henrydatei/TR-Rechner.tex

## TR-Rechner.tex
\documentclass{article}

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[left=2.1cm,right=3.1cm,bottom=3cm,footskip=0.75cm,headsep=0.5cm]{geometry}
\usepackage{enumerate}
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\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.10}
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\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-qtree}
\usetikzlibrary{patterns,arrows,calc,decorations.pathmorphing,backgrounds, positioning,fit,petri,decorations.fractals,trees,cd,automata,babel,shapes.geometric,arrows.meta,bending}

\usepackage{varwidth}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\renewcommand*{\arraystretch}{1.4}

\newcommand{\taste}[1]{\fbox{\begin{varwidth}{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep-2\fboxrule\relax}#1\end{varwidth}}}

\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}
\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}

\title{\textbf{Unbekannte Funktionen des CASIO fx-991DEX}}
\author{\textsc{Henry Haustein}}
\date{}

\begin{document}
	\maketitle

	\section{Menü 1: Berechnungen}

	\subsection{Integration und Ableitung}

	Der Taschenrechner kann bestimmte Integrale lösen, indem man die \taste{$\int^\square_\square\,\blacksquare$}-Taste (oberste Reihe, 3. von links) drückt und mittels der Navigationstasten die Lücken füllt.
	\begin{align}
		\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x \notag
	\end{align}
	ist 9.

	Die Alternativbelegung (\taste{SHIFT} + \taste{$\int^\square_\square\,\blacksquare$}) dieser Taste kann die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen.
	\begin{align}
		\left.\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\left({{x}}^{2}\right)\right|_{x=4}\notag
	\end{align}
	ist 8.

	\subsection{Gleichungen lösen}

	Um eine Gleichung zu lösen, muss man erst die Gleichung eingeben, das = erzeugt man mit \taste{ALPHA} + \taste{CALC}, das $x$ mittels \taste{ALPHA} + \taste{)}. Anschließend muss man \taste{SHIFT} + \taste{CALC} drücken, um die Gleichung zu lösen. Der Taschenrechner fragt in einem dunkel hinterlegtem Feld nach einem Startwert. Dieser kann frei gewählt werden, beeinflusst aber welche Lösung bei einer Gleichung mit mehreren Lösungen gefunden wird. \\
	Um die Gleichung $5x=4$ zu lösen gibt man ein:
	\begin{align}
		5x=4 \notag
	\end{align}
	und drückt \taste{SHIFT} + \taste{CALC}. Als Startwert kann man z.B. 0 eingeben. Wenn man nun die \taste{=}-Taste unten rechts drückt, so zeigt der Taschenrechner das Ergebnis $x=0,8$ und die Differenz zwischen linker und rechter Seite der Gleichung $L-R=0$ an.

	Hat die Gleichung nun mehrere Lösungen, so wird der Taschenrechner nur eine Lösung anzeigen; erst eine Veränderung des Startwertes sorgt dafür, dass auch eine andere Lösung gefunden werden kann.
	\begin{align}
		x^2 = 9 \notag
	\end{align}
	mit dem Startwert 2 gibt die Lösung $x=3$ aus, aber wenn der Startwert auf $-2$ gesetzt wird, kommt als Lösung $x=-3$ raus.

	\subsection{Division mit Rest}

	Das Ermitteln des Restes bei folgender Division $9\div 2$ (lässt sich auch schreiben als $9\equiv x \mod 2$) geht im Taschenrechner mittels der \taste{$\div\text{R}$}-Taste (\taste{ALPHA} + \taste{$\frac{\blacksquare}{\square}$})
	\begin{align}
		9 \div\text{R}2\notag
	\end{align}
	und gibt 4;R=1 aus. Das Ergebnis dieser Division ist also 4 und es bleibt ein Rest von 1.

	\subsection{größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches}

	Die Funktionen größter gemeinsamer Teiler (\textit{greatest common divisior}, GCD) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (\textit{least common multiple}, LCM) sind recht selbsterklärend. Der ggT(36,24) ist
	\begin{align}
		\text{GCD}(36;24) \notag
	\end{align}
	und ist 12. GCD ist \taste{ALPHA} + \taste{$\times$}, das Semikolon bekommt man mit \taste{SHIFT} + \taste{)}.

