傾向スコアがバランシングスコアであることの証明

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\documentclass{jarticle}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}

\title{傾向スコアがバランシングスコアであることの証明}
\author{fhiyo}
\date{October 2020}

\newcommand{\indep}{\mathop{\perp\!\!\!\!\perp}}

\begin{document}

\maketitle

傾向スコア$e(x) := p(z=1 | x)$がバランシングスコアであることを証明する。
($z$は割付けの指標であり$z \in \{0, 1\}$, $x$は共変量)

$e(x)$がバランシングスコアであることを示すには、定義から$z \indep x | e(x)$を示せば良い。条件付き独立の定義から、

\begin{align*}
&z \indep x | e(x)\\
\iff &p(z | x, e(x)) = p(z | e(x))
\end{align*}

であるので、以下では $p(z | x, e(x)) = p(z | e(x))$を証明する。

$e(x)$は$x$にのみ依存するので、$z \indep e(x) | x$, つまり
\begin{align}
p(z|x, e(x)) = p(z|x) \label{1}
\end{align}
である。また、

\begin{align*}
p(z | e(x)) &= 1 \times p(z=1|e(x)) + 0 \times p(z=0|e(x))\\
&= E[z|e(x)]\\
&= E[E[z|x,e(x)]|e(x)] \tag{2}\label{2}\\
&= E[e(x)|e(x)]\\
&= e(x)\\
&= p(z|x) \tag{3}\label{3}
\end{align*}

となる。ここで、(\ref{2})の等号は以下のように示される。

\begin{align*}
E[E[A|B,C]|B] &= E[\left ( \int ap(a|b,c) da \right ) | B]\\
&= \int \left ( \int ap(a|b,c) da \right ) p(c|b) dc \tag{4}\label{4}\\
&= \int \int ap(a|b,c)p(c|b) da dc\\
&= \int \int ap(a,c|b) dc da\\
&= \int ap(a|b) da\\
&= E[A|B]
\end{align*}

((\ref{4})のように変形できるのは、$\int ap(a|b,c) da$は$b$で条件付けられているもとではcの関数だからである)

よって、(\ref{1})、(\ref{3})より題意は示された。


\end{document}

proof.pdf

pdfプレビューの日本語表示がおかしいのでtexファイルを追加した