Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств. В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции. Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии — это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции. Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом первый случай , множеством чисел второй случай , отрезком третий случай , интервалом четвертый случай , открытым лучом пятый случай , объединением числовых промежутков шестой случай и т. Начнем с самого простого случая: Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке [a; b] будет отрезок. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке. Производная положительна для всех x из интервала -1; 1 , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Мы получили область значений функции арксинуса. Найдите множество значений функции на отрезке [1; 4]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке. Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]: Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках: Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок. Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и или пределы на бесконечности то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности. Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках. Определите множество значений функции на интервале -2; 2. Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток -2; 2: Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы: Таким образом, множество значений функции на интервале -2; 2 есть. Производная функции тангенса на интервале положительна , что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала: Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел. Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента. На этом интервале производная положительна , это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности: Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел. Найдите область значений функции. Эта функция определена для всех действительных значений x. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции. Посмотрим на поведение функции на бесконечности: Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю. Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю точке максимума значения функции возрастают от нуля до девяти до максимума функции , а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля. Теперь хорошо видно, что область значений функции есть. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение. Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть,. Сначала найдем множество значений функции на открытом луче. Производная функции отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем. Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений. Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности. Действуем аналогично для открытого луча. На этом промежутке функция тоже убывает. Множество значений функции на этом промежутке есть множество. Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и. Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции. Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем. Отрезку принадлежат две точки экстремума и. Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение: В разделе основные элементарные функции, их свойства и графики Вы можете посмотреть области значений степенной, показательной, логарифмической функции, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотренная выше теория позволяет проверить приведенные области значений основных элементарных функций. Рекомендуем запомнить эти данные, так как они достаточно часто используются. Знание областей значений основных элементарных функций позволяет находить области значений функций, полученных из основных элементарных с помощью геометрических преобразований графиков. Найдите область значения функции. Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, или в другой записи. Функция может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому,. Функция получается из растяжением втрое вдоль оси Оy , то есть,. И последняя стадия преобразований — это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству. Таким образом, искомая область значений есть. Приведем решение еще одного примера, но без пояснений они не требуются, так как полностью аналогичны. Определите область значений функции. Запишем исходную функцию в виде. Областью значений степенной функции является промежуток. Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить классификацию точек разрыва функции. Функция определена для всех действительных значений x. При стремлении к 3 слева значения функции стремятся к минус единице, а при стремлении x к 3 справа значения функции стремятся к плюс бесконечности. Таким образом, область определения функции разбиваем на три промежутка. На промежутке имеем функцию. Так как , то. Таким образом, множество значений исходной функции на промежутке есть [-6;2]. То есть, множество значений исходной функции на промежутке состоит из единственного элемента. Эта функция убывающая, так как , причем убывает она от плюс бесконечности до нуля но нуля не достигает, а лишь асимптотически стремиться к нему , так как. Объединяем результаты и получаем искомую область значений функции. Функция определена для всех действительных значений аргумента. Выясним промежутки возрастания и убывания функции. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах. Вычислим соответствующие минимум и максимум функции: Проверим поведение функции на бесконечности: Второй предел вычисляли по правилу Лопиталя. При изменении аргумента от минус бесконечности до -1 значения функции убывают от плюс бесконечности до -2e , при изменении аргумента от -1 до 3 значения функции возрастают от -2e до , при изменении аргумента от 3 до плюс бесконечности значения функции убывают от до нуля, но нуля не достигают. Из рисунка отчетливо видно, что. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Область значений функции множество значений функции. Необходимые понятия и примеры нахождения. Посмотрите на схематический рисунок. Это нас приводит к двойному неравенству Таким образом, искомая область значений есть. Так как , то Таким образом, множество значений исходной функции на промежутке есть [-6;2].
Ю онли ван перевод
Перец фишт описание фото
Конституционное право республики беларусь шпаргалка