	Ähnliches gilt für das kgV(8,6). Man gibt
	\begin{align}
		\text{LCM}(8;6) \notag
	\end{align}
	ein und erhält 24. LCM ist \taste{ALPHA} + \taste{$\div$}.

	\subsection{Auswahl von $k$ Elementen aus $n$ Elementen (Binomialkoeffizient)}

	Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ lässt sich mittels der Funktion nCr (das C steht für \textit{Combinations}) ermitteln. Beim 6-aus-49-Lotto werden aus 49 Zahlen 6 gezogen. Es gibt also $\binom{49}{6}$ Möglichkeiten. Diesen Binomialkoeffizient kann der Taschenrechner so errechnen
	\begin{align}
		49\text{\textbf{C}}6 \notag
	\end{align}
	und ergibt 13 983 816. Das \textbf{C} erhält man mit \taste{SHIFT} + \taste{$\div$}.

	Die Funktion nPr (das P steht für \textit{Permutations}, hat aber nichts mit der Permutation aus Statistik 1 zu tun!) berechnet die Anzahl an Möglichkeiten für eine Variation ohne Zurücklegen. Wenn man 7 Hotelgäste auf 10 Zimmer verteilen will, gibt es $\frac{10!}{(10-7)!}$ Möglichkeiten. Der Taschenrechner kann das mittels
	\begin{align}
		10\text{\textbf{P}}7 \notag
	\end{align}
	ausrechnen und ermittelt 604 800 Möglichkeiten. Das \textbf{P} erzeugt man mittels \taste{SHIFT} + \taste{$\times$}.

	\subsection{Zufallszahlen}

	Der Taschenrechner kann reelle, gleichförmig verteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1] erzeugen.
	\begin{align}
		\text{Ran}\# \notag
	\end{align}
	erzeugt eine solche Zahl. Ran\# bekommt man mittels \taste{SHIFT} + \taste{,}.

	Eine ganzzahlige, gleichförmige Zufallszahl im Intervall $[a,b]$ gibt RanInt zurück. Man erhält es durch \taste{ALPHA} + \taste{,}
	\begin{align}
		\text{RanInt}(1;5) \notag
	\end{align}

	\section{Menü 2: Komplexe Zahlen}

	Die imaginäre Einheit $i$ erhält man durch drücken der Taste \taste{ENG}. Das funktioniert aber nur im \texttt{Menü 2:Komplexe Zahlen}.

	\subsection{Argument/Phase}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 1 erhält man Arg( im Eingabemenü. Man kann so das Argument einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
		\text{Arg}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert 45 und meint 45$^\circ$. Im Auslieferungszustand ist die Winkeleinheit noch auf Grad gestellt, über \taste{SHIFT} + \taste{MENU} kann man unter 2 die Winkeleinheit auf Bogenmaß setzen. In diesem Fall wäre das Ergebnis dann $\frac{1}{4}\pi$.

	\subsection{Konjugierte komplexe Zahl}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 2 erhält man Conjg( im Eingabemenü. Man kann so das konjugiert komplexe einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
		\text{Conjg}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert $1-i$.

	\subsection{Real- und Imaginärteil}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 3 bzw. \taste{OPTN} $\to$ 4 erhält man ReP( bzw. ImP( im Eingabemenü. Man kann so den Realteil bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
		\text{ReP}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert 1. Analog liefert ImP($1+1i$) auch 1.

	\subsection{Umwandlung algebraische Form $\Leftrightarrow$ Exponentialform}

	Über \taste{OPTN} $\downarrow$ 1 kann man eine Zahl von ihrer algebraischen Form in ihre Exponentialform umwandeln. Wenn man $1+1i$ in ihrer Exponentialform haben will, gibt man ein
	\begin{align}
		1+1i \blacktriangleright r\angle\theta \notag
	\end{align}
	und erhält $\sqrt{2}\angle \frac{1}{4}\pi$. Dies steht für $\sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}}$.

