Числовые характеристики случайных векторов
Лекция 10 Числовые характеристики случайного вектора.
Числовые характеристики случайного вектора
Ранее мы ввели понятие случайной величины, как вероятностного эксперимента, исходами которого являются числа. По аналогии случайный вектор — это вероятностный эксперимент, исходами которого являются совокупность чисел — числовой вектор. Случайные вектора будем обозначать жирными греческими буквами , а составляющие этот вектор случайные величины греческими буквами с индексом: Все события, связанные со случайным вектором — это подмножества n-мерного пространства. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Также как и случайная величина, случайный вектор полностью определяется свой функцией распределения. Функцией распределения случайного вектора называется функция n переменных, удовлетворяющая условию: Функция распределения непрерывна слева по каждому аргументу и имеет пределы справа по каждому аргументу. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу. Первое, второе и третье свойства вытекают непосредственно из определения. Четвертое и пятое свойства доказываются точно так же, как для функции распределения случайной величины. Также как и случайные величины, случайные вектора подразделяются на дискретные, непрерывные и смешанные. Функция распределения n случайных величин n -мерного случайного вектора называется также n -мерной функцией распределения. Функция распределения какой-либо компоненты случайного вектора называется одномерной функцией распределения. Плотность распределения случайного вектора и ее свойства. Если функция распределения непрерывна и существует вторая смешанная производная, то говорят, что случайный вектор непрерывен и может быть задан своей плотностью распределения:. Вероятность попадания случайного вектора в любое борелевское множество в пространстве вычисляется через плотность распределения:. Введя операцию обобщенного дифференцирования по каждой переменной можно распространить понятие плотности распределения на любые в том числе дискретные и смешанные случайные величины. Условная плотность распределения случайного вектора. Ранее мы ввели понятие условной вероятности одного события при условии, что другое событие произошло:. Пусть — случайный вектор с плотностью распределения ; и — некоторые события. В соответствии с 4 , получим:. Заметим, что вероятности, стоящие справа от знака равенства можно записать через интеграл от плотности вероятности случайного вектора:. Величина слева от знака равенства — это условная вероятность попадания случайной величины в полуинтервал, включающий точку x 1 , при условии, что случайная величина попала в полуинтервал, включающий точку y 1. Разделим обе части равенства на и устремим и к нулю. Слева получим условную плотность вероятности случайной величины , при условии, что случайная величина приняла значение y Из соотношения 5 вытекает формула для вычисления совместной плотности вероятности двух случайных величин через условную плотность вероятности:. Формула Байеса для плотностей:. Здесь — называется априорной плотностью вероятности случайной величины , а — апостериорной плотностью вероятности случайной величины. Распространяя выражение 6 на случайные векторы большей размерности, получим:. Заметим, что условная плотность распределения — как функция x 1 удовлетворяет всем свойствам плотности распределения:. Ранее мы ввели понятие независимости событий. Введем аналогичное понятие для случайных величин. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если. Отсюда следует, что плотность распределения независимых случайных величин равна произведению плотностей соответствующих случайных величин:. А из 6 следует, что для независимых случайных величин условная плотность распределения равна безусловной:. Пусть - две случайных величины, совместная плотность распределения которых имеет вид: Найти значение постоянной с , плотности распределения случайных величин. Из условия нормировки, зная область определения плотности, получим: Отсюда, вычисляя интеграл, получим: Случайные величины и зависимы, так как. Найдите самостоятельно условную плотность распределения случайной величины: Пусть случайные величины и принимают только значения 1 или 2. Записать совместную плотность распределения случайных величин и и их одномерные плотности распределения. Зависимы ли случайные величины? Плотность распределения случайных величин и сосредоточена в точках 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2. Таким образом, совместная плотность распределения случайных величин и записывается через дельта функцию:. Одномерные плотности имеют вид: Таким образом, и случайные величины и — независимы. Числовые характеристики случайного вектора. Математическим ожиданием произвольной функции от случайного вектора называется: Как уже отмечалось, особое место в теории вероятностей занимают такие понятия, как математическое ожидание и дисперсия случайного вектора. Первый момент, как и для случайной величины, называется математическим ожиданием случайного вектора. В дальнейшем математическое ожидание случайного вектора будем обозначать. Помимо обычных моментов для случайного вектора вводится понятие смешанного момента:. В практике теории вероятностей наибольшее употребление нашел второй смешанный момент случайного вектора, который может быть представлен в виде квадратной матрицы с элементами: Эта матрица называется корреляционной матрицей случайного вектора , а ее элементы корреляцией случайных величин и. Случайный вектор — называется центрированным случайным вектором. Дисперсией случайного вектора называется его второй центральный момент: В практике теории вероятностей наибольшее употребление нашел второй смешанный центральный момент случайного вектора, который может быть представлен в виде квадратной матрицы с элементами:. Эта матрица называется ковариационной матрицей случайного вектора, а ее элементы ковариацией случайных величин и. Корреляционная и ковариационная матрицы случайного вектора. Выше были даны определения корреляционной и ковариационной матриц случайного вектора. Воспользовавшись приведенными выше понятиями вектора и матрицы можно дать следующее определение корреляционной и ковариационной матриц:. Из этих соотношений нетрудно найти связь ковариационной и корреляционной матриц:. Треугольник со сторонами 5, и 7 см: Радиус описанной около АВ Магистерская программа Место и время встречи Английский язык: Встречи магистрантов 1 года обучения с руководителями магистерских программ состоятся по указанному ниже графику. Для студентов, которые записались на Кредитная организация, у которой отозвана