дальнейшем были изучены такие обобщения групп, как полугруппы. В рамках алгебры изучаются такие алгебраические множества с двумя бинарными операциями как кольца и поля. В рамках линейной алгебры изучается линейное пространство с операцией сложения, а также с умножением на элементы основного поля скаляры. Внесение дополнительных структур, согласованных с алгебраическими операциями, привело к появлению новых разделов алгебры, пограничных с другими разделами математики. Как самостоятельную дисциплину можно рассматривать гомологическую алгебру. Главная страница Информация о сайте Каталог статей. Содержание [править ] История алгебры Арифметика изучается с самых древних сохранившихся текстов, относимых к математике. Задача о нахождении корней общего алгебраического уравнения n-й степени с помощью элементарных арифметических операций и операции извлечения корней становится центральной задачей алгебры. ВСЕ О НАУКЕ [0].
Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с древнейших времён до наших дней. В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:. Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя китайская задача теорема об остатках сформировала целый раздел теории чисел. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий , поверхностей и объёмов. Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите [5]. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа нумерация может быть [6]:. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке. Названия чисел от двух zwei, two, duo, deux, dvi, два… до десяти, а также десятков и числа в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками. Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. Урапун 1 ; Окоза 2 ; Окоза-Урапун 3 ; Окоза-Окоза 4 ; Окоза-Окоза-Урапун 5 ; Окоза-Окоза-Окоза 6. Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби , удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян [C 1]. Авторы текста нам неизвестны. Все задачи из папируса Ахмеса записан ок. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями , пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического , арифметические прогрессии , решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным [9]. Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника , треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как. Эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения. Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различных цилиндрических тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a , верхнего b и высотой h ; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:. О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур. Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней более тыс. Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской , а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции , средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов ; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора , известная ещё в эпоху Хаммурапи. Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц. Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрели итерационный процесс: В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте , плюс сегмент круга и усечённый конус. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников ; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте:. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа , используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань см. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть. Китайцам было известно многое, в том числе: Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил, часто неточных или даже ошибочных. Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия. Во-вторых, для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин аксиомы , постулаты. Затем с помощью логических рассуждений правила которых также постепенно унифицировались из этих истин выводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Так появилась дедуктивная математика. Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях: Всюду были отмечены впечатляющие успехи: Попытка пифагорейцев положить в основу мировой гармонии целые числа и их отношения была поставлена под сомнение после того, как были обнаружены иррациональные числа. На этом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики Евклид , Архимед , Аполлоний Пергский и другие. Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. Индийская нумерация способ записи чисел изначально была изысканной. Около года н. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков , или шестидесятеричных , как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. К V—VI векам относятся труды Ариабхаты , выдающегося индийского математика и астронома. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта , хотя несколько громоздка засорена словами. Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков. Математика Востока, в отличие от греческой , всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля , строительство , география , астрономия и астрология , механика , оптика. Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии в основном для астрономических приложений. Насир ад-Дин ат-Туси XIII век и Ал-Каши XV век опубликовали выдающиеся работы в этих областях. В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучается по древнему учебнику Никомаха Геразского в сокращённом переводе Боэция на латинский. Популярный сборник занимательных математических задач издал англосаксонский поэт и учёный Алкуин VIII век. Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века. Появляются первые университеты Салерно , Болонья. Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходило в Испании. В XII веке там переводятся с греческого и арабского на латинский основные труды великих греков и их исламских учеников. С XIV века главным местом научного обмена становится Византия. Единственным относительно крупным математиком за всю послеантичную историю Византии был Максим Плануд , комментатор Диофанта и популяризатор десятичной системы. В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан Парижский университет , где обучались тысячи студентов со всех концов Европы; почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж в Британии. Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи сначала переводы ал-Хорезми , потом собственные руководства , и начинается её применение. С XIV века индо-арабские цифры начинают вытеснять римские даже на могильных плитах. Только в астрономии ещё долго применялась шестидесятеричная вавилонская арифметика. Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком по арабским переводам с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение по полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияние на распространение математических знаний, популярность индийских цифр и десятичной системы в Европе. В это же время Роберт Гроссетест и Роджер Бэкон призывают к созданию экспериментальной науки, которая на математическом языке сможет описать природные явления [13]. В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах Прага , Краков , Вена , Гейдельберг , Лейпциг , Базель и др. Философы из Оксфордского Мертон-Колледжа, жившие в XIV веке и входившие в группу так называемых оксфордских калькуляторов , развивали логико-математическое учение об усилении и ослаблении качеств. Другой вариант этого же учения развивал в Сорбонне Николай Орем. Он ввёл изображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость рядов. Он напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый тригонометрии. По сравнению с арабскими источниками нового немного, но надо особо отметить систематичность и полноту изложения. Лука Пачоли , крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи , дал ясный хотя не слишком удобный набросок алгебраической символики. XVI век стал переломным для европейской математики. Полностью усвоив достижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырвалась далеко вперёд. Первым крупным достижением стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степени. Итальянские математики дель Ферро , Тарталья и Феррари решили проблему, с которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира [15]. Так в математику впервые вошли комплексные числа. Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. Символика Виета ещё не была похожа на принятую ныне, современный её вариант позднее предложил Декарт [17]. Сложные расчёты упростились во много раз, а математика получила новую неклассическую функцию с широкой областью применения. Стевин также провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел , а также с некоторыми оговорками и отрицательных чисел [19]. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чурались таких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Появляются первые Академии наук. В XVI—XVII веках роль университетской науки падает, появляется множество учёных-непрофессионалов: В XVII веке быстрое развитие математики продолжается, и к концу века облик науки коренным образом меняется. Более того, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык с помощью системы координат , после чего исследование становится намного эффективнее. Так родилась аналитическая геометрия. Декарт рассмотрел множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Особо следует отметить разработанную им математическую символику , близкую к современной. Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение Валлис , Ферма и многие другие видные математики [22]. Якоб Бернулли формулирует первую версию закона больших чисел [23]. Первой реализацией этой идеи был во многом несовершенный метод неделимых Кеплер [24] , Кавальери [25] , Ферма [26] , и уже с его помощью было сделано множество новых открытий. Это математическое направление стало основным в следующем, XVIII веке. Теория отрицательных чисел всё ещё находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1: Комплексные числа считались фиктивными, правила действий с ними не были окончательно отработаны. Только в XVIII веке Даламбер и Эйлер установили, что комплексные числа замкнуты относительно всех операций, включая извлечение корня любой степени. Во второй половине XVII века появляется научная периодика, ещё не специализированная по видам наук. Начало положили Лондон и Париж , но особо важную роль сыграл журнал Acta Eruditorum , Лейпциг , на латинском языке. Французская Академия наук издаёт свои записки Memoires с года. Выходили эти журналы редко, и переписка продолжала оставаться незаменимым средством распространения информации. XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век анализа , который стал главным объектом приложения усилий математиков. Способствуя бурному развитию естественных наук, анализ, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась математическая физика. Критика метода бесконечно малых за плохую обоснованность быстро смолкла под давлением триумфальных успехов нового подхода. Развитие анализа и механики происходили в тесном переплетении; первым это объединение осуществил Эйлер , который убрал из ньютоновской механики архаичные конструкции и подвёл под динамику аналитический фундамент С этого момента механика стала прикладным разделом анализа. Одновременно анализ алгебраизировался и окончательно начиная с Эйлера отделился от геометрии и механики. Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. Прогрессу в этой области немало способствовал спор о струне , в котором участвовали ведущие математики Европы. Теория тяготения Ньютона поначалу встречала трудности в описании движения Луны , однако работы Клеро , Эйлера и Лапласа [31] ясно показали, что никаких дополнительных сил, кроме ньютоновских, в небесной механике нет. Анализ распространяется на комплексную область. Аналитическое продолжение большинства функций проблем не вызвало, и были обнаружены неожиданные связи между стандартными функциями формула Эйлера [32]. Затруднения встретились для комплексного логарифма , но Эйлер их успешно преодолел. Были введены конформные отображения , высказана гипотеза о единственности аналитического продолжения. Далеко продвинулись теория и техника интегрирования. Входят в широкое употребление кратные интегралы Эйлер, Лагранж , причём не только в декартовых координатах. Появляются и поверхностные интегралы Лагранж, Гаусс. Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляют исключительную изобретательность при решении дифференциальных уравнений в частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения. Сформировалось понятие краевой задачи , возникли первые методы её решения. В конце XVIII века было положено начало общей теории потенциала Лагранж, Лаплас, Лежандр. Для тяготения потенциал ввёл Лагранж , термин предложил Грин в году. Вскоре Лаплас обнаружил связь потенциала с уравнением Лапласа и ввёл важный класс ортогональных сферических функций. Возникают многообещающее вариационное исчисление и вариационные принципы физики Эйлер, Лагранж. Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия [33]. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций , разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы. В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа, хотя полная теория их ещё не создана. Доказана ещё не вполне строго основная теорема алгебры. Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теорию сравнений вычетов , завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятие первообразного корня , доказал его существование для любого простого числа и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный закон взаимности. Он и Лагранж опубликовали общую теорию цепных дробей , и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы. Стремительно развивается линейная алгебра. Первое подробное описание общего решения линейных систем дал в году Габриэль Крамер. Близкую к современной символику и глубокий анализ определителей дал Александр Теофил Вандермонд — Лаплас в году дал разложение определителя по минорам. В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теорией Галуа и абстрактными структурами. В геометрии появляются новые разделы: Теория вероятностей перестаёт быть экзотикой и доказывает свою полезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. Де Муавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение. Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа [34]. Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали не считая теории ошибок. Центрами математических исследований становятся Академии наук, по большей части государственные. Значение университетов невелико исключая страны, где академий ещё нет , физико-математические факультеты всё ещё отсутствуют. Ведущую роль играет Парижская академия. В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Расширяется издание научно-популярной литературы. Неоспоримая эффективность применения математики в естествознании подталкивала учёных к мысли, что математика, так сказать, встроена в мироздание, является его идеальной основой. Другими словами, познание в математике есть часть познания реального мира. Многие учёные XVII—XVIII веков в этом и не сомневались. Но в XIX веке эволюционное развитие математики было нарушено, и этот, казавшийся непоколебимым, тезис был поставлен под сомнение. В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметно растут. Соответственно растёт и её государственная поддержка. Математика вновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляются первые математические общества: Лондонское , Американское , Французское , Московское , а также общества в Палермо и Эдинбурге. Если XVIII век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал веком геометрии [35]. Быстро развиваются созданные в конце XVIII века начертательная геометрия Монж [36] , Ламберт и возрождённая проективная геометрия Монж, Понселе , Лазар Карно. Исследования продолжила парижская школа. В году Френе и Серре опубликовали известные формулы Френе для дифференциальных атрибутов кривой [38]. Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля. Первоначально векторы ввёл У. Гамильтон в связи со своими кватернионами как их трёхмерную мнимую часть. У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Несколько позднее Понселе ясно определил проективную геометрию как науку о проективных свойствах фигур и дал систематическое изложение её содержания У Понселе уже полностью легализованы бесконечно удалённые точки даже мнимые. Он сформулировал принцип двойственности прямых и точек на плоскости. С конца х годов формируется школа проективных геометров в Германии Мёбиус , Плюккер , Гессе , Штейнер и другие. В Англии ряд работ опубликовал Кэли. При этом стали использоваться и аналитические методы, особенно после открытия Мёбиусом однородных проективных координат , включающих и бесконечно удалённую точку. Во Франции работы Понселе продолжил Мишель Шаль. Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы. Далее Риман обобщил теорию поверхностей Гаусса на многомерный случай; при этом появляются знаменитый риманов тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи. В конце века Г. Риччи завершает классический тензорный анализ. Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрия Лобачевского. Тот факт, что даже у классической геометрии существует альтернатива, произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Он также стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов в математике и физике. Каждый раздел геометрии изучает инварианты соответствующей группы преобразований. Тем самым был намечен новый этап алгебраизации геометрии, второй после Декарта. В — годах Камилл Жордан опубликовал ряд работ по аналитической геометрии n-мерного пространства кривых и поверхностей , а в конце века он предложил общую теорию меры. В самом конце века рождается топология , сначала под названием analysis situs. Топологические методы фактически в ряде работ использовали Эйлер, Гаусс, Риман, Жордан и др. Окончательно комбинаторная топология оформилась в работах Пуанкаре — Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа Коши , затем Вейерштрасс. Благодаря Коши [40] мистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики хотя в физике оно используется до сих пор. Были поставлены вне науки и сомнительные действия с расходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексного переменного, над которой работали Лаплас , Коши, Абель , Лиувилль , Якоби , Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальных функций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теорию абелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитического инструментария и созданию в XX веке более общих теорий. Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений , выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения математической физики , доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений Пуанкаре. Банахово пространство , Гильбертово пространство. Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись. Намеченные у Эйлера аналитические методы помогли решить немало трудных проблем теории чисел Гаусс [41] , Дирихле и другие. Гаусс дал первое безупречное доказательство основной теоремы алгебры. Жозеф Лиувилль доказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел , подробнее в , дал достаточный признак трансцендентности и построил примеры таких чисел в виде суммы ряда. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов. Возникла геометрическая теория чисел Минковский [42]. Эварист Галуа , опередивший своё время, представляет глубокий анализ решения уравнений произвольных степеней [43]. Ключевыми понятиями исследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнением группы подстановок и полей расширения. Галуа завершил работы Абеля , доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах. По мере усвоения идей Галуа, со второй половины века, быстро развивается общая алгебра. Жозеф Лиувилль публикует и комментирует работы Галуа. В е годы Кэли вводит понятие абстрактной группы. Формируется понятие линейного пространства Грассман и Кэли, — В году Кэли публикует общую теорию матриц , определяет операции над ними, вводит понятие характеристического многочлена. К году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры , включая приведение к жордановой нормальной форме. В году Дедекинд вводит понятия кольца , модуля и идеала. Он и Кронекер создают общую теорию делимости. В конце XIX века в математику входят группы Ли. На первое место выходят теория ошибок, статистика и физические приложения. Этим занимались Гаусс , Пуассон , Коши. Была выявлена важность нормального распределения как предельного во многих реальных ситуациях. Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров. Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не были созданы, и Гильберт в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладной физике [44]. Но повторилась она на новой основе: Пионерами стали британские математики Август Огастес де Морган и Джордж Буль. Позже он ввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями. Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. В своих работах — годов он заложил основы современной математической логики и описал алгебру логики булеву алгебру. Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты разложения логической формулы. В году Эрнест Шрёдер сформулировал логический принцип двойственности. Далее Готлоб Фреге построил исчисление высказываний. Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений и пропозициональных функций , а также ввёл кванторы. Современный вариант символики предложил Пеано. После этого всё было готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств. К началу XIX века относительно строгое логическое дедуктивное обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда справедливо считалась недостаточной. Построение фундамента математики началось с анализа. Всё же он сделал ряд ошибок, например, почленно интегрировал и дифференцировал ряды, не доказывая допустимость таких операций. Завершил фундамент анализа Вейерштрасс , который выяснил роль важного понятия равномерной непрерывности. Одновременно Вейерштрасс е годы и Дедекинд е дали обоснование теории вещественных чисел. Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как пар вещественных. В е годы были легализованы неевклидовы геометрии. Их модели на базе евклидового пространства доказали, что они так же непротиворечивы, как и геометрия Евклида. Фреге публикует систему аксиом математической логики. Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральных чисел. Годом позже законченную систему аксиом предложил Пеано. В итоге к концу века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики. Непротиворечивость основных разделов математики кроме арифметики была строго доказана точнее говоря, сведена к непротиворечивости арифметики. Аксиоматический фундамент для теории вероятностей и теории множеств появился позже, в XX веке. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: Иерархию мощностей Кантор рассматривал как продолжение иерархии порядка целых чисел трансфинитные числа. На первых порах теория множеств встретила у многих математиков доброжелательный приём. Она помогла обобщить жордановскую теорию меры , успешно использовалась в теории интеграла Лебега и многими рассматривалась как основа будущей аксиоматики всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечности, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия антиномии. Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно, и это обстоятельство ряд математиков посчитал совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции парадокс Банаха — Тарского и др. В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободный от обнаруженных ранее противоречий теория классов , так что большинство математиков приняли теорию множеств. Однако былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики [47]. В году императорским указом была учреждена в Сухаревой башне математически-навигацкая школа , где преподавал Л. По поручению Петра I он написал на церковно-славянском известный учебник арифметики , а позже издавал навигационные и логарифмические таблицы. Учебник Магницкого для того времени был исключительно добротным и содержательным. Автор тщательно отобрал всё лучшее, что было в существовавших тогда учебниках, и изложил материал ясно, с многочисленными примерами и пояснениями. Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформы М. В начале XIX века было создано Министерство народного просвещения , возникли учебные округа, и гимназии стали открываться во всех крупных городах России. В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня. Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский. Как и большинство российских математиков до него, он разрабатывал преимущественно прикладные задачи анализа. В его работах исследуется распространение тепла, волновое уравнение , теория упругости , электромагнетизм. Занимался также теорией чисел. Академик пяти мировых академий. Фундаментальными вопросами математики в России первой половины XIX века занялся только Николай Иванович Лобачевский , который выступил против догмата евклидовости пространства. Он построил геометрию Лобачевского и глубоко исследовал её необычные свойства. Лобачевский настолько опередил своё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет после смерти. Несколько важных открытий общего характера сделала Софья Ковалевская. Во второй половине XIX века российская математика, при общем прикладном уклоне, публикует и немало фундаментальных результатов. Престиж профессии математика стал в XX столетии заметно выше. Математика развивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полно перечислить сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзные достижения упомянуты ниже. В году Давид Гильберт на Международном конгрессе математиков представил список из 23 нерешённых математических проблем. Эти проблемы охватили множество областей математики и сформировали центр приложения усилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены, семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыре сформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об их решении. Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кроме компьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теории управления , квантовой физики и других прикладных дисциплин. Среди наиболее выдающихся математиков XX века можно назвать помимо отдельно упомянутых в данном разделе такие имена:. В году Курт Гёдель опубликовал две свои теоремы о неполноте , которые установили ограниченность математической логики. Это положило конец замыслу Давида Гильберта создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Несколько ранее в исследованиях Лёвенгейма и Скулема — годов теорема Лёвенгейма — Скулема обнаружен ещё один обескураживающий факт: Другими словами, как бы тщательно ни формулировалась система аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода. Тем не менее формальная аксиоматика признана необходимой для того, чтобы прояснить фундаментальные принципы, на которые опираются разделы математики. Кроме того, аксиоматизация помогает выявлению неочевидных связей между разными частями математики и тем самым способствует их унификации [48]. Капитальные результаты получены в теории алгоритмов. Было доказано, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся точнее, нет разрешающей процедуры, Чёрч , В году Андрей Колмогоров завершил общепризнанную теперь аксиоматику теории вероятностей. В году Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема в обычной аксиоматике теории множеств. В начале века Эмми Нётер и Ван дер Варден завершили построение основ общей алгебры , структуры которой группы , поля , кольца , линейные пространства и др. Вскоре теория групп с большим успехом проникла в физику и кристаллографию. Другим важным открытием начала века стало создание и развитие плодотворной теории p-адических чисел. В х годах Рамануджан сформулировал более чем теорем, включая свойства функции разбиения числа и её асимптотических оценок. Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции , модулярных форм , расходящихся рядов , гипергеометрических рядов и теории простых чисел. Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в году , закрыв многовековую проблему. В начале XX века Лебег и Борель обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен интеграл Лебега. В школе Гильберта появился функциональный анализ , вскоре нашедший непосредственное применение в квантовой физике. Интенсивно развивается теория многомерных многообразий , стимулируемая потребностями физики ОТО , теория струн и др. Общая топология стремительно развивается и находит применение в самых различных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы , открытые Бенуа Мандельбротом Герман Минковский в году разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности , позднее послужившую основой для Общей теории относительности ОТО. Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошла существенная переориентация математических усилий. Ряд старых проблем получили решение при использовании компьютерных доказательств [49]. Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютера решили проблему четырёх красок Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Математика в Древнем Египте. Математика в древнем Китае. Математика в Древней Греции. История математики в Индии. История математики в России. In primum Euclidis Elementorum commentarii. Утрата определённости, , с. Числа в графике палеолита. Рассказы о физиках и математиках. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. Академии наук СССР, С приложением избранных работ П. Введение в изучение плоских и пространственных мест. О максимуме и минимуме. Новые начала геометрии фр. Nouveaux elements de geometrie , Париж, Введение в анализ бесконечных. Математика древняя и юная. Газе, под редакцией Д. Очерк истории дифференциальной геометрии. Изд-во АН СССР, Введение в геометрию чисел М.: Полвека математики, , с. Весь исторический период Бурбаки Н. История математики в школе. С древнейших времён до начала Нового времени Том II. Математика XVII столетия Том III. Избранные главы истории математики. Очерки по истории математики. История математики в двух томах. Том I Том II Стиллвелл Д. Математика и её история. Институт компьютерных исследований, Краткий очерк истории математики. Древняя история Березкина Э. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Арифметика и алгебра в древнем мире. Лекции по истории античных математических наук. Материалы по истории математики в Китае и Индии. История математики в древности и в средние века. Новое время, XVI—XVIII века Белл Э. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Очерки по истории теории аналитических функций. Математическая мысль допетровской Руси. История математики в XVI и XVII веках. XIX—XX века Вейль Г. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Теория вероятностей Том 2. Теория аналитических функций Том 3. Чебышёвское направление в теории функций. Математика в СССР за сорок лет, — Обзорные статьи Том 2. Биобиблиография Математические события XX века. Развитие теории множеств в XIX веке. Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Википедия: Хорошие статьи по математике Википедия: Хорошие статьи по истории Википедия: Хорошие статьи по алфавиту. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 3 июля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Омега 3 800 мг инструкция
Проективная методика автопортрет
Узоры крючком для мужского шарфа
Расчет бизнес плана мобильного приложения
Лицей юрга списки поступивших