	Hat man eine komplexe Zahl in ihrer Exponentialform $2\cdot e^{\frac{\pi}{2}}$ und möchte dies in die algebraische Form umwandeln, so gibt man ein
	\begin{align}
		2\angle\frac{\pi}{2}\blacktriangleright a+bi \notag
	\end{align}
	und erhält $2i$. Das Symbol $\angle$ erhält man mit \taste{SHIFT} + \taste{ENG}, $\blacktriangleright a+bi$ gibt es bei \taste{OPTN} $\downarrow$ 2.

	\section{Menü 6: Statistik}

	\subsection{Korrelationskoeffizient nach Bravis und Pearson}

	Um dem Korrelationskoeffizienten nach Bravis und Pearson auszurechnen, gibt es keine direkte Funktion; man nutzt lineare Regression, welche den Korrelationskoeffizienten mit ausgibt. Im \texttt{Menü 6:Statistik} wählt man \texttt{2:$y=a+bx$} und gibt seine Daten ein. Über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{4:Regression} zeigt es unter anderem einen Wert für $r$ an. Dieser Wert ist der Korrelationskoeffizient nach Bravis und Prearson.

	\subsection{Lineare Regression}

	Man geht hier sehr ähnlich vor und wählt auch \texttt{2:$y=a+bx$}. Nach der Dateneingabe geht es über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{4:Regression} zu den ermittelten Werten für $a$ und $b$ in der Regressionsgeraden $y=a+bx$. Der Wert $r$ ist der Korrelationskoeffizient nach Bravis und Pearson. Will man die durch diese Gerade erklärte Streuung $R^2$ (siehe Marketing), so muss man $r$ noch quadrieren.

	\subsection{Mittelwert, Varianz, Quantile und Co. für univariate Datenmengen}

	Im Statistik-Menü wählt man diesmal \texttt{1:1 Variable} und gibt seine Daten ein. Über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{3:1-Variab-Berech} erhält man:
	\begin{itemize}
		\item $\overline{x}$: Mittelwert
		\item $\sum x$: Die Summe der eingegebenen Werte
		\item $\sum x^2$: Die Summe der eingegebenen quadrierten Werte
		\item $\sigma^2 x$: Die empirische Varianz $\tilde{s}^2$
		\item $\sigma x$: Die empirische Standardabweichung $\tilde{s}$
		\item $s^2 x$: Die Stichprobenvarianz $s^2$
		\item $sx$: Die Stichprobenstandardabweichung $s$
		\item $n$: Die Anzahl der eingegebenen Werte
		\item $\min(x)$: Das Minimum der eingegebenen Werte
		\item $Q_1$: Das 25\%-Quantil/unteres Quantil/$\tilde{x}_{0.25}$ - \textcolor{red}{Achtung! In bestimmten Fällen berechnet der Taschenrechner das Quantil anders als es in der Vorlesung Statistik 1 gelehrt wird.}
		\item Med: Der Median/$\tilde{x}_{0.5}$
		\item $Q_3$: Das 75\%-Quantil/oberes Quantil/$\tilde{x}_{0.75}$ - \textcolor{red}{Achtung! In bestimmten Fällen berechnet der Taschenrechner das Quantil anders als es in der Vorlesung Statistik 1 gelehrt wird.}
		\item $\max(x)$: Das Maximum der eingegebenen Werte
	\end{itemize}

	\subsection{Mittelwert, Varianz, Quantile und Co. für bivariate Datenmengen}

	Auch hier geht man einen Umweg über die lineare Regression. Man wählt \texttt{2:$y=a+bx$} und gibt seine Daten ein und wählt \taste{OPTN} $\to$ \texttt{3:2-Variab-Berech.} Der Output ist vergleichbar wie bei einer univariaten Datenmenge, es kommen nur noch die Summen
	\begin{itemize}
		\item $\sum xy$
		\item $\sum x^3$
		\item $\sum x^2y$
		\item $\sum x^4$
	\end{itemize}
	hinzu.

