Functors and natural transformations (Continue) เราจะมารู้เรื่อง Category $\Bbb{Rel}$ กัน
แต่ก่อนจะเข้าใจเรื่อง Relation ได้ ต้องเท้าความเรื่อง Category of Set ก่อน
กำหนดให้มี Category $\Bbb{Set}$
ที่มี Object เป็น $Set$ (s) ต่างๆ
มี Morphism เป็น function(s)
มี Identity Morphism เป็น $1_x=x$ (หรือ $f\ x=x$ )
ถ้ามี $1_x(a)=a$
มี Composition ...
$$\begin{align}\text{let }&f:x\to y\\&g:y\to z\\g\circ f\ x&=g(f\ x)\end{align}$$
มี idl และ idr คือ...
$$\begin{align}\text{let }&f:x\\&1_x\circ f=f\tag{idl}\\ &f\circ 1_y=f\tag{idr}\end{align}$$
จากนั้นเรากำหนดให้มี Category $\Bbb{Rel}$ ซึ่งเป็น Category ของ Relation
โดยที่มี Object เป็น Set(s)
มี Morphism ที่เรียกว่า Relation (ไม่ใช่ function แล้วนะ)
[!info]
การตั้งชื่อ Category เราสามารถตั้งชื่อตาม Object หรือว่า Morphism ก็ได้ เช่น
Category $\Bbb{Set}$ ตั้งชื่อตาม Object Set(s)
Category $\Bbb{Rel}$ ตั้งชื่อตาม Morphism Relation(s)
Relation & Category of Relation $$\begin{align}
\text{let A and B are sets}\\\
A=&\{a,b,c\}\\\
B=&\{1,2\}\\\
C=&\{k,l,m\}
A\times B=&\{\ (a,1),(b,2),(c,3)\\\
&,\ (b,1),(b,2),(b,3)\\\
&,\ (c,1),(c,2),(c,3)\ \}
\end{align}$$
^592363
เราสามารถเรียก $A\times B$ ได้ว่า Catesian Product ได้ด้วย
แล้วสรุปว่า Relation คืออะไร?
Relation จะคล้ายกับ Function แต่จะแตกต่างกันตรงที่
Relation น้้น แต่ละ Domain แต่ละตัวจะ map ไปหา Co-domain กี่ตัวก็ได้ (0 ก็ได้)
แต่ Function จะ map Domain ไปหา Co-domain ได้แค่ตัวเดียวเท่านั้น
จาก[[#^592363|ข้างบน]] เรามี Set $A\times B$ แล้ว
เราสามารถเขียน subset ของ $A\times B$ ได้ เช่น $C={(b,2),(c,1),(c,2)}$
เพราะว่าสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใน C ก็มีอยู่ใน $A\times B$ ด้วย
ยกตัวอย่างเรื่อง Subset
ถ้า $X\subseteq Y$ แล้ว $x\in X \to y\in X$
[!info]
ถ้าเรามี $X\subset Y$ หมายความว่า $X\subseteq Y\land X\neq Y$ หรือ X ต้องน้อยกว่า Y นั่นเอง
$\therefore$ เวลาเราพูดถึง subset เรามักหมายถึง $\subseteq$ มากกว่าครับ
แล้วถ้าเรามี $R:A\to B$ อ่านว่า Relation R จาก A ไป B
[!info]
ข้างบนเป็นการเขียนแบบ Category Theoric
หากจะเขียนแบบ Set Theoric จะเขียนได้ว่า $R\subseteq A\times B$
$$\begin{align}
\text{Identity }1_A&:A\to A\tag{Cat Theoric}\\\
1_A&\subseteq A\times A\tag{Set Theoric}\\\
\text{it'll be defined as } 1_A&=\{(x,x)\ |\ x\in A\}\\\
\therefore 1_A&=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}
\end{align}$$
โดยที่ [[#^592363|Set A อยู่ข้างบน]] เราจะได้ Identity ตามภาพนี้ ซึ่ง Morphism $1_A$ มันก็คือ Function นั่นเอง (แต่จริงๆ ลูกศรมันเลี้ยวกลับมาหา object ตัวเดิมนะ)
![[Relation Identity.png]]
$$\text{let }R:A\to B,\ S:B\to C$$
