Инженерная и компьютерная графика
Касательная к графику функции
Касательная. Задачи на касательную
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.
Точка излома
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.
Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач в том числе и задач с параметрами можно использовать метод касательной. Можно дать и другое определение касательной к кривой. Между понятием касательной и понятие производной имеется тесная связь. Геометрический смысл производной можно выразить так: Укажем случаи, когда функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не имеет и производной. Особо отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную производную рис. Можно указать два способа решения таких задач. Находим общие точки графиков, т. При его выполнении получаем абсциссы точек касания. Записав условие касания получим Ответ: Является ли прямая касательной к графику функции? Если является, то найти координаты точки касания. Из условия следует, что должны выполняться равенство , где - возможная абсцисса точки касания. Если теперь составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой из двух найденных точек, то окажется, что в точке как раз и получится. Значит, точка касания имеет координаты 1; К графику функции проведена касательная, параллельная прямой. Найти ординату точки касания. Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению. Значит, - абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания преобразуем выражение, задающее функцию: Написать уравнение всех касательных к графику функции , параллельных прямой. Далее составляем уравнение касательной для каждой точки. Найти все значения , при каждом из которых касательная к графикам функций и в точках с абсциссой параллельны. Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций в точке с абсциссой равен. Следовательно, все искомые значения будут корнями уравнения , откуда. Используя формулу разности синусов углов, будем иметь. Решая полученное уравнение, получаем Найти расстояние между касательными к графику функции , расположенными параллельно оси. Найдем критические точки заданной функции: Так как, производная в точках и равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими абсциссами, параллельны оси. Найдем значения функций в этих точках. Итак, расстояние d между касательными, параллельными оси , равно С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о нахождении кратчайшего расстояния между графиком некоторой функции f x и прямой. Во многих случаях удается найти касательную к графику , параллельную данной прямой и делящую плоскость на две части, в одной из которых расположен график функции, а в другой — заданная прямая. Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от точки М до прямой. Приведем алгоритм решения этой задачи. Решаем относительно t уравнение и для каждого его решения t записываем соответствующую касательную в виде. Написать уравнение всех касательных к графику функции , проходящих через точку М 2; Уравнение касательной в точке с абсциссой t имеет вид. Так как эта касательная проходит через точку 2; -2 , то , откуда. Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику функции через точку и секущей, проходящей через точки касания. Уравнение дает два решения: Таким образом, точки K 1 1;1 и K 2 4;2 являются точками касания. Говорят, что прямая является общей касательной графиков функции и , если она касается как одного, так и другого графиков но совершенно не обязательно в одной и той же точке. Например, прямая является общей касательной графиков функций в точке М 2; 5 и в точке K 0,5; Заметим, что графики функций и имеют в точке их пересечения М х 0 ; у 0 общую невертикальную касательную тогда и только тогда, когда. Доказать, что параболы и имеют в их общей точке общую касательную. Найти уравнение этой общей касательной. Далее составляем уравнение касательной. В завершении рассмотрим решение еще нескольких задач на касательную с параметром. При каких значениях параметра касательная к графику функции в точке проходит через точку 2;3? Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке: Так как эта прямая проходит через точку 2;3 , то имеет место равенство , откуда находим: Может ли касательная к кривой в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным направлением оси? В любой точке, в которой функция определена, производная отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а так как он отрицателен, то угол тупой. Найти значение параметра , при котором касательная к графику функции в точке проходит через точку М 1;7. По условию эта касательная проходит через точку М 1;7 , значит, , откуда получаем: При каких значениях параметра прямая является касательной к графику функции? Из условия следует, что должно выполнятся равенство где абсцисса точки касания. Значит, и связаны между собой равенством 1. Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке Из условия следует, что должно выполняться равенство. Решив это уравнение, получим. Тогда из 1 получаем, что. При каком значении прямая является касательной у графику? Так как прямая является касательной к графику функции , то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке, то есть , откуда , следовательно, - абсцисса точки касания. Найдем теперь из условия равенства значений функций и при. При каких значениях параметра а касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью о x , образуют между собой угол 60 о? В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно использовать геометрический смысл производной, то есть угловые коэффициенты касательных. Таким образом, получаем, что , то. Во втором случае , поэтому угол между касательной АО и остью ох равен о. Значит, угловой коэффициент касательной равен tg o , то есть он равен. Таким образом, получаем, что , то есть Ответ: Начала математического анализа в задачах [Текст]: Изд-во ГОУ ОМГПУ, Алгебра и начала анализа. Основные термины генерируются автоматически: Правила оформления статей Оплата и скидки googletag. Полезная информация Спецвыпуски Правила оформления Оплата и скидки Вопрос — ответ Отзывы и защиты наших авторов. Шмидт Надежда Михайловна Рубрика: Скачать электронную версию Скачать Часть 3 pdf. Задачи образовательных учреждений в формировании правового сознания молодежи. Информационные задачи профессиональной деятельности экономиста. Понятие о педагогической этике и её задачи. Правила оформления статей Оплата и скидки. Подпишитесь на нашу рассылку:
Тест на тип личности экстраверт или интроверт
Как приманить к себе деньги манкой
Сколько по времени варятся грудки
Найдите значение выражения 49 5 2
Печь на отработке схема
Приказо порядке проведения соут