	\section{Menü 7: Verteilungsfkt.}

	\subsection{Dichte und kumulierte Dichte}

	Der Taschenrechner erlaubt es, die Dichte (PDF, \textit{probability density function}) und die summierte Dichte (CDF, \textit{cumulative distribution function}) von häufig genutzten Funktionen automatisch zu berechnen. Aktuell können die Dichten der Normal-, Binomial- und Poisson-Verteilung berechnet werden:
	\begin{align}
		f_{normal}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot\sigma}}\cdot\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \notag \\
		f_{binomial}(k) &= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \notag \\
		f_{poisson}(k) &= \frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!} \notag
	\end{align}
	Für die selben Funktionen können auch noch die kumulierten Dichten, also $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t$ berechnet werden
	\begin{align}
		F_{normal}(x) &= \int_{-\infty}^x f_{normal}(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\left[\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right]\right) \notag \\
		F_{binomial}(x) &= \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} f_{binomial}(i) = \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i} \notag \\
		F_{poisson}(x) &= e^{-\lambda}\cdot\sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)}{\lfloor k\rfloor!} \notag
	\end{align}

	Für diese Berechnungen einfach das passende Submenü drücken, Parameter und die Stelle zur Auswertung der Funktion eingeben und \taste{=} drücken.

	\subsection{Inverse Normalverteilung}

	In Statistik 2 wird man häufig Hypothesentests machen müssen. Im einfachsten Fall muss man einen zweiseitigen $t$-Test zu einem Konfidenzniveau von $\alpha = $5 \% machen. Ohne auf die Details einzugehen muss man einen kritischen Wert $x_{kr}$ bestimmen, so dass $\int_{-x_{kr}}^{x_{kr}} f_{normal}(t)\,\mathrm{d}t=1-\alpha$ ist. Dies lässt sich umschreiben zu
	\begin{align}
		\int_{-\infty}^{x_{kr}} f_{normal}(t)\,\mathrm{d}t = 1-\frac{\alpha}{2} \notag
	\end{align}
	Beziehungsweise in unserem Fall suchen wir $x_{kr}$, sodass die blaue Fläche 0,975 groß ist.
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				xmin=-5, xmax=5, xlabel=$x$,
				ymin=0, ymax=.5, ylabel=$y$,
				samples=400,
				axis x line=middle,
				axis y line=middle,
				domain=-5:5,
				]
				\addplot[mark=none,smooth,blue] {1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x^2)};
				\addplot[mark=none,smooth,blue] {0};

				\addplot[mark=none,smooth,blue,name path=A,domain=-5:1.96] {1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*x^2)};
				\addplot[mark=none,smooth,blue,name path=B,domain=-5:1.96] {0};

				\addplot[blue!30] fill between[of=A and B];

				\draw (axis cs: 0,0) -- (axis cs: 0,0.4);
				\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.1) -- (axis cs: 0.1,0.1);
				\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.2) -- (axis cs: 0.1,0.2);
				\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.3) -- (axis cs: 0.1,0.3);

				\draw[dotted] (axis cs: 1.96,0) to (axis cs: 1.96,0.4) node[above] {$x_{kr}$};

			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Für den Taschenrechner ist das kein Problem, wir wählen das Untermenü \texttt{3:Inv. Normal-V.} aus, geben die Fläche und die Parameter der Normalverteilung ein und erhalten $\approx$ 1,96.

	\section{Menü A: Gleichung/Funkt.}

	\subsection{Gleichungssysteme lösen}

	Man wählt \texttt{1:Gleichungssssyst.} und die Zahl an Unbekannten. Nachdem man seine Gleichungen eingegeben hat (auf die Form aufpassen!) kann man mit einem Druck auf \taste{=} (unten rechts) sich das Ergebnis von $x$ und nach erneutem Drücken von \taste{=} das Ergebnis von $y$ anzeigen lassen.

	\subsection{Einfache Analyse von Polynomen}

	Man wählt \texttt{2:Polynom-Gleich.} und den Grad des Polynoms. Das Polynom muss die Form $ax^2+bx+c=0$ haben. Nach Eingabe kann man mittels \taste{=} sich die Nullstellen sowie die Koordinaten des Minima anzeigen lassen. Mit \taste{=} kommt man weiter.