лицензия на осуществление банковских операций, должна быть ликвидирована на основании решения арбитражного с Сохрани ссылку в одной из сетей: Информация о документе Дата добавления: Доступные форматы для скачивания: Случайные векторы Ранее мы ввели понятие случайной величины, как вероятностного эксперимента, исходами которого являются числа. Функция распределения случайного вектора и ее свойства Также как и случайная величина, случайный вектор полностью определяется свой функцией распределения. Плотность распределения случайного вектора и ее свойства Если функция распределения непрерывна и существует вторая смешанная производная, то говорят, что случайный вектор непрерывен и может быть задан своей плотностью распределения: Вероятность попадания случайного вектора в любое борелевское множество в пространстве вычисляется через плотность распределения: Ранее мы ввели понятие условной вероятности одного события при условии, что другое событие произошло: В соответствии с 4 , получим: Заметим, что вероятности, стоящие справа от знака равенства можно записать через интеграл от плотности вероятности случайного вектора: Слева получим условную плотность вероятности случайной величины , при условии, что случайная величина приняла значение y 1: Распространяя выражение 6 на случайные векторы большей размерности, получим: Заметим, что условная плотность распределения — как функция x 1 удовлетворяет всем свойствам плотности распределения: Отсюда следует, что плотность распределения независимых случайных величин равна произведению плотностей соответствующих случайных величин: А из 6 следует, что для независимых случайных величин условная плотность распределения равна безусловной: Примеры случайных векторов Пример 1 Пусть - две случайных величины, совместная плотность распределения которых имеет вид: Решение Из условия нормировки, зная область определения плотности, получим: Пример 2 Пусть случайные величины и принимают только значения 1 или 2. Решение Плотность распределения случайных величин и сосредоточена в точках 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2. Таким образом, совместная плотность распределения случайных величин и записывается через дельта функцию: Числовые характеристики случайного вектора Определение. Помимо обычных моментов для случайного вектора вводится понятие смешанного момента: В практике теории вероятностей наибольшее употребление нашел второй смешанный центральный момент случайного вектора, который может быть представлен в виде квадратной матрицы с элементами: Эта матрица называется ковариационной матрицей случайного вектора, а ее элементы ковариацией случайных величин и Корреляционная и ковариационная матрицы случайного вектора. Коэффициент корреляции Выше были даны определения корреляционной и ковариационной матриц случайного вектора. Воспользовавшись приведенными выше понятиями вектора и матрицы можно дать следующее определение корреляционной и ковариационной матриц: Из этих соотношений нетрудно найти связь ковариационной и корреляционной матриц: Программа курса состоит из следующих разделов Программа курса Изд-во ЮУрГУ , Учебное пособие для ВУЗов. Болонского процесса в на Берлинской Асланова Юридический центр Пресс
Моментом порядка k,s случайного вектора X,Y называют математическое ожидание произведения X k на Y s:. Центральным моментом порядка k,s случайного вектора X,Y называют математическое ожидание произведения k-ой и s-ой степени центрированных величин:. На практике обычно применяют моменты первого и второго порядков. Первые моменты представляют собой математические ожидания величин X и Y:. Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения случайного вектора X,Y. Они характеризуют рассеивание разброс случайной точки X,Y вокруг центра рассеивания. Особую роль для характеристики случайного вектора играет второй смешанный центральный момент, называемый ковариацией. Ковариация случайных величин X и Y — это математическое ожидание произведения центрированных величин. Доказательство следует из свойств математического ожидания: Таким образом, если , то случайные величины X и Y зависимы. В этом случае их называют коррелированными. Однако из того, что , не следует независимость X и Y. В этом случае случайные величины называют некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно. Другими словами, некоррелированность является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин X и Y. В качестве примера рассмотрим случайный вектор X,Y , равномерно распределенный в круге с радиусом 1 и с центром в начале координат и имеющий следующую плотность распределения вероятностей:. Так как , то случайные величины X и Y зависимы. Вычислим ковариацию этих величин. Сначала найдем математические ожидания: Ковариация характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеивание вокруг точки. Так, если величина Х очень мало отклоняется от своего математического ожидания, то ковариация будет мала, несмотря на наличие зависимости между X и Y. В качестве числовой характеристики зависимости а не рассеивания случайных величин X и Y используют безразмерную характеристику — коэффициент корреляции. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют их нормированную ковариацию:. При доказательстве этой теоремы используются свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин:. Ответ на него даёт следующее свойство коэффициента корреляции: Положительная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека связаны положительной корреляцией. Отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на регулировку прибора, и количество неисправностей, обнаруженных при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией. В качестве характеристики зависимости системы n случайных величин n-мерного случайного вектора используют ковариационную матрицу. Ковариационная матрица случайного вектора X 1 , X 2 , … , X n — это матрица, состоящая из элементов. Очевидно, что , то есть ковариационная матрица симметрична. По главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин X 1 , X 2 , …X n. При этом, если случайные величины X 1 , X 2 , …X n некоррелированы, то ковариационная матрица имеет диагональный вид:. Архитектура Биология География Искусство История Информатика Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Политика Правоотношение Разное Социология Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника. Числовые характеристики зависимости ковариация, корреляция 1 2 3 4 5.
Влагалища сколько сантиметровдо матки фото
Какое значение имеет место действия
Люля кебаб чье блюдо
Промышленный способ получения анилина
Тест по теме возрождение мхк 10 класс