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@ibaaj ibaaj/p.tex
Created May 14, 2018

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\begin{document}
{\it L'information temporelle} comme par exemple, une dur\'ee minimale ou maximale ou une chronologie entre deux \'ev\'enements $A$ et $B$ (l'\'ev\'enement $A$ est habituellement suivi par l'\'ev\'enement $B$ apr\`es quelques heures)...etc , peut \^etre modelis\'ee par des ensembles flous. Plus pr\'ecis\'ement,
la repr\'esentation des connaissances relatives \`a des \'ev\'enements situ\'es dans le temps est donn\'ee par un intervalle impr\'ecis $A$ au sens de la d\'efinition suivante :
Un intervalle impr\'ecis est un $5$-uplet $A = \langle o , s , e , \alpha , \beta \rangle$ o\`u $o$ est un concept et $\langle s , e , \alpha , \beta \rangle$ est un ensemble flou trap\`ezoidal de noyau $[s , e]$ est de support
$[s - \alpha , e + \beta]$. Dans la suite, $s$ et $e$ sont des dates qu'on note respectivement
$A.s$ et $A.e$.
L'incertitude ou la possibilit\'e (respectivement la n\'ecessit\'e ou la certitude) d'un \'ev\'enement \`a une certaine date, est repr\'esent\'ee num\'eriquement par un nombre r\'eel de l'intervalle $[0 , 1]$.
Dans le cas d'une repr\'esentation par un intervalle impr\'ecis $A$, l'incertitude (respectivement
la n\'ecessit\'e) d'un \'ev\'enement \`a une date $d$ , est donn\'ee par
\begin{equation}\Pi(A(d)) = h_A(d)\end{equation}
\begin{equation}N(A(d)) = 1 - h_{\bar A}(d))\end{equation}
o\`u on a :
- $h_A$ est la fonction d'appartenance de l'ensemble flou sous-jacent \`a l'intervalle impr\'ecis $A$.
- $\bar A$ est un compl\'ementaire flou de l'ensemble flou pr\'ec\'edent, i.e on suppose qu'on a
\begin{equation}\max(h_A(d) , h_{\bar A}(d)) = 1\nonumber\end{equation}
Dans ce qui suit, fixons $A$ et $B$ des intervalles impr\'ecis repr\'esentant des \'ev\'enements situ\'es dans le temps.
$\bullet$ Si $d$ est une date, on pose :
\begin{equation}\Pi(A(d)\vee B(d)) = \max(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation}
\begin{equation}N(A(d)\wedge B(d)) = \min(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation}
$\bullet$ La mod\'elisation des relations temporelles {\it before, after, intersects } s'inspire du formalisme plus g\'en\'eral de [6] :
- La
n\'ecessit\'e (ou la certitude) que la fin de $A$ a eu lieu avant le d\'ebut de $B$ est d\'efinie par :
\begin{equation}N_{es}(A , B) = 1 - \max_{b \leq a}((L(B.s , A.e) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation}
o\`u on a pos\'e :
\begin{equation} L(x , y)) = \left\{\begin{array} {rl}
1 & \qquad \mbox{si} \,\,\, x \leq y \\
\hfill 0\hfill & \qquad \mbox{si} \,\,\, x > y \end{array}\right.\nonumber\end{equation}
La relation temporelle {\it before}, i.e $A$ est avant $B$ , est alors d\'efinie par
\begin{equation}N(A \,\mbox{before}\,B) = N_{es}(A , B)\end{equation}
- La relation temporelle {\it after}, i.e $A$ est apr\`es $B$ , est alors obtenue en permutant les r\^oles de $A$ et $B$ :
\begin{equation}N(A \,\mbox{after}\,B) = N_{es}(B, A)\end{equation}
- De fa\c con similaire, la n\'ecessit\'e que le d\'ebut de $A$ a eu lieu avant la fin de $B$ est donn\'ee par :
\begin{equation}N_{se}(A , B) = 1 - \max_{b \leq a}((L(B.e , A.s) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation}
La relation temporelle {\it intersects}, i.e $A$ et $B$ s'entrecoupent, est alors d\'efinie par
\begin{equation}N(A \,\mbox{intersects}\,B) = \min(N_{se}(B , A) , N_{se}(A , B))\end{equation}
Les auxilliaires modaux sont repr\'esent\'es ....
\end{document}
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