\end{document}
	\documentclass{article}

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	\renewcommand*{\arraystretch}{1.4}

	\newcommand{\taste}[1]{\fbox{\begin{varwidth}{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep-2\fboxrule\relax}#1\end{varwidth}}}

	\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}
	\newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash}p{#1}}
	\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}

	\title{\textbf{Unbekannte Funktionen des CASIO fx-991DEX}}
	\author{\textsc{Henry Haustein}}
	\date{}

	\begin{document}
	\maketitle

	\section{Menü 1: Berechnungen}

	\subsection{Integration und Ableitung}

	Der Taschenrechner kann bestimmte Integrale lösen, indem man die \taste{$\int^\square_\square\,\blacksquare$}-Taste (oberste Reihe, 3. von links) drückt und mittels der Navigationstasten die Lücken füllt.
	\begin{align}
	\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x \notag
	\end{align}
	ist 9.

	Die Alternativbelegung (\taste{SHIFT} + \taste{$\int^\square_\square\,\blacksquare$}) dieser Taste kann die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen.
	\begin{align}
	\left.\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}\left({{x}}^{2}\right)\right\|_{x=4}\notag
	\end{align}
	ist 8.

	\subsection{Gleichungen lösen}

	Um eine Gleichung zu lösen, muss man erst die Gleichung eingeben, das = erzeugt man mit \taste{ALPHA} + \taste{CALC}, das $x$ mittels \taste{ALPHA} + \taste{)}. Anschließend muss man \taste{SHIFT} + \taste{CALC} drücken, um die Gleichung zu lösen. Der Taschenrechner fragt in einem dunkel hinterlegtem Feld nach einem Startwert. Dieser kann frei gewählt werden, beeinflusst aber welche Lösung bei einer Gleichung mit mehreren Lösungen gefunden wird. \\
	Um die Gleichung $5x=4$ zu lösen gibt man ein:
	\begin{align}
	5x=4 \notag
	\end{align}
	und drückt \taste{SHIFT} + \taste{CALC}. Als Startwert kann man z.B. 0 eingeben. Wenn man nun die \taste{=}-Taste unten rechts drückt, so zeigt der Taschenrechner das Ergebnis $x=0,8$ und die Differenz zwischen linker und rechter Seite der Gleichung $L-R=0$ an.

	Hat die Gleichung nun mehrere Lösungen, so wird der Taschenrechner nur eine Lösung anzeigen; erst eine Veränderung des Startwertes sorgt dafür, dass auch eine andere Lösung gefunden werden kann.
	\begin{align}
	x^2 = 9 \notag
	\end{align}
	mit dem Startwert 2 gibt die Lösung $x=3$ aus, aber wenn der Startwert auf $-2$ gesetzt wird, kommt als Lösung $x=-3$ raus.

	\subsection{Division mit Rest}

	Das Ermitteln des Restes bei folgender Division $9\div 2$ (lässt sich auch schreiben als $9\equiv x \mod 2$) geht im Taschenrechner mittels der \taste{$\div\text{R}$}-Taste (\taste{ALPHA} + \taste{$\frac{\blacksquare}{\square}$})
	\begin{align}
	9 \div\text{R}2\notag
	\end{align}
	und gibt 4;R=1 aus. Das Ergebnis dieser Division ist also 4 und es bleibt ein Rest von 1.

	\subsection{größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches}

	Die Funktionen größter gemeinsamer Teiler (\textit{greatest common divisior}, GCD) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (\textit{least common multiple}, LCM) sind recht selbsterklärend. Der ggT(36,24) ist
	\begin{align}
	\text{GCD}(36;24) \notag
	\end{align}
	und ist 12. GCD ist \taste{ALPHA} + \taste{$\times$}, das Semikolon bekommt man mit \taste{SHIFT} + \taste{)}.

	Ähnliches gilt für das kgV(8,6). Man gibt
	\begin{align}
	\text{LCM}(8;6) \notag
	\end{align}
	ein und erhält 24. LCM ist \taste{ALPHA} + \taste{$\div$}.

