C a는 317(원서), 472(번역서)에 있는 도메인 집합 타입입니다.
표시적 의미론은 기본 연산을 받아서 의미집합을 반환하는 함수입니다.
의미 집합은 언어에 따라 달라질 수 밖에 없죠.
FRP에서는 셀과 스트림 두 가지 요소밖에 없으니 그 두가지에 대해서만 의미 집합을 정의하면 됩니다.
즉, 셀과 스트림이 표현하는 것이 도대체 무엇이고 그걸 수학적으로 정의하려면 어떻게 정의해야 할까를 고민해서 집합을 정의한 것이 C a와 S a입니다. (여기서 C a는 하스켈의 제네릭 타입 표기법이고, 자바식으로 하면 C<a>라고 생각하시면 됩니다. S a도 마찬가지고요)
Stream a는 간헐적으로 a 타입의 이벤트를 발사합니다. 이를 수학적으로 표현한다면 시간과 발사한 이벤트의 값을 묶은 리스트가 되겠죠. 예를 들어, [(T0, 1), (T1, 2)] 같은 리스트는 T1 시점에 1을, T2 시점에 2를 발사한 Stream int 타입의 스트림이겠죠. 이런 리스트의 타입을 정의하려니 다음과 같은 정의가 나오는 겁니다.
type S a = [(T, a)]
여기서 [(T,a)]는 (시간, a 타입의 값) 튜플로 이뤄진 리스트를 하스켈식으로 표기한 것입니다.
마찬가지로, 셀은 초기값이 있고, 발사는 안하지만 내부적으로 시간에 따라 값이 변하니까 변화되는 값을 시간하고 짝지어 리스트로 표현하면 되겠죠. Cell int의 의미를 그런 리스트로 표기한다면 타입이 (int, [(T, int)])가 될겁니다. 일반적인 타입 a에 대한 제네릭 타입으로 타입을 지정한다면 결국 다음과 같이 되는거죠.
type C a = (a, [(T,a)])
셀을 만들어내 구문의 의미와 스트림을 만들어내는 구문의 의미를 밝혀주는 함수가 각각 있습니다. 굳이 구문을 강조하는 이유는 의미함수는 어떤 프로그램 조각을 받아서 그 조각의 뜻을 밝히는 함수이기 때문입니다.
occs :: Stream a -> S a : 스트림을 만들어내는 구문을 S a 의미집합에 속한 의미 중 하나로 매핑해 줍니다.
steps :: Cell a -> C a : 셀을 만들어내는 구문을 C a 의미집합에 속한 의미 중 하나로 매핑해 줍니다.
예를 들어, 가장 쉬운 Never를 보면,
Never :: Stream a
Never의 타입은 Stream a
occs Never = []
Naver의 의미는 [](시간이 지나도 아무것도 발사하지 않음)
그 다음으로 MapS를 보면,
MapS :: (a → b) → Stream a → Stream b
MapS는 a 타입을 b로 매핑해주는 함수를 받고, Stream a를 받아서 Stream b를 반환해주는 함수
occs (MapS f s) = map (\(t, a) → (t, f a)) (occs s)
Maps f s라는 FRP 식은 occs s의 결과(이걸 말로 하면 s 스트림의 의미 = s 스트림이 fire 하는 이벤트들)에 대해 t는 그대로 t로 (즉 같은 시간에 발사됨), a는 f a로(즉 s 스트림이 fire하는 모든 이벤트의 값에 f를 적용한 결과를 발사함) 한다는 뜻이 됩니다.
Constant :: a → Cell a
Constant는 a 타입의 값을 받아서 Cell a를 만들어내는 기본 연산입니다.
steps (Constant a) = (a, [])
Constant a라는 식은 초기값이 a이고 그 값의 변화가 없는(그래서 리스트가 []입니다) 것으로 해석됩니다.
위 스트림 섹션의 Naver는 Never의 오타인 듯 합니다.