\documentclass[a4paper, 12pt]{article} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} %\usepackage{diagrams} \usepackage[french]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{hyperref} \input xy \xyoption{all} %\usepackage[all]{xy} \usepackage{color} \usepackage{makeidx} \usepackage{hyperref} \makeindex \usepackage{a4wide} %\setlength{\hoffset}{-2,2cm} %\setlength{\voffset}{-1cm} %\setlength{\topmargin}{-5pt} %\setlength{\textheight}{25cm} %\setlength{\textwidth}{18,4cm} %\setlength{\headsep}{10pt} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex} \swapnumbers \numberwithin{equation}{section} \newcommand{\Titre}{Titre} {\theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \newtheorem{defimc}[definition]{\Titre} \newtheorem{definotation}[definition]{D\'efinitions et notations} \newtheorem{notation}[definition]{Notation} \newtheorem{remnot}[definition]{Remarque et notation} \newtheorem{defnot}[definition]{D\'efinition et notation} \newtheorem{terminology}[definition]{Terminologie} \newtheorem{remark}[definition]{Remarque} \newtheorem{remarks}[definition]{Remarques} \newtheorem{proprietes}[definition]{Propri\'et\'es} \newtheorem{example}[definition]{Exemple} \newtheorem{defi}[definition]{D\'efinition} \newtheorem{contexample}[definition]{Contrexemple} \newtheorem{exercice}{Exercice} \newtheorem{examples}[definition]{Exemples} \newtheorem{exampleexer}[definition]{Exemple-Exercice} \newtheorem{examplenot}[definition]{Exemple-Notation} \newtheorem{theomc}[definition]{\Titre} \newenvironment{tmc}[1]{\renewcommand{\Titre}{#1}\begin{theomc}} {\epsilonnd{theomc}} \newenvironment{dmc}[1]{\renewcommand{\Titre}{#1}\begin{defimc}} {\epsilonnd{defimc}} \newtheorem{rappels}[definition]{Rappels} \newtheorem{notations}[definition]{Notations} \newtheorem{proposition}[definition]{Proposition} \newtheorem{proposition-definition}[definition]{Proposition-D\'efinition} \newtheorem{notation-definition}[definition]{D\'efinition-Notation} \newtheorem{lemme}[definition]{Lemme} \newtheorem{lemme-notations}[definition]{Lemme-Notations} \newtheorem{lemme-notation}[definition]{Lemme-Notation} \newtheorem{lemma}[definition]{Lemme} \newtheorem{theorem}[definition]{Th\'eor\eme} \newtheorem{corollary}[definition]{Corollaire} \newtheorem{corollaire}[definition]{Corollaire} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\B}{\mathcal{L}} \newcommand{\K}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\gS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\full}{_{\text{\rm f}}} \newcommand{\epsilonv}{{\rm ev}} \newcommand\norme{\hfill\breakox{$|\hskip-1pt | \hskip-1pt|$}} \newcommand{\Ra}{\Rightarrow} \newcommand{\red}{_{\text{\rm r}}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\oP}{\overline{P}} \newcommand{\resp}{{\it resp.}\/ } \newcommand{\id}{{\hfill\breakox{id}}} \newcommand{\ie}{{\it i.e.}\/ } \newcommand{\epsilong}{{\it e.g.}\/ } \newcommand{\cf}{{\it cf.}\/ } \newcommand{\vect}{{\rm Vect}} \newcommand{\ind}{{{\mathrm{ind}}}} \newcommand{\sn}{$\bullet$} \newcommand{\Aut}{{\rm Aut}} \newcommand{\Hom}{{\rm Hom}} \newcommand{\gog}{\mathfrak{g}} \newcommand{\hoh}{\mathfrak{h}} \newcommand{\X}{\mathcal{X}} \newcommand{\Hol}{\mathcal{H}} \renewcommand{\le}{\leqslant} \renewcommand{\ge}{\geqslant} \newcommand{\bfit}{\fontseries{bx}\fontshape{it}\selectfont} \newcommand{\todo}{{\Large\bf \textcolor{red}{TO DO }}} \newcommand{\sketchy}{{\Large\bf \textcolor{red}{Sketchy }}} \newcommand{\toexplain}{{\Large\bf \textcolor{red}{To explain }}} \newcommand{\tobefixed}{{\Large\bf \textcolor{red}{To be fixed }}} \renewcommand\theenumi{\alph{enumi}} \renewcommand\theenumii{\roman{enumii}} \renewcommand\labelenumi{{\theenumi})} \renewcommand\labelenumii{({\theenumii})} \everymath{\displaystyle} \printindex \newcommand{\Sp}{{\rm Sp}} \newcommand{\M}{{\cal M}} %\newcommand{\Hom}{{\rm Hom}} \newcommand{\Mor}{{\rm Mor}} \renewcommand{\Re}{{\rm Re}} \newcommand{\epsilonnd}{{\rm End}} \newcommand{\bic}{''} \newcommand{\dom}{{\rm dom}} \newcommand{\im}{{\rm im}} \begin{document} {\it L'information temporelle} comme par exemple, une dur\'ee minimale ou maximale ou une chronologie entre deux \'ev\'enements $A$ et $B$ (l'\'ev\'enement $A$ est habituellement suivi par l'\'ev\'enement $B$ apr\es quelques heures)...etc , peut \^etre modelis\'ee par des ensembles flous. Plus pr\'ecis\'ement, la repr\'esentation des connaissances relatives \a des \'ev\'enements situ\'es dans le temps est donn\'ee par un intervalle impr\'ecis $A$ au sens de la d\'efinition suivante : Un intervalle impr\'ecis est un $5$-uplet $A = \langle o , s , e , \alpha , \beta \rangle$ o\u $o$ est un concept et $\langle s , e , \alpha , \beta \rangle$ est un ensemble flou trap\ezoidal de noyau $[s , e]$ est de support $[s - \alpha , e + \beta]$. Dans la suite, $s$ et $e$ sont des dates qu'on note respectivement $A.s$ et $A.e$. L'incertitude ou la possibilit\'e (respectivement la n\'ecessit\'e ou la certitude) d'un \'ev\'enement \a une certaine date, est repr\'esent\'ee num\'eriquement par un nombre r\'eel de l'intervalle $[0 , 1]$. Dans le cas d'une repr\'esentation par un intervalle impr\'ecis $A$, l'incertitude (respectivement la n\'ecessit\'e) d'un \'ev\'enement \a une date $d$ , est donn\'ee par \begin{equation}\Pi(A(d)) = h_A(d)\end