	\subsection{Auswahl von $k$ Elementen aus $n$ Elementen (Binomialkoeffizient)}

	Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ lässt sich mittels der Funktion nCr (das C steht für \textit{Combinations}) ermitteln. Beim 6-aus-49-Lotto werden aus 49 Zahlen 6 gezogen. Es gibt also $\binom{49}{6}$ Möglichkeiten. Diesen Binomialkoeffizient kann der Taschenrechner so errechnen
	\begin{align}
	49\text{\textbf{C}}6 \notag
	\end{align}
	und ergibt 13 983 816. Das \textbf{C} erhält man mit \taste{SHIFT} + \taste{$\div$}.

	Die Funktion nPr (das P steht für \textit{Permutations}, hat aber nichts mit der Permutation aus Statistik 1 zu tun!) berechnet die Anzahl an Möglichkeiten für eine Variation ohne Zurücklegen. Wenn man 7 Hotelgäste auf 10 Zimmer verteilen will, gibt es $\frac{10!}{(10-7)!}$ Möglichkeiten. Der Taschenrechner kann das mittels
	\begin{align}
	10\text{\textbf{P}}7 \notag
	\end{align}
	ausrechnen und ermittelt 604 800 Möglichkeiten. Das \textbf{P} erzeugt man mittels \taste{SHIFT} + \taste{$\times$}.

	\subsection{Zufallszahlen}

	Der Taschenrechner kann reelle, gleichförmig verteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1] erzeugen.
	\begin{align}
	\text{Ran}\# \notag
	\end{align}
	erzeugt eine solche Zahl. Ran\# bekommt man mittels \taste{SHIFT} + \taste{,}.

	Eine ganzzahlige, gleichförmige Zufallszahl im Intervall $[a,b]$ gibt RanInt zurück. Man erhält es durch \taste{ALPHA} + \taste{,}
	\begin{align}
	\text{RanInt}(1;5) \notag
	\end{align}

	\section{Menü 2: Komplexe Zahlen}

	Die imaginäre Einheit $i$ erhält man durch drücken der Taste \taste{ENG}. Das funktioniert aber nur im \texttt{Menü 2:Komplexe Zahlen}.

	\subsection{Argument/Phase}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 1 erhält man Arg( im Eingabemenü. Man kann so das Argument einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
	\text{Arg}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert 45 und meint 45$^\circ$. Im Auslieferungszustand ist die Winkeleinheit noch auf Grad gestellt, über \taste{SHIFT} + \taste{MENU} kann man unter 2 die Winkeleinheit auf Bogenmaß setzen. In diesem Fall wäre das Ergebnis dann $\frac{1}{4}\pi$.

	\subsection{Konjugierte komplexe Zahl}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 2 erhält man Conjg( im Eingabemenü. Man kann so das konjugiert komplexe einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
	\text{Conjg}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert $1-i$.

	\subsection{Real- und Imaginärteil}

	Über \taste{OPTN} $\to$ 3 bzw. \taste{OPTN} $\to$ 4 erhält man ReP( bzw. ImP( im Eingabemenü. Man kann so den Realteil bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl berechnen.
	\begin{align}
	\text{ReP}(1+1i) \notag
	\end{align}
	liefert 1. Analog liefert ImP($1+1i$) auch 1.

	\subsection{Umwandlung algebraische Form $\Leftrightarrow$ Exponentialform}

	Über \taste{OPTN} $\downarrow$ 1 kann man eine Zahl von ihrer algebraischen Form in ihre Exponentialform umwandeln. Wenn man $1+1i$ in ihrer Exponentialform haben will, gibt man ein
	\begin{align}
	1+1i \blacktriangleright r\angle\theta \notag
	\end{align}
	und erhält $\sqrt{2}\angle \frac{1}{4}\pi$. Dies steht für $\sqrt{2}\cdot e^{\frac{\pi}{4}}$.

