Методика введения понятий и теорем в курсе геометрии
Теория и методика обучения школьников векторному методу (стереометрия)
Шпоры по Методике обучения математики - файл n1.doc
Добавить в избранное О проекте. Теория и методика обучения школьников векторному методу стереометрия Вид работы:. Теория и методика обучения школьников векторному методу стереометрия. Все дипломные по математике. Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Нижегородский Государственный Педагогический Университет Факультет математики, информатики, физики Кафедра теории и методики обучения математике ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Теория и методика обучения школьников векторному методу стереометрия Выполнила: Иванова Нижний Новгород, г. Содержание Введение Глава 1. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии. В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: Векторный метод является одним из основных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии. Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, так как на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод -одним из основных способов решения задач и доказательства теорем. В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач. Не смотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач. Сказанное позволяет выделить существующее противоречие между необходимостью обучения учащихся векторному методу решения геометрических задач и недостаточному уделению внимания этому на практике. Между тем, при изучении стереометрии круг задач, решаемых с помощью векторов, значительно расширяется. Цель исследования - выявить теоретико-методические условия изучения векторного метода решения геометрических задач и разработать научно обоснованные методические рекомендации по обучению учащихся этому методу. Объект исследования - процесс обучения геометрии в старших классах общеобразовательной школы; Предмет исследования - методическая система обучения учащихся векторному методу решения задач. Если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящих в состав векторного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи: Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий успешного овладения школьниками векторного метода решения геометрических задач;. Выявить теоретико-методическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации изучения векторного метода решения задач в школьном курсе геометрии; 4. Разработать методические рекомендации для успешного овладения учащимися векторного метода; 5. Провести опытную проверку разработанных методических рекомендаций. Для решения поставленных задач использовались следующие методы: Методологической основой исследования послужили: Положения, выносимые на защиту: Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. В настоящее время существует несколько подходов к определению этого понятия. Векторный метод является эффективным методом решения геометрических задач и доказательства теорем;. Для успешного овладения школьниками векторным методом решения содержательных геометрических задач необходимо обучать их умениям и действиям, входящих в его состав;. Сущность векторного метода состоит в том, что условие и требование задачи записывается в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры. Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась автором в личном опыте работы с учащимися 10 класса МОУ Хвощевской средней школы Богородского района Нижегородской области в период педагогической практики, в выступлении перед студентами V курса на семинарских занятиях. Структура дипломной работы определена ее логикой и решением задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии Эта глава посвящена изложению теоретического материала, касающегося изучению векторного метода в школе. Прежде чем начать изучение какой-либо темы, необходимо обратиться к истории ее возникновения. Именно поэтому главу 1 мы начнем с исторической справки о возникновении векторного метода. Далее проведем анализ различных подходов к определению понятия вектора в математике, в школьном курсе математики. Для того чтобы выявить методическую концепцию по изучению школьниками векторного метода решения задач, проанализируем психолого-педагогическую литературу по проблеме обучения школьников решению задач, и учебно-методическую литературу по обучению собственно векторному методу. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком пришлом. Вследствие этого математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса гг. В последствии в вв. Однако, геометрическое исчисление сыграло значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу. В конце начале 17 в. Формулируя свои законы движения планет, Кеплер по существу рассматривает направленный отрезок, началом которого является Солнце, а конец совпадает с движущейся точкой. Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятия векторной величины, а идеи алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождались. Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: Вессель создал свой труд, исходя из чисто практических задач - облегчить труд геодезиста-землемера. Вессель впервые представил комплексные числа как направленные отрезки. Он ввел операции умножения и деления направленных отрезков на основе операций с комплексными числами. При этом отрезок z1 поворачивался на угол b , а его длина r1 умножалось на число r2. Векторную алгебру на плоскости или двумерное векторное пространство Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Для иллюстрации приведем его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением суммы двух направленных отрезков: Об этом говорят и философские воззрения великих ученых о роли математики в исследовании явлений природы. Декарта основана на его концепции единой математики, объединяющей геометрию и алгебру. Развивая мысли Декарта о матемизации естествознания, Лейбниц писал: Лейбниц говорил о построении геометрического исчисления, изучающего направленные отрезки, их длины, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ. В ней автор вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху , , сохранились и поныне. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и систематизировал его идеи. Автор впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: Швейцарский математик Жан Арган написал в г. Примерно в то же время появился и ряд других работ М. Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями гиперкомплексных числел, с помощью которых можно было бы изучать повороты направленных отрезков в пространстве. Представители английской школы символической алгебры Дж. Пикок , Д. Грегори , А. Де Морган , Дж. Однако им не удавалось так задать операции с триплетами, чтобы наряду с умножением была бы выполнима операция деления, кроме деления на нуль. Гамильтон в течение нескольких лет изучал операции с триплетами. Теорию кватернионов развил и усовершенствовал математик и физик П. Тэт , посвятивший теории кватернионов и ее приложениям к физике 70 своих работ. Векторы, названные автором палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал a b; векторное произведение, внешним произведением, он обозначал [a, b]. Во второй половине 19 в. Из разбухшего аппарата теории кватернионов он выбрал то, что необходимо для векторного исчисления, и тем самым создал удобный инструмент, который широко использует современная физика. Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. Гиббс , Грассман, и английский физик О. В последней четверти 19 в. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики. В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много свойств с алгебраическими действиями. Наряду с ней Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий переменные векторы - векторные функции, и определил производные скалярной функции по векторному аргументу градиент и некоторые виды производных вектор-функций векторного аргумента - дивергенцию и роторы. История векторного анализа подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики - алгебры, геометрии, математического анализа, теории функций комплексного переменного. Созданные в 16 в. Векторный анализ, построенный как математический аппарат для изучения электричества и магнетизма, стал научной базой для развития физических теорий, что в последствии привело к созданию тех благ цивилизации, которыми сейчас пользуется человечество. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике. Уже на уроках физики в 7 классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься, прежде всего, над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики средней школы понятие вектора, как эффективнее применять его при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами. Известно, что существует несколько подходов к ведению этого понятия. При таком подходе вектор обычно записывается в виде строки или столбца. Вводится определение равных векторов. Так же на множестве n-мерных векторов определены операции сложения, умножения вектора на скаляр. Вектор 0,0,…,0 называется нулевым вектором и обозначается символом 0. Нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения. В теории линейной алгебры можно встретить другой, абстрактный подход. Например, в учебном пособии [4] вектор определяется как элемент векторного пространства V, который обладает рядом свойств: В качестве векторных пространств в смысле этого определения можно привести следующие: V 2 -множество векторов на плоскости. Тогда V 2 - векторное пространство над R. С - векторное пространство над R, Q. R-векторное пространство над Q. Анализируя оба подхода к определению понятия вектора, лежащих в основе линейной алгебры, можно сделать вывод, что в данном случае геометрия полностью заменяется алгеброй, а все арифметические операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над числами. В геометрии к определению понятия вектора другой подход: Кроме того, существуют различные конкретизации. Предметом векторного исчисления служит вектор как множество сонаправленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Соответственно этому подходу векторы рассматривают с точностью до их положения то есть не различая равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными. Таким образом, свободные векторы вполне определяются заданием его длины и если он не нулевой направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как различные конкретные изображения одного и того же свободного вектора. Данный подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он упрощает понятие равенства, а во-вторых, однозначно определяет операции для свободных векторов. Так, сумма двух свободных векторов есть определенный свободный вектор, тогда как, к примеру, суммой двух направленных отрезков служит любой из направленных отрезков, полученных соответствующим построением. Тем не менее, этот подход осложняется большим числом оговорок. Например, из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена вектором в смысле этого определения, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия. Если сила действует на упругое тело, то изображающий её отрезок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит. В основу теории движения заложено понятие вектора как параллельного переноса. Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Действительно, задать параллельный перенос - это все равно, что задать длину а именно расстояние, на которое смещаются все точки и направление а именно, направление, в котором смещаются все точки , а задать длину и направление - все равно, что задать свободный вектор. В этом случае сложение векторов соответствует сочетанию композиции параллельных переносов. Такое определение вектора позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точки зрения на понятие равенства, которое возникло при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Кроме того, такой подход к введению понятия вектора является логически безупречным, но, между тем, он недостаточно нагляден. В аналитической геометрии вектор определяется как направленный отрезок. Отрезок, концы которого упорядочены, называется вектором. Нулевой вектор - вектор, у которого начало и конец вектора совпадают. Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины. При данном подходе операции сложения векторов и умножения вектора на число определяются следующим образом: Пусть даны 2 вектора и. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора. Пусть даны вектор и число a. Обозначим их модули соответственно через и a. Операция вычитания векторов определяется как операция, обратная сложению. Разностью называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор. Данный подход к определению понятия вектора нагляден, но неоднозначно определяет результат операций над векторами. Анализируя представленные подходы, необходимо отметить, что векторы, представляемые параллельными переносами, перемещением точек, направленными отрезками являются лишь изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии. Приведем еще один подход к определению понятия вектора, автором которого является Вейль. Этот подход составляет основу векторного изложения геометрии [5]. Вейль относит вектор к числу первоначальных неопределяемых понятий. Он выделяет 5 групп аксиом. Существует три линейно независимых вектора;. Длиной вектора называется число. Все 4 группы аксиом справедливы для множества R3 - множества всех векторов. Кроме этого множества Вейль рассматривает непустое множество Е3, элементами которого являются точки. Точка, как и вектор, относится к числу неопределяемых понятий. К ним же относится и некоторое правило, которое каждой упорядоченной паре А, В ставится в соответствии вектор. В связи с этими понятиями Вейль приводит 5 группу аксиом: Такой подход к определению понятия вектора достаточно громоздкий. Кроме того, при таком подходе затруднено понятие результата выполнения арифметических действий над векторами. Тем не менее, этот подход обладает рядом преимуществ: Итак, в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Прежде всего, обратимся к истории. Как же предполагалось изучать векторы? В учебном пособии [10] под редакцией А. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос плоскости: Это определение обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор, и потому все векторные операции с ним определяются как однозначные. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий. Однако если обратиться к задачам, предлагаемым в учебнике, то сразу видно, что в них фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства. В следующем пособии для классов [11] под редакцией З. Скопеца , вектор определяется уже как параллельный перенос пространства. Таким образом, вектор вводился как множество пар точек, задающих один и тот же перенос. В последнем издании учебника под редакцией А. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора, и перенос привлекается только как его изображение. В результате изложение оказалось существенно лучше, чем в других учебниках для классов того времени, без путаницы и ошибок. В перестройке школьного курса геометрии, происходящей в середине х годов ХХ века, одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, был заменен направленным отрезком: Проведем обзор введения понятия вектора в современных учебниках. Погорелова [21] изложение темы начинается следующим образом: Направление вектора определяется указанием его начала и конца… Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, c,… Можно так же обозначить вектор указанием его начала и конца. Проведем анализ данного подхода. Назвав направленный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил, что называется направленным отрезком. Поэтому и конкретное определение вектора отсутствует. При введении обозначений не понятно, что называется началом и концом вектора. Таким образом, выходит, что направленный отрезок, который назван вектором, изображает вектор. Получается некоторого рода тавтология. Направленный отрезок и есть изображение вектора, а не сам вектор, как его понимают в векторном исчислении. Далее определяется равенство векторов - направленных отрезков: Однако, то, что это определение не зависит от выбора системы координат, не оговаривается. Таким образом, принципиальный момент независимости определения от выбора системы координат оказался скрытым. Затем вводятся координаты вектора, и операции с векторами определяются через операции с их координатами; исходный геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, так что получается искаженное представление векторного исчисления, которое создано и применяется как геометрическое исчисление, чтобы обходиться, насколько возможно, без координат. К тому же получается непоследовательность: Кроме того, координаты задают не вектор как направленный отрезок, а свободный вектор: Поэтому фактически определяются операции со свободными векторами. Таким образом, вместо исчисления векторов подается исчисление пар чисел с геометрической интерпретацией. Так координаты вытесняют геометрию. Этот факт хорошо прослеживается при формулировке теорем и их доказательств. Например, при доказательстве того, что векторы и противоположно направлены, используют координаты пользуются правилом умножения вектора на число, в частности на -1 , тогда как ответ был бы очевиден, если геометрически определено, что значит противоположно направленные векторы но такое определение не дано. В нем вводится равнодействующая нескольких сил, и определяется их изображение. Приведен пример решения задачи из физики. В задачном материале А. Погорелов рассматривает следующие виды заданий: Доказательство равенства векторов; Доказательство перпендикулярности векторов; Вычисление угла между векторами. Основным теоретическим базисом при решении этих задач являются определения равенства векторов и скалярного произведения векторов. Надо отметить, что аппаратом решения заданий становятся формальные действия с координатами, то есть геометрическое приложение векторов опускается. Также автор предлагает 2 содержательные задачи. Их требование - найти угол между прямыми. Далее, после приведения примера изображения силы в физике, говорится: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Недостаток этого изложения состоит в том, что дается два понятия вектора без должных оговорок. Однако авторы не могут оставить определение вектора как направленного отрезка. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. По сути, здесь говорится о свободном векторе. Но само определение этого понятия не вводится. Описав сложение векторов по правилу треугольника, когда первое слагаемое откладывается от точки А, так что , авторы пишут: Таким образом, сумма представляется неоднозначной: Это вносит некоторую неопределенность, хотя и логично с точки зрения подхода, изложенного в данном учебнике. Так же недостаток изложения состоит еще в том, что в учебнике некоторые важнейшие свойства векторов принимаются без доказательства, хотя их можно было бы доказать доступно для учащихся. Так, свойствам произведения вектора на число дается только геометрическая интерпретация. Задачный материал в учебнике Л. Атанасяна направлен на осознание, осмысление вводимых дидактических единиц. Он служит своеобразным пропедевтическим курсом для решения задач векторным методом. Содержательных задач в главе немного, но они разнотипны. Ключевые из них решены в учебнике. Шарыгина [31] вектор так же определяется через направленный отрезок: Автор не вводит определения сонаправленных и коллинеарных векторов, поэтому понятие равенства состоит из двух утверждений: Такое определение достаточно сложно для понимания учащимися. Каждый раз при доказательстве равенства векторов требуется достраивание до четырехугольника, что не всегда удобно, и показывать, что он является параллелограммом. Тем самым автор высказывает идею о свободном векторе. Так же, как и А. Шарыгин вводит координаты вектора, и на их основе определяет операции с векторами. В связи с этим, и основным способом решения задач по учебному пособию И. Шарыгина становится выражение векторов через координаты, произведение с ними арифметических действий. Автор предлагает задания на отработку понятия скалярного произведения векторов. Он приводит следующие виды метрических задач: Шарыгин предлагает для решения достаточное количество содержательных задач, методом решения которых может стать векторный. Александорова [2] понятие вектора вводится аналогично подходу, изложенному у Л. В отличие от Л. Александров доказывает, что отношение равенства на множестве векторов обладает отношением эквивалентности, выделяя тем самым следующие свойства: Каждый вектор равен самому себе. Если вектор равен вектору , то равен. Два вектора, равные третьему вектору, равны. Однако, в отличие от остальных авторов, А. Александров не вводит понятие компланарных векторов. Он определяет следующие способы разложения вектора: Предлагает для решения задачи на отработку этих умений. Александров приводит задачи на геометрическую интерпретацию векторов: Анализируя представленные подходы, можно сделать вывод, что все авторы в той или иной степени стремятся дать определение свободного вектора. Это делается у различных авторов по-разному. Дело в том, что если понимать вектор как любой из равных направленных отрезков, то нужно только определить, что значит, что эти отрезки одинаково направлены, а это можно определить достаточно просто, через сонаправленные лучи, например, как сделано в учебнике А. Но в этом учебнике транзитивность сонаправленности не доказана. Погорелова оно опирается на понятие параллельного переноса, определение которого сложно, поскольку использует координаты. В заключении приведем цитату из статьи А. Но оно выражает то, как в действительности понимают вектор, и потому на самом деле применяют, а не так, что дается определение, заучивается, а затем применяется другое определение. Определения нужны не для заучивания, а для уточнения понимания. Поэтому перед выявлением специфики векторного метода, разработки конкретной методики обучения школьников решению математических задач, необходимо проанализировать само понятие задач, их роль и место в обучении математике. Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Поэтому проблемы, связанные с этим понятием, занимают значительное место во многих науках. Например, в психологии исследуются процессы решения задач и особенности этих процессов при решении отдельных их видов. Предметом исследования дидактики и частных методик являются вопросы использования решений задач в обучении. Выявим существенные дидактические, психологические и методические аспекты задач применительно к обучению математике. В обучении математике задачи играют большую роль. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности. Чтобы раскрыть еще большую значимость математических задач в школьном обучении, попробуем выявить роль и место задач во всей системе школьного математического образования, в единстве реализуемых при этом целей обучения, воспитания и развития учащихся. Выявление роли и места задач в современном обучении математике диктует целесообразность изучения дидактически направленной характеристики важнейших компонентов математического развития учащихся, которые должны формироваться в процессе школьного обучения, выявления основных функций задач в системе развивающего и воспитывающего обучения математике; характеристики самого понятия учебной задачи и психолого-дидактических особенностей процесса ее решения. Менчинская и многие другие. Каждый из них дает свою точку зрения на рассматриваемую проблему. Приведем несколько определений понятия задачи: Примером наиболее широкой трактовки понятия задачи является определение, данное Я. Эсаулов определяет задачу как более или менее определенную систему информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение между которыми вызывает потребность в их преобразовании. Суть решения как раз и заключается в поисках преодоления путей такого несогласования. Из приведенных примеров различных трактовок понятия задачи, можно сделать вывод, что понятие задачи достаточно сложно и многогранно. Саранцев считает, что основное отличие в подходах к содержанию этого понятия состоит в том, что авторы по-разному подходят к отношению между субъектом и задачей. Одни из них рассматривают задачу как ситуацию, в которой действует субъект, в других трактовках субъект не включается в понятие задачи. Таким образом, он подчеркивает, что для задачи характерны две стороны: К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность и неопределенность условия и т. В свою очередь, по мнению психологов, процесс решения задач тесно взаимосвязан с процессом мышления. Многие исследования показывают, что именно в ходе решения задач самым естественным образом можно формировать у школьников элементы творческого, логического и алгоритмического мышления. Необходимо отметить, что умственное развитие учащихся является одной из основных задач обучения математике. Многие авторы связывают его именно с развитием математического мышления. В соответствии с этим возникает вопрос, что представляет собой математическое мышление, каковы его специфические черты. В их работах сущность понятия математического мышления ассоциируется с понятием математических способностей. Выделяется огромное число черт математических способностей: Все эти способности можно развивать в процессе решения задач. Поэтому наша цель на данном этапе - выявить такие условия обучения решению задач, при которых максимально эффективно будут развиваться перечисленные нами математические способности. Источником их развития теория познания считает противоречия в самом процессе познания человеком действительности, фиксируемые посредством категории проблемы. Поэтому развитие творческих мыслительных способностей и познавательной самостоятельности учащихся невозможно вне проблемных ситуаций. Необходимо внедрение проблемно-развивающего обучения. Задачи при таком обучении служат основным средством активизации знаний и способов действий. Они используются для раскрытия содержания понятий, теорем, способов умственной деятельности ученика, а также для формирования умений и навыков. В решение таких задач важно включать этапы анализа задачи и обсуждения решения. В процессе анализа задачи должны устанавливаться предметная область задачи, все ее элементы, характер каждого элемента постоянный или переменный, известный или неизвестный и т. Также необходимо вычленение из задачи всех отношений, которыми связаны элементы предметной области. Это позволит выбрать правильный подход к решению задачи. В процессе анализа проделанного решения выявляются преимущества и недостатки решения, проводятся поиски лучшего решения, устанавливаются и закрепляются в памяти учащихся те приемы, которые были использованы в данном решении, выделяются условия возможности применения этих приемов. Все это будет в наилучшей степени способствовать превращению решения задач в могучее обучающее средство. Рассмотрев роль и место задач в обучении математике, осталось определить функции математических задач. В настоящее время решение математических задач используется для разных функций. Одной из основных функций в обучении математике он считает функцию формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических в том числе и прикладных задач. Общее умение по решению задач следует отличать от частных умений решения задач определенного вида. Частные умения формируются на основе усвоения учащимися теоретических знаний, пользуясь которыми учащиеся производят операции и действия, входящие целостным элементом в формируемое умение. Общее же умение решения математических задач пока формируется совсем иначе: Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого количества математических задач. А в результате, большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, с чего начать решение. Формирование общих умений решения математических задач осуществляется таким образом, что учащиеся не получают никаких особых знаний, лежащих в основе этих умений. Поэтому представления учащихся о задачах, их элементах и структуре, о сущности и механизмах их решения является весьма смутными, а зачастую просто неверными. Притом эти представления по мере перехода в старшие классы отнюдь не улучшаются, так как они формируются часто стихийно, в результате случайной информации и редкой рефлексии на свои действия в процессе решения многочисленных задач. Это происходит потому, что действующие программы по математике не предусматривают изучения каких-либо теоретических основ о задачах и их решении. В то же время, теоретические знания о задачах и их решении нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания по аналогии с ранее решенными задачами. Колягин к главным функциям задач относит воспитывающую и развивающую функции. В частности, автор поясняет, что в процессе применения математики к решению любой практической задачи, можно показать школьникам, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания. Предложение учащимся задачи с избыточной или неполной информацией воспитывает у них готовность к практической деятельности. Рассмотрение изящного решения той или иной математической задачи способствует эстетическому воспитанию школьников. Применение в обучении математике задач с воспитывающими функциями способствует, по мнению Ю. Колягина, формированию у школьников интереса к решению задач, что в свою очередь является эффективным средством приобщения школьников к учебной математической деятельности творческого характера. Как же должен строиться процесс обучения решению задач? В методической литературе встречаются разделения задач по различным основаниям. Фридман предлагает разделить все задачи на два вида: Задачи первого типа следует решать непосредственно в процессе изучения учебного материала, и при этом все ученики решают одни и те же задачи. Число таких задач невелико. Задачи же второго типа даются учащимся спустя некоторое время. При этом выдается список всех рекомендуемых задач, которые они могут решать. Автор считает, что такая организация решения задач в процессе обучения математике позволяет, кроме всего прочего, решить проблему длительного и многократного повторения и закрепления изученного учебного материала и методов решения задач. Семушин выделяют следующие типы задач: Первые, по их мнению, предназначены для облегчения усвоения уже изученных теоретических сведений. В процессе решения задач с познавательными функциями, углубляются знания учащихся по отдельным разделам математики, школьники знакомятся с важнейшими теоретическими сведениями, методами решения задач. Задачи с развивающими функциями - это задачи, содержание которых расширяет основной курс математики, способствует повышению уровня сложности нескольких изученных ранее вопросов. Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач: Очевидно, что отнесение задачи к группе задач с той или иной функцией не является классификацией, поскольку одна и та же задача для различных субъектов и в разных ситуациях может нести разные функции. Однако выделение функций задач имеет смысл, так как учитывая цели обучения, важно, чтобы в системе задач по конкретной теме присутствовали задачи с каждой из названных функций. Итак, характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития, целостного развития личности и развития всех психических процессов воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т. При обучении учащихся решению задач необходимо изучать с ними сами задачи, их структуру и особенности, характер используемых общих методов решения, их структуру деятельности по решению задач. При этом главными объектами усвоения следует считать общие схемы деятельности по решению задач, общие методы и способы моделирования задач. Решение же отдельных задач должно быть лишь средством для такого обучения. При обучении учащихся общим методам решения задач необходимо выделять действия, составляющие суть этого метода. Подготовительная работа перед решением определенного класса задач каким-либо методом должна быть направлена на овладение учащимися этими действиями. Причем этот процесс должен приобрести целенаправленный и управляемый характер. В связи с вышеизложенным перед нами встает ряд проблем. Какие действия составляют суть векторного метода? Как строить процесс обучения этим действиям? Какую методику следует избрать при обучении учащихся собственно векторному методу решения геометрических задач? Авторы учебного пособия [13] предлагают рассматривать вектор как параллельный перенос плоскости пространства. Однако при доказательстве теорем и решении задач с помощью векторов используют определение вектора как направленного отрезка. При обучении учащихся векторному методу В. Луканин дают следующие методические рекомендации [13, c. Скопец в статье [26] кроме аффинных задач без векторных данных содержательных геометрических задач рассматривает также еще два вида задач: Автор обращает большое внимание на решение задач различными методами векторным и конструктивным , подчеркивая важность их сопоставления для развития математического мышления учащихся. Иванова в учебных пособиях [6, 7]. Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарны векторам. Применение векторов к решению геометрических задач. Материал первого блока представляет собой систематизацию и обобщение на пространство известных учащимися операций над векторами. Поэтому при его рассмотрении необходимо усилить долю самостоятельной работы учащихся. Материал второго блока является новым для десятиклассников и очень важным. Поэтому наиболее целесообразной формой изучения теории представляется школьная лекция. Знакомству учащихся с новым для них методом решения геометрических задач также следует посвятить лекцию, на которой учитель раскрывает сущность векторного метода. Иванова в пособии [6] приводит следующие методические рекомендации к построению отдельных уроков темы. Как уже отмечалось, на первых уроках изучения векторов в пространстве с учащимися необходимо повторить соответствующий материал планиметрии. Это можно сделать следующим образом: После повторения учитель сообщает, что аналогично можно ввести доказать то или иное понятие теорему для пространства. Необходимые записи проводятся в правой половине доски и листа тетради. При этом, в зависимости от уровня знаний учащихся, форма изложения нового материала может быть различной. Если класс средний, то возможна обобщающая лекция с элементами эвристической беседы. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Полученные основные результаты для пространства заносятся в таблицу: Таблица 1 Векторы на плоскости и в пространстве1. К каждому пункту лекции решают задачи из учебника. В подготовленном классе можно предложить учащимся самостоятельно найти ответы на выделенные выше вопросы. Для этого класс можно разбить на три группы, каждая из которых готовит ответ на один вопрос и решает соответствующие задачи. В классе заслушиваются эти ответы, после чего учитель подводит итоги урока и, в частности, с помощью таблицы 1 систематизирует весь рассмотренный материал. Охарактеризуем кратко эти умения. К таким умениям, в первую очередь, относится владение векторными формулами и законами векторной алгебры. Это умение достигается в процессе решения простейших дидактических упражнений. Поскольку при решении геометрических задач средствами векторов необходимы умения в преобразовании векторных выражений, то при получении основных векторных выражений, то при получении основных векторных формул следует приучать учащихся пользоваться ими в обе стороны. В то же время полезно предложить учащимся составлять на отдельном листе таблицу основных векторных формул таблица 2. Ее можно начать составлять уже в 8 классе. Разработка методики обучения учащихся по теме "Векторы на плоскости" Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности "зачем учиться математике Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении Скачать Скачать документ Читать online Читать online. Живая фотография" на уроках информатики Кафедра информатики, теории и методики обучения информатике. На мой взгляд синемаграфия может помочь в решении вопроса о мотивации школьников на углубленное изучение видео и фото редакторов. Нужна качественная работа без плагиата? Другие дипломные по математике. Не нашел материала для курсовой или диплома? Наш проект для тех, кому интересно, для тех, кто учится, и для тех, кто действительно нуждается!
Специальная частная методика геометрии: Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике обучающие, воспитательные, развивающие , но при этом выделяются некоторые специфические цели:. В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга. До года школьный курс геометрии учебники Киселева, Глаголева, Никитина был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: Вообще не были представлены аксиомы конгруэнтности и порядка на интуитивном уровне. В соответствии с требованиями в году в процессе коренной реорганизации математического образования была поставлена задача разработки такой аксиоматики, которая была бы немногочисленной, доступной для учащихся, наглядной и в то же время логически строгой. При том должна учитываться как сама логика построения курса на основании выделенной аксиоматики, так и возможности осознания учащимися идем такого построения. Изложение, приближенное к алгебре на основе метода координат, векторного аппарата. При этом курс планиметрии строился на традиционной основе, а стереометрии — на основе аксиоматики Вейля. Изложение на теоретико-множественной основе, предложенное А. Основным аппаратом решения задач является аппарат геометрических преобразований. Система аксиом геометрических преобразований. Система аксиом немногочисленна, достаточно наглядна для учащихся. Аксиоматика, построенная на основе аксиоматики Евклида-Гильберта, но более полная по отношению к предложенному курсу. Данный подход предложен А. Погорелов; но он не стыковался с принятой теоретико-множественной основой. Выделить основные тенденции эволюции зарубежного геометрического образования по этому же учебному пособию с. Методика изучения первых разделов тем систематического курса геометрии. Совершается резкий переход к необходимости все доказывать. Если в классах в основном использовался индуктивный подход, то в систематическом курсе на первый план выходят дедуктивные рассуждения. При этом ученики считают, что многие факты они уже знают или наглядно очевидны и незачем их доказывать. Учитывая указанные сложности, в начале систематического курса учителю не следует резко отходить от конкретно-индуктивного подхода, широко использовать интуицию учащихся с применением различных наглядных пособий. Одновременно необходимо формировать у школьников потребность в доказательстве вводимых утверждений. Перед изучение первого раздела учителю целесообразно провести беседу о предмете геометрии. Учитель должен продемонстрировать ученикам различные плоские и пространственные фигуры и попросить учащихся описать их свойства. Таким образом, подводим учащихся к выводу, что геометрия изучает свойства различных плоских и пространственных фигур. При этом некоторые свойства фигур очевидны, другие же необходимо обосновать рассуждениями. После этого переходят к рассмотрению основных понятий и их свойств. Начинают обычно с практической задачи на построение, после чего формулируется свойство, которое затем закрепляется на задачах. При работе над аксиомами планиметрии возможно использование учителем следующей методической схемы. Показать возможную реализацию этой методической схемы при изучении основных свойств: Перечислить основные трудности, возникающие у учащихся при изучении геометрии на первых уроках систематического курса. Какие методические схемы изучения аксиом основных свойств простейших геометрических фигур можно выделить? Опишите возможную реализацию каждой из схем при изучении какой либо аксиомы школьного курса планиметрии. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе:. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности. Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых — перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных. Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом:. При любом варианте изложения данного материала следует начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному. В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: Таким образом, доказывается существование параллельных прямых. Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Вначале целесообразно выяснить вопрос: Дело в том, что определение не дает возможности проверки установления параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности. Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей. После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников или устно. Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы. Могут ли прямые АВ и С D быть параллельными? Могут ли а и b быть параллельны? Прямые АВ и С D — параллельны. Возможно использование более свободных по характеру выполнения заданий на составление задач по чертежу. Как решается вопрос о существовании параллельных прямых в действующих школьных учебниках геометрии? Какие идеи лежат в основе доказательства признака параллельности прямых через равенство накрест лежащих углов в школьных учебниках? Геометрические построения в курсе планиметрии. Методика обучения решению задач на построение. Основные методы решения задач на построение в школьном курсе и некоторые рекомендации по их использованию. Задачи на построение — это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов чаще всего — линейки и циркуля. Способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ. Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействуют развитию логического мышления школьников, в частности — мыслительных операций: Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:. Ознакомительный этап кл. Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами — линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла. Пропедевтический этап кл. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам — все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение — метод геометрических мест метод пересечений. В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:. Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить например, при построении в классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и нахождением количества решений если возможно. После рассмотрения основных элементарных задач на построение, навыки, в решении которых обрабатываются до автоматизма, учащиеся приступают к знакомству с первым общим методом решения задач на построение, предварительно рассмотрев понятие геометрического места точек Г. При введении понятия Г. Метод геометрических мест сводится к отысканию некоторого множества точек, характеризуемого условием, имеющим вид конъюнкции , где Р 1 х — фигура, удовлетворяющая первому условию, Р 2 х — фигура, удовлетворяющая второму условию и т. В качестве первой задачи, решаемой М. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет:. Точка С будет являться пересечением этих двух геометрических мест точек окружностей. Правда, здесь надо еще одно Г. Далее переходим к решению задач М. Построить геометрическое место точек плоскости, для которых. Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям:. Наибольшие затруднения у школьников вызывают задачи на построение, решаемые методом подобия 9 кл. По первой части строят фигуру, подобную искомой, а затем преобразовывают ее в искомую с учетом второй части. Какие геометрические построения осуществляются в курсе математики: Какие основные методы решения задач на построение Вы знаете? В чем их сущность? Какие из этих методов используются в школьном курсе геометрии? Геометрические построения на плоскости. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин физики, черчения, труда и других и в реальной жизни. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др. В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока. Учение о треугольниках классы является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:. Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами. Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий — точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы — медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника. Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Здесь понятия трапеции и параллелограмма — несовместимы объемы этих понятий не пересекаются. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически. При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n — угольника. В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин фиксированную со всеми остальными вершинами. Учитель может предложит другой способ разбиения n — угольника на треугольники , взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника. Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках. Приведите различные доказательства теоремы о сумме углов n — угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств. Различные подходы к изучению геометрических преобразований в школе. Применение преобразований а частности, движений к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т. Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии. С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе. Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А. В его курсе геометрии преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем. В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства подобия для произвольных фигур ввести затруднительно — нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение. Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников. Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач. Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй функциональная зависимость, преобразования графиков функций , межпредметных —с физикой механическое поступательное движение и т. Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии — орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике. Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным — синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований. В учебнике Погорелова теоретико-групповой подход материал представлен в виде двух отдельных тем: Обе темы начинаются с общих вопросов: Учебник Атанасяна реально-практический подход предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией 8 кл. В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений определение — генетическое ; вводятся сопутствующие понятия. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя. Доказательство того, что данное преобразование является движением преобразованием подобия обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний. При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются. С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера. По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно один признак вытекает из другого. В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон. Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий. Использование свойств преобразований для обоснования наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами. Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи. Обоснуйте выбор геометрического преобразования для решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом. Доказать признаки подобия треугольников с использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам. Что является предметом изучения геометрии в средней школе с точки зрения Эрлангенской программы? Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках. Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов? Понятие вектора является одним из фундаментальных в современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в году векторную аксиоматику евклидовой геометрии. Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений. Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке. Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических аффинных и метрических задач и доказательства ряда теорем. Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением. Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом по Вейлю. При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе. Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом А. Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе свести геометрию к алгебре , все действия над векторами сводились бы к действиям над числами. Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение. Если наглядно-геометрический подход более характерен для стиля изложения геометрического материала, то координатный метод упрощает многие доказательства, способствует достижению краткости изложения материала. В учебнике Погорелова изучение векторов относится к концу 8 класса. В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный. Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур. Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе. В системе координат с нанесенной координатной сеткой рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов? Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов 3 клеточки вправо и 2 вверх. Таким образом, мы определили координаты векторов. В тетрадях постройте точки А 2, 3 и В 4, 7. Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца. Здесь в основном решаются задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т. Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек. Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода.. Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей:. Учащиеся привыкли, что умножение —есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов — есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов. Само определение скалярного произведения громоздко: Аксиоматика школьного курса планиметрии не предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей:. Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям. В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе. Согласно действующей программе векторы рассматриваются в курсе стереометрии и как объект изучения и как аппарат доказательства теорем и решения задач. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты:. Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным если необходимо. Показать реализацию компонентов векторного метода на примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой — либо грани куба. Какие варианты изучения векторов возможны в курсе стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов. Место и значение темы в школьном курсе математики. Изучение скалярных геометрических величин в младших классах. Методические особенности изучения систем скалярных геометрических величин в средних и старших классах. Предметом изучения данной лекции являются скалярные геометрические величины — длина, площадь, объём, мера угла. Под системой скалярных величин по А. Колмогорову понимается определённое множество. Любая скалярная величина по отношению к конкретному объекту обладает свойством быть измеренной, то есть охарактеризованным числом. При этом фактически задаётся соответствие между множеством фигур и множеством положительных действительных чисел так, что выполняются следующие свойства:. Величина фигуры, являющая объединением нескольких фигур без общих внутренних точек, равные сумме величин этих фигур аддитивность ;. Существует фигура единичный отрезок, единичный квадрат, единичный куб , величина которого равна 1 нормированность. Показывается возможность вычисления величины произвольных многоугольных и многогранных фигур путём их разбиения на треугольники и тетраэдры и независимость их от способа разбиения, то есть. Строится функция, обладающая свойствами 1 -3 с помощью описания процесса нахождения по фигуре F её величины:. Рассматривается множество многоугольниках многогранниках фигур и показывается возможность их разбиения на треугольники тетраэдры. Доказывается, что произведение основания на высоту треугольника тетраэдра не зависит от высоты основания. Без доказательства принимаются формулы для S треугольника и V тетраэдра. Доказывается, что введение, таким образом, функция обладает свойствами 1 Далее данная функция распространяется на класс квадрируемых кубируемых фигур и опять доказываются указанные свойства. Данный подход редко