Problema con la api routes

gistfile1.rb

# si deseas utilizar el codigo que adjuntas  que es el siguiente
class Api::ResponsesController < ApplicationController
  respond_to :json

  def index
    json_response = {
      models: "hola"
    }
    respond_with json_response
  end

end

namespace :api do
  resources :responses,format: :json
end

# la ruta a la cual tienes que acceder
# es la siguiente liga
http://localhost:3000/api/responses.json

# si por el contrario no quieres especificar la extension puedes utilizar 
# format: 'json' o tambien puedes utilizar el siguiente codigo :

class Api::ResponsesController < ApplicationController

  def index
    json_response = {
      models: "hola"
    }
    render json: json_response
  end
end

namespace :api do
  resources :responses,format: :json
end

## como te comento son tres opciones utilizando respond_with y 
# especificar en tu ruta la extension .json o cambiar
# el format a format: 'json' o utilizar render json: sin el 
# respond_with y el format: :json como simbolo

me quedo perfectamente claro José Heriberto, muchas gracias por tomarte el tiempo.