	Hat man eine komplexe Zahl in ihrer Exponentialform $2\cdot e^{\frac{\pi}{2}}$ und möchte dies in die algebraische Form umwandeln, so gibt man ein
	\begin{align}
	2\angle\frac{\pi}{2}\blacktriangleright a+bi \notag
	\end{align}
	und erhält $2i$. Das Symbol $\angle$ erhält man mit \taste{SHIFT} + \taste{ENG}, $\blacktriangleright a+bi$ gibt es bei \taste{OPTN} $\downarrow$ 2.

	\section{Menü 6: Statistik}

	\subsection{Korrelationskoeffizient nach Bravis und Pearson}

	Um dem Korrelationskoeffizienten nach Bravis und Pearson auszurechnen, gibt es keine direkte Funktion; man nutzt lineare Regression, welche den Korrelationskoeffizienten mit ausgibt. Im \texttt{Menü 6:Statistik} wählt man \texttt{2:$y=a+bx$} und gibt seine Daten ein. Über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{4:Regression} zeigt es unter anderem einen Wert für $r$ an. Dieser Wert ist der Korrelationskoeffizient nach Bravis und Prearson.

	\subsection{Lineare Regression}

	Man geht hier sehr ähnlich vor und wählt auch \texttt{2:$y=a+bx$}. Nach der Dateneingabe geht es über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{4:Regression} zu den ermittelten Werten für $a$ und $b$ in der Regressionsgeraden $y=a+bx$. Der Wert $r$ ist der Korrelationskoeffizient nach Bravis und Pearson. Will man die durch diese Gerade erklärte Streuung $R^2$ (siehe Marketing), so muss man $r$ noch quadrieren.

	\subsection{Mittelwert, Varianz, Quantile und Co. für univariate Datenmengen}

	Im Statistik-Menü wählt man diesmal \texttt{1:1 Variable} und gibt seine Daten ein. Über \taste{OPTN} $\to$ \texttt{3:1-Variab-Berech} erhält man:
	\begin{itemize}
	\item $\overline{x}$: Mittelwert
	\item $\sum x$: Die Summe der eingegebenen Werte
	\item $\sum x^2$: Die Summe der eingegebenen quadrierten Werte
	\item $\sigma^2 x$: Die empirische Varianz $\tilde{s}^2$
	\item $\sigma x$: Die empirische Standardabweichung $\tilde{s}$
	\item $s^2 x$: Die Stichprobenvarianz $s^2$
	\item $sx$: Die Stichprobenstandardabweichung $s$
	\item $n$: Die Anzahl der eingegebenen Werte
	\item $\min(x)$: Das Minimum der eingegebenen Werte
	\item $Q_1$: Das 25\%-Quantil/unteres Quantil/$\tilde{x}_{0.25}$ - \textcolor{red}{Achtung! In bestimmten Fällen berechnet der Taschenrechner das Quantil anders als es in der Vorlesung Statistik 1 gelehrt wird.}
	\item Med: Der Median/$\tilde{x}_{0.5}$
	\item $Q_3$: Das 75\%-Quantil/oberes Quantil/$\tilde{x}_{0.75}$ - \textcolor{red}{Achtung! In bestimmten Fällen berechnet der Taschenrechner das Quantil anders als es in der Vorlesung Statistik 1 gelehrt wird.}
	\item $\max(x)$: Das Maximum der eingegebenen Werte
	\end{itemize}

	\subsection{Mittelwert, Varianz, Quantile und Co. für bivariate Datenmengen}

	Auch hier geht man einen Umweg über die lineare Regression. Man wählt \texttt{2:$y=a+bx$} und gibt seine Daten ein und wählt \taste{OPTN} $\to$ \texttt{3:2-Variab-Berech.} Der Output ist vergleichbar wie bei einer univariaten Datenmenge, es kommen nur noch die Summen
	\begin{itemize}
	\item $\sum xy$
	\item $\sum x^3$
	\item $\sum x^2y$
	\item $\sum x^4$
	\end{itemize}
	hinzu.