используется в силу его психологической неубедительности без доказательства принимаются формулы S треугольника, V тетраэдра , а также довольно сложного доказательства основных свойств площади и объёма. Он позволяет ввести систему скалярных геометрических величин сразу для классов многоугольниках, многогранных фигур путём разбиения прямой, плоскости или пространства точками, прямыми или плоскостями. Для отрезков получается что-то типа теории сечений. Дедекинда теория действительного числа. В школьных курсах основным путём введения геометрических величин является аксиоматический путь, подкрепляемый особенно на первых этапах изучения материала конструктивными соображениями, связанными с использованием транспортира, линейки, палетки и кубической масштабной сетки, как средствами измерения. Изложение теории площадей многоугольников и объёмов многогранников существенно опирается на понятие равносоставленности многоугольников и многогранников. Из свойств скалярных величин вытекает, что равносоставленные фигуры равновелики. Это позволяет ввести простой способ вычисления площадей использовавшийся ещё Евклидом. Укажем два важных факта, позволяющие понять логику построения соответствующего школьного материала. Два равновеликих многоугольника равносоставлены. Из этой теоремы вытекает, что достаточно знать формулу для S прямоугольника, чтобы легко вывести площади других многоугольников. Аналогичная теорема для многогранников, сформулированная впервые Д. Это следует из результатов Дена г. Именно поэтому при изучении объёмов многогранников недостаточно формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, а приходится ещё использовать неэлементарные методы для нахождения объёмов тетраэдра. Однако, для некоторых видов многогранников например призм рассматриваемый факт справедлив. В реальной действительности мы постоянно сталкиваемся с необходимостью измерения и оценки расстояний, площадей и объёмов фигур. На основе материала данной темы осуществляется знакомство школьников с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии, расширяются возможности применения аналитического метода. Реализуются внутрипредметные и межпредметные связи на основе взаимодействия аксиоматического метода, теории действительного числа, инфинитезимальных методов бесконечно малых , метода координат и т. Совершенствуются вычислительные навыки, навыки тождественных преобразований и решения уравнений и неравенств. На данном материале, как правило, реализуется метод опорного элемента при решении задач. В школьном курсе математики изучаются следующие скалярные величины: Изучение скалярных геометрических величин в школе осуществляется концентрически: В курсе классов у школьников развивается наглядно-интуитивное представление о величинах и их практическом измерении. Здесь они знакомятся с различными единицами измерения длины и площади, основными соотношениями между ними; измеряют и сравнивают длин отрезков и площади фигур, составленных из единичных отрезков и квадратов, с помощью линейки и палетки вычисляют периметр многоугольника, а также площадь прямоугольника по формуле. Уже здесь учащиеся начинают производить действия с именованными числами: В классе представления о геометрических величинах систематизируются и углубляются. В частности, если в начальной школе отрезок и его длина воспринимаются как один и тот же объект, то в 5-ом классе учащиеся получают возможность установить различие между фигурой и её величиной, записываемой в виде числа с наименованием. Это достигается на основе сопоставления результатов выполнения двух основных задач: Если в первом случае ответ неоднозначен, то во втором результат однозначен. При изучении площадей и объёмов реализуется тот же план, что и при изучении длин отрезков: Решаются соответствующие текстовые задачи. В 6 классе обоснование вводятся важные в практическом отношении формула для длин окружности и площади круга. Вопрос об измерении отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов в практическом плане не ставится. Атанасяна изложение связано с практическими измерениями. Описывается процесс измерения, на наглядном уровне поясняются свойства длины отрезков и градусных мер углов, описываются приборы для измерения расстояний и углов на местности. В аксиоматике в Приложении 1 есть только аксиомы измерения и откладывания отрезка аксиом измерения углов нет. Понятие о площадях и объёмах в учебнике А. Погорелова вводится также аксиоматически. Площадь простой фигуры объём простого тела — это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами: В основу изучения площадей плоских фигур и объёмов многогранников в школьных курсах геометрии кладутся формулы S прямоугольника S квадрата и V прямоугольного параллелепипеда. Можно и S треугольника и V тетраэдра и другие. В основе подхода - теорема о том, что площади или объёмы 2-х прямоугольников прямоугольных параллелепипедов , имеющих равные основания, относятся между собой как их высоты. Данный способ обладает достаточной общностью и вместе с тем не согласуется с известными с классов способом измерения и имеет чересчур формальный для школы характер. Этот переход использован в учебнике А. Традиционный подход учебники Килелёва, Фетисова г. После рассмотрения основных допущений о площадях вводится понятие об измерении площади прямоугольника при помощи сетки квадратов последовательно для случаев, когда обе стороны выражаются через единичный отрезок как:. В 3-ем наиболее сложном случае площадь определяется либо как предел последовательности площадей прямоугольников, длины сторон которого выражаются рациональными числами, либо через введение двух последовательностей приближённых рациональных значений площади по недостатку и по избытку. В явном виде рассматривается понятие равносоставленности. Определяются условия, при которых параллелограммы и прямоугольники равносоставлены. Рассматривается вывод формулы площади прямоугольника прямоугольного параллелепипеда для натуральных и рациональных измерений, а для иррациональных измерений формулы даются без доказательства. Данный подход также громоздок и не обладает достаточной психологической убедительностью в силу последнего допущения. Наиболее оптимальным в настоящее время учителя считают классический подход 2-й подход без рассмотрения третьего случая, либо принятие формулы площади квадрата за аксиому. После доказательства вывода формулы площади прямоугольника, пользуясь элементарными методами теоремой Бойяи-Гервина — 12 равновеликих многоугольника равносоставлены выводят формулы для площадей остальных прямоугольников, либо разбивая, либо дополняя новый многоугольник. В основе изложения теории объёмов многогранников лежит формула для объёма прямоугольного параллелепипеда, доказываемая совершенно аналогично формуле для площади прямоугольника. В силу равносоставленности равновеликих призм вывод формул для объёмов наклонных параллелепипедов и призм можно осуществить элементарными методами. Соответствующие соображения иллюстрируются на наглядных моделях, а выводы аналогичны тем, которые применялись в планиметрии. Основная методическая проблема при выводе формул для объёмов многогранников является соответствующая формула для тетраэдра теорема Дена. По этой теореме для вывода этой формулы необходимо использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования явно или неявно. Подход, при этом используемый, как правило, отражается и на методике изложения теории объёмов тел вращения. Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики. Разбив высоту на n частей, проводим плоскости, параллельные плоскости основания. Получим разбиение пирамид на слои. Через вершины сечений призмы проводим n прямых, параллельных какому — либо ребру призмы. Получаем два ступенчатых многогранника, состоящих из входящих в первую пирамиду и содержащих эту пирамиду призм. Их суммарные объёмы отличаются на объём призмы последнего от вершины слоя S S - площадь основания, H - высота, n - номер слоя. Треугольная пирамида дополняется до призмы путём присоединения к ней ещё двух пирамид. Для пирамиды строится двоякая последовательность призм. Показывается, что V пирамиды является общим пределом последовательности объёмов ступенчатых многогранников при неограниченном увеличении количества составляющих призм:. Объёмы тел вращения при данном подходе определяются как пределы соответствующих последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников призм и пирамид. Основную сложность в данном случае составляет вычисленные объёмы шара. Здесь приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл. Третий подход — вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла уч. Четвертый подход — через принцип Кавальери итальянский математик 17 века, аббат монастыря. Две фигуры с равными высотами равновелики, если равны любые их сечения, приведённые параллельно основаниям на одинаковой высоте от них. Данный принцип принимается за дополнительную аксиому объёмов для площадей и объёмов. Из принципа Кавальери напрямую следует лемма о равновеликости пирамид, и таким образом, существенно облегчается вывод для объёма пирамиды; можно вычислить и объёмы тел вращения. В частности при выводе формулы V шара рассматривается полушар и конус, вписанный в центр. По принципу Кавальери объём 4-угольной правильной пирамиды и данной равны. Следовательно, формула верна для любой пирамиды. Данный подход в настоящее время считается наиболее приемлемым в силу достаточной простоты предельный переход уходит в доказательство принципа Кавальери. Доказательство формулы Симпсона достаточно громоздкое и, как правило, опускают. На основе интегральной формулы: Выписать формулы для сечений конуса, шара, пирамиды и цилиндра как функций от расстояния между сечением и основанием фигуры. Площадь поверхностей фигур вращения в школе могут рассматриваться на различных уровнях строгости в зависимости от авторских установок и специфики контингента. Далее на основе соответствующего определения вводились формулы для площади поверхности шара, конуса и цилиндра. Данный подход был использован в ранних изданиях учебника Погорелова и не оправдал себя в силу формального характера и необходимости применения довольно изощренных оценок. Тогда площадь этой поверхности будет равна пределу площади поверхности тела при неограниченном увеличении сторон ломаной. Данный подход неприемлем для площади поверхности сферы, не имеющей плоской развёртки. Однако, в некоторых учебниках Погорелов сделана попытка приближенного представления участков сферы в виде многоугольников, являющихся гранями многогранника, описанного около сферы. Погорелова используется модификация подходов 2 и 3, взяв за основу идею исчерпывания шара пирамиды с вершиной в центре шара с последующим предельным переходом, соответствующим неограниченному уменьшению размеров граней многогранника, описанного около шара. Задание для самостоятельной работы. Выписать систему аксиом для определения систем скалярных величин по А. Колмагорову их учебного пособия 4. В чём суть аксиоматического введения скалярных геометрических величин и конструктивного? И какой путь является основным в школьном курсе? Какие 4 основных подхода можно выделить при изучении площадей в школьном курсе геометрии? Суть каждого из этих подходов? Каковы возможные подходы к построению теории площадей поверхностей тел вращения в школьном курсе? Особенности изучения стереометрии в средней школе. Методика первых уроков стереометрии. Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:. При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами. Следовательно, для успешного изучения стереометрии учитель должен постоянно возвращаться к планиметрическому материалу; перед изучением той или иной теоремы необходимо повторять нужные планиметрические сведения. Если при изучении планиметрии учащиеся пользуются чертежами, которые дают явные представления об изучаемом объекте, то в стереометрии нет чертежных инструментов, которые позволяют изобразить пространственные фигуры. Здесь мы имеем дело не с самим объектом, а лишь с его изображением. Каждая стереометрическая задача является одновременно задачей на построение изображения фигуры с помощью свойств параллельной проекции. Это требует от учащихся значительно больших усилий, чем их требуется при решении планиметрических задач. В курсе стереометрии уделяется большое внимание логической стороне проводимых умозаключений; приходится обосновывать каждый свой вывод, четко устанавливая предпосылки. Программа по стереометрии предполагает более быстрый темп прохождения материала, чем в планиметрии. При этом времени на решение задач требуется гораздо больше, соответственно более значительное место занимает самостоятельная работа школьников. Необходим тщательный подбор заданий на уроке — включать только самое необходимое. Курс стереометрии строится аксиоматически. При изучении аксиоматики стереометрии необходимо решить две основные методические задачи:. Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома:. При этом появляется возможность более эффективного выявления учащимися сущности аксиоматики и ее роли в построении геометрии. На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации. В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях. М одель чертеж представление. На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия или пространственных образов. Школьники сначала работают с основным чертежом, который однако часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами. Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры. С хема на IV этапе: Сравнить последовательность изучения стереометрического материала по учебникам А. Подобрать по два упражнения для учащихся на формирование пространственных представлений на каждом из этапов. С математической точки зрения В. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур или их комбинаций к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение доказательство может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком. Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве нельзя построить плоскость, многогранник и т. Поэтому необходимо точно условиться: Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:. На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной. Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников. С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости. При чем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости. Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость — это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания — нижнее основание см. Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:. В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертеже, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно. Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения — внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии. Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:. В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода геометрия Шоке , метода геометрических преобразований — учебное пособие Колмогорова, векторный метод — пособие под ред. В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач. Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях. Погорелова реализована следующая схема:. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве. Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:. При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог. Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт. В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом. Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений. При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов либо на уроке, либо как домашнее задание. В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы. На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: Составить конспект статьи А. Какие схемы изучения координат, векторов и геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках? Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии? Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии. Некоторые методические рекомендации по изучению материала о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот. В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части — с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения — дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве. Сначала, как известно, вводится — определяется перпендикулярность параллельность , затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности параллельности и конструктивными задачи, то есть воображаемыми построениями перпендикулярных параллельных прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии? Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности перпендикулярности прямых и плоскостей? Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии. В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся. Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения. Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся вводится много новых понятий, теорем. Основная цель — дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами. Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А. Атанасяна раздел о сечениях. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии:. Изучение данного материала начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др. Например, в учебнике А. Погорелова — многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения. Через построение изображения тела показывается его существование. Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур. Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения начинать с наглядных пособий, кодограмм. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога. Например, свойства параллелограмма — свойства параллелепипеда, площадь прямоугольника — объем прямоугольного параллелепипеда и т. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока. Большинство задач по данным темам — вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью. Наиболее сложным является материал задачи о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т. Научные основы школьного курса математики Документ Математика в современном мире проникла во все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Методика изучения линейной функции. Методика изучения квадратичной функции. Тригонометрические функции в курсе алгебры 9 класса. Контрольная работа пометодикепреподавани я математик идля студентов-заочников 4 курса Контрольная работа Методика преподавания математики изучается студентами отделения заочного обучения в семестрах. Учебным планом предусмотрено написание контрольной работы в 7 семестре. Методические рекомендации для студентов по изучению дисциплины 29 1 Методические рекомендации Рабочая программа составлена на основании ГОС направлений и специальностей высшего профессионального образования, утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ от Дифференцированный подход — это комплекс методических, психолого-педагогических и организационных мероприятий, обеспечивающих осуществление процесса Стандартов безопасности труда 5. Российское отделение Всемирной научной ассоциации по птицеводству планирует провести очередную XVII конференцию ВНАП в15—17 мая года на базе Все Сборник тем научных работ для участников научно-образовательного соревнования. В этом сборнике рассказано о факультетах и специальностях МГТУ им. Баумана, показаны научные интересы кафедр, основные темы и направления исследо Сохрани ссылку в одной из сетей: Логическое строение школьного курса геометрии. Цели изучения и структура школьного курса геометрии. Содержание пропедевтического курса геометрии в классах. Различные подходы к построению школьного курса геометрии логическое строение. Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике обучающие, воспитательные, развивающие , но при этом выделяются некоторые специфические цели: Структура школьного курса геометрии. Были предложены несколько путей. Задания для самостоятельной работы. Сформулируйте основные цели изучения школьного курса геометрии? Какова структура курса геометрии, изучаемого в средней школе? Каковы особенности содержания пропедевтического курса геометрии в классах? В чем суть подходов к построению курса геометрии в основных действующих школьных учебниках? Основные трудности, встречающиеся на первых уроках планиметрии и пути их преодоления. Методика проведения первых уроков систематического курса геометрии. Начиная изучать курс планиметрии в 7 классе, учитель сталкивается с определенными трудностями. Невозможно дать единого метода доказательства теорем и решения задач. Вводится новая символика, много новой терминологии. Очень много рисунков, чертежей, к которым учащиеся еще недостаточно привыкли. На первом этапе аксиома может быть предварена рисунком с небольшим комментарием учителя. Формулировка аксиомы учителем Логический анализ формулировки аксиомы. Закрепление при решении задач. Каковы основные пути преодоления этих трудностей? Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых в школьном курсе: Атанасяна — 7 класс. Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых рассматриваются вперемежку друг с другом: Это можно осуществить в виде эвристической беседы: Могут ли две прямые иметь одну общую точку? Могут ли две прямые иметь две общие точки? Могут ли иметь бесконечное множество общих точек? Могут ли не иметь общих точек? Само определение параллельных прямых встречается в двух вариантах: Методика изучения признаков параллельности прямых. Какова роль материала о параллельных и перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии? С чего целесообразно начинать изучение этого материала в школьном курсе геометрии? Какие варианты определения параллельных прямых встречаются в школьных учебниках? Роль и место геометрических построений в школьном курсе. Роль задач на построение в школьном курсе: Развивают конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки. Способствуют прочному закреплению теоретического материала курса. Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам: Систематический курс геометрии кл. Решение задач на построение выполняет свои указанные выше функции лишь при условии, когда школьники отчетливо поймут и прочно усвоят известный процесс решения этих задач, состоящий из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе: Рассмотрим на примере следующей задачи на построение реализацию указанных этапов. Построив одну из заданных сторон, находим третью вершину, предварительно выделив условия, каким она удовлетворяет: Следующий метод задач на построение — метод координат 8 класс или алгебраический метод. Он сводится к построению фигур на координатной плоскости, исходя из имеющихся уравнений этих фигур. У школьников он особых проблем не вызывает в силу его алгоритмичности, достаточно широкого знакомства с ним как на уроках алгебры, так и геометрии. Метод движений сводится к подбору такого движения, в результате которого образуется некоторая вспомогательная фигура, удовлетворяющая двум условиям: Что такое задача на построение? Когда она считается решенной? Какова роль задач на построение в школьном курсе? В чем суть основных этапов решения задач на построение? Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии. Роль материала о многоугольниках в обучении математике. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном курсе математики. Методические рекомендации по изучению многоугольников. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах. К этому блоку относится следующий материал: Учение о четырехугольниках 8 класс: Учение о многоугольниках 9 класс. Само определение многоугольника и его частных видов производится в основном с двух позиций: Определение четырехугольника и выделение различных их видов. Доказательства существования каждого вида. Свойства и признаки каждого вида. В конце изучения — классификация. Здесь понятия трапеции и параллелограмма — несовместимы объемы этих понятий не пересекаются трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны Бескин Н. Какие три содержательных блока можно выделить в данной теме? Каковы методические особенности изучения признаков и свойств параллелограмма? Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии. Методические особенности изложения отдельных вопросов. Метод геометрических преобразований и возможности его использования при решении задач. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану: Доказательство специфических свойств данного вида преобразований. Строить образы фигур при том или ином геометрическом преобразовании. Распознавание точек и фигур, определяющих это преобразование. Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов: Задания для самостоятельной работы: В чем суть Эрлангенской программы Ф. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в школьном курсе? Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии? Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе? Каковы методические особенности изучения преобразований подобия? Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне. Векторы в школьном курсе математики. Место темы в программе. Анализ содержания и подходов к его изложению. Методика изучения отдельных вопросов. Изучение векторов в курсе стереометрии. Происходит обобщение знаний учащихся об арифметических и алгебраических операциях. Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе: Рассмотреть вектор как направленный отрезок А. Основное понятие для векторов в пространстве рассматриваются аналогично. Центральным вопросом является введение координат вектора. Можно предложить следующую схему: Итог — определение координат вектора. Далее закрепляем определение на примерах. Переходим к доказательству этого факта. Материал, связанный с векторами разделяется на две большие группы вопросов: Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей: Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей: Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания. Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты: Составление векторного равенства и его преобразование. Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и его решение. Объяснение геометрического смысла найденного решения. Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения векторов в школьном курсе? Какие возможности введения понятия вектора в школьном курсе можно выделить? Каково содержание данной темы в школьных учебниках? Методика изучения координат вектора и операций над ними. Каковы методические особенности изучения скалярного произведения векторов? Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом? Методика изучения геометрических величин в школьном курсе математики. Различные подходы к изучению объёмов многогранников и тел вращения. Методические особенности изучения площадей поверхностей тел вращения. При этом фактически задаётся соответствие между множеством фигур и множеством положительных действительных чисел так, что выполняются следующие свойства: Равные фигуры имеют равные величины инвариантность, относительно движения ; Величина фигуры, являющая объединением нескольких фигур без общих внутренних точек, равные сумме величин этих фигур аддитивность ; Существует фигура единичный отрезок, единичный квадрат, единичный куб , величина которого равна 1 нормированность. Скалярные геометрические величины могут вводиться либо: Показывается возможность вычисления величины произвольных многоугольных и многогранных фигур путём их разбиения на треугольники и тетраэдры и независимость их от способа разбиения, то есть теорема о существовании и единственности на классе многоугольных многогранных фигур. Строится функция, обладающая свойствами 1 -3 с помощью описания процесса нахождения по фигуре F её величины: Теорема Бойяи — Гервина: Важность линии геометрических величин определяется следующими моментами. На данном материале, как правило, реализуется метод опорного элемента при решении задач В школьном курсе математики изучаются следующие скалярные величины: На этом этапе происходит переход от вычислительно-прикладного аспекта к формально-логическому. Можно выделить следующие четыре подхода к изучению площадей: Сравнение площадей подход Адамара В основе подхода - теорема о том, что площади или объёмы 2-х прямоугольников прямоугольных параллелепипедов , имеющих равные основания, относятся между собой как их высоты. После рассмотрения основных допущений о площадях вводится понятие об измерении площади прямоугольника при помощи сетки квадратов последовательно для случаев, когда обе стороны выражаются через единичный отрезок как: Первый вариант - косвенный. Глаголева является модификацией предыдущего варианта. Показывается, что V пирамиды является общим пределом последовательности объёмов ступенчатых многогранников при неограниченном увеличении количества составляющих призм: Значит, достаточно вычислить объём ступенчатой фигуры. Объём ступенчатой фигуры вычисляется как сумма объёмов и подобных призм. Для объёма простого тела рассматривается общий подход: Объём наклонной призмы и пирамиды. Площади сечений полушара и второй фигуры равны: Четвертый подход — формула Симпсона Том Симпсон — английский математик 18 века. Достоинства метода — его универсальность, недостаток — формальное введения. Общий подход по Минковскому немецкий математик. Площадь произвольной выпуклой поверхности определяется таким образом: Основан на идеи исчерпывания уч. Киселёва, Погорелова новое издание. Для шара Основан на развёртках уч. Перечислите основные скалярные геометрические величины, изучаемые в школьном курсе. Какими свойствами обладает любая скалярная величина? Какую роль играет понятие равносоставленности в теории площадей и объектов? Каковы основные цели изучения линии геометрических величин в школьном курсе? Что известно учащимся о геометрических величинах из пропедевтического курса математики? Каковы методические подходы к изучению длин отрезков в школьном курсе? Какие подходы используются в основной школе при изучении длины окружности и площади круга? В чём суть метода исчерпывания при построении теории объёмов многогранников? Интегральный подход к нахождению объёмов геометрических тел. Нахождение объёмов с помощью принципа Кавальери и формулы Симпсона. Структура курса стереометрии и его специфические особенности. Развитие пространственных представлений школьников на уроках стереометрии. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии: В изучении стереометрии в школе можно выделить два основных этапа: Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем: Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве. Площадь поверхностей и объем геометрических тел. Изображение пространственных фигур на плоскости. В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии. Выделим некоторые методические особенности изучения стереометрии. Курс стереометрии полностью опирается на курс планиметрии. В стереометрии принципиально другой подход к геометрическим построениям. При изучении аксиоматики стереометрии необходимо решить две основные методические задачи: Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома: В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Формирование пространственных представлений идет в несколько этапов и включает в себя:
Как пережить роды и схватки
Составить план проверки
Как сделать фаталити в мортал комбат x
Питер разводные мосты расписание 2017
Приказ на установление цен на услуги