Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Решение задач
2. Комбинаторика. Основы теории групп
Комбинаторика: основные правила и формулы.
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо , либо " можно осуществить способами. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами. Составим декартово произведение множеств и , то есть множество пар ,. Размещениями из элементов по называются такие выборки, которые, имея по элементов, выбранных из числа данных элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем. Если , то - число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками. Их число находится по формуле. Выборки из элементов, взятых из данных , отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по. Число таких сочетаний находится. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два. В соревнованиях на первенство университета по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской? При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречался с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч, а по олимпийской только - 7 четыре встречи в финала, две - в полуфинале и одна в финале. В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз. Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как. Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится следующим образом:. Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы новых "слов", но буква "М" употребляется в "слове" 2 раза, "А" - 3 раза, "Т" - 2 раза, оставшиеся три буквы - по разу. Следовательно, искомое число будет в раз меньше, чем , и равно. Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается через число сочетаний без повторений:. В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному? Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями.
Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, то есть дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, то есть ю способами. Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать? Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии? Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера— составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик? Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые выборка с возвращением , задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: Следовательно, число перестановок с повторениями равно. Присылайте свои замечания и предложения на на электронную почту. Мы всегда рады ответить на все ваши вопросы. Главная Учебные материалы Английский язык Информатика Информационные технологии Русский язык Математика Литература История Немецкий язык Педагогика Экономика Физика Физкультура Кубановедение Учебные игры Задания Тест знаний Фасетный тест Поле знаний Матрица знаний Формула знаний Словарь знаний Пробелы в знаниях Кроссворд знаний В поисках знаний Школьные годы Контакты Вход. Правила сложения и умножения в комбинаторике Правило суммы. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного? Решение Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, то есть дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных? Решение Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Решение Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4: Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить способами. Элементы теории делимости Неравенства с параметром Дробно-рациональные неравенства Делимость чисел Квадратные неравенства. Пишите нам Присылайте свои замечания и предложения на на электронную почту. Последние материалы Основы логики Лингвистические мифы и основания реалистической лингвистики. Заключение Вопрос о языковой картине мира. Ссылки Учебные материалы Задания.
На что можно постелить линолеум
Порвала целку огурцом
Радиатор на газель старого образца
Отчет об оценке интеллектуальной собственности
Прицеп мзса 817701 технические характеристики