	\section{Menü 7: Verteilungsfkt.}

	\subsection{Dichte und kumulierte Dichte}

	Der Taschenrechner erlaubt es, die Dichte (PDF, \textit{probability density function}) und die summierte Dichte (CDF, \textit{cumulative distribution function}) von häufig genutzten Funktionen automatisch zu berechnen. Aktuell können die Dichten der Normal-, Binomial- und Poisson-Verteilung berechnet werden:
	\begin{align}
	f_{normal}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot\sigma}}\cdot\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \notag \\
	f_{binomial}(k) &= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \notag \\
	f_{poisson}(k) &= \frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!} \notag
	\end{align}
	Für die selben Funktionen können auch noch die kumulierten Dichten, also $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t$ berechnet werden
	\begin{align}
	F_{normal}(x) &= \int_{-\infty}^x f_{normal}(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\left[\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right]\right) \notag \\
	F_{binomial}(x) &= \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} f_{binomial}(i) = \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i} \notag \\
	F_{poisson}(x) &= e^{-\lambda}\cdot\sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!} = \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)}{\lfloor k\rfloor!} \notag
	\end{align}

	Für diese Berechnungen einfach das passende Submenü drücken, Parameter und die Stelle zur Auswertung der Funktion eingeben und \taste{=} drücken.

	\subsection{Inverse Normalverteilung}

	In Statistik 2 wird man häufig Hypothesentests machen müssen. Im einfachsten Fall muss man einen zweiseitigen $t$-Test zu einem Konfidenzniveau von $\alpha = $5 \% machen. Ohne auf die Details einzugehen muss man einen kritischen Wert $x_{kr}$ bestimmen, so dass $\int_{-x_{kr}}^{x_{kr}} f_{normal}(t)\,\mathrm{d}t=1-\alpha$ ist. Dies lässt sich umschreiben zu
	\begin{align}
	\int_{-\infty}^{x_{kr}} f_{normal}(t)\,\mathrm{d}t = 1-\frac{\alpha}{2} \notag
	\end{align}
	Beziehungsweise in unserem Fall suchen wir $x_{kr}$, sodass die blaue Fläche 0,975 groß ist.
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
	xmin=-5, xmax=5, xlabel=$x$,
	ymin=0, ymax=.5, ylabel=$y$,
	samples=400,
	axis x line=middle,
	axis y line=middle,
	domain=-5:5,
	]
	\addplot[mark=none,smooth,blue] {1/sqrt(2pi)exp(-0.5*x^2)};
	\addplot[mark=none,smooth,blue] {0};

	\addplot[mark=none,smooth,blue,name path=A,domain=-5:1.96] {1/sqrt(2pi)exp(-0.5*x^2)};
	\addplot[mark=none,smooth,blue,name path=B,domain=-5:1.96] {0};

	\addplot[blue!30] fill between[of=A and B];

	\draw (axis cs: 0,0) -- (axis cs: 0,0.4);
	\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.1) -- (axis cs: 0.1,0.1);
	\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.2) -- (axis cs: 0.1,0.2);
	\draw[ultra thin,gray] (axis cs: -0.1,0.3) -- (axis cs: 0.1,0.3);

	\draw[dotted] (axis cs: 1.96,0) to (axis cs: 1.96,0.4) node[above] {$x_{kr}$};

	\end{axis}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Für den Taschenrechner ist das kein Problem, wir wählen das Untermenü \texttt{3:Inv. Normal-V.} aus, geben die Fläche und die Parameter der Normalverteilung ein und erhalten $\approx$ 1,96.

	\section{Menü A: Gleichung/Funkt.}

	\subsection{Gleichungssysteme lösen}

	Man wählt \texttt{1:Gleichungssssyst.} und die Zahl an Unbekannten. Nachdem man seine Gleichungen eingegeben hat (auf die Form aufpassen!) kann man mit einem Druck auf \taste{=} (unten rechts) sich das Ergebnis von $x$ und nach erneutem Drücken von \taste{=} das Ergebnis von $y$ anzeigen lassen.

	\subsection{Einfache Analyse von Polynomen}

	Man wählt \texttt{2:Polynom-Gleich.} und den Grad des Polynoms. Das Polynom muss die Form $ax^2+bx+c=0$ haben. Nach Eingabe kann man mittels \taste{=} sich die Nullstellen sowie die Koordinaten des Minima anzeigen lassen. Mit \taste{=} kommt man weiter.

	\end{document}