2017-09-20-nao-existe-meia-entrada.md

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pt-br	Não existe meia-entrada	2017-09-20

Ilustrando como se fosse uma resolução de questão de prova, queremos mostrar que a "meia-entrada" não existe, que se trata apenas de um preço virtual.

Questão

Uma organização, considerando seu orçamento e lucro possível estimado para a realização de um evento, calculou que o preço real do ingresso deve ser de R$ 57,00.

A organização estimou também que, do público interessado nesse evento, cerca de 40% são estudantes.

Devido a lei da "meia-entrada", a organização precisa calcular um novo preço para o ingresso tal que os estudantes paguem metade desse preço e os não-estudantes paguem o preço inteiro, porém de modo que o orçamento e o lucro possível estimado da organização não sejam prejudicados.

Qual o novo preço para o ingresso inteiro?

Resolução

Sejam,

• $P$: proporção de todos os interessados no evento (100%)
• $I$: preço real do ingresso (R$ 57,00)

e,

• $P_E$: proporção de estudantes interessados no evento (40%)
• $I_E$: preço do ingresso para estudantes
• $P_N$: proporção de não-estudantes interessados no evento (60%)
• $I_N$: preço do ingresso para não-estudantes (o novo preço do ingresso inteiro)

Então,

$$ P \cdot I = P_E \cdot I_E + P_N \cdot I_N $$

Mas,

$$ I_E = \frac{I_N}{2} $$

Logo,

$$ P \cdot I = P_E \cdot \frac{I_N}{2} + P_N \cdot I_N $$

Substituindo os valores e insolando $I_N$, tem-se:

$$ \begin{align*} 1 \cdot 57 &= 0,4 \cdot \frac{I_N}{2} + 0,6 \cdot I_N \\ &= 0,2 \cdot I_N + 0,6 \cdot I_N \\ &= I_N (0,2 + 0,6) \\ &= I_N \cdot 0,8 \end{align*} $$

$$ \implies I_N = \frac{1 \cdot 57}{0,8} = 71,25 $$

Portanto, o novo preço para o ingresso inteiro tem que ser de R$ 71,25.

Desse modo, o estudantes pagarão "meia-entrada" ao preço de R$ 71,25 / 2 ~= R$ 35,63 e os não-estudantes pagarão "entrada inteira" ao preço de R$ 71,25, mantendo assim a proporção necessária para que o preço real do ingresso continue em R$ 57,00 e não prejudique a organização do evento.

Ou seja, não existe "meia-entrada"; "meia-entrada" é um preço virtual.

PS: mais genericamente, para um preço real de ingresso $x$ e um público com proporção de estudantes $y$ em $[0, 1]$, o novo preço do ingresso inteiro $z$ é:

$$ z = f(x, y) = \frac{x}{1 - 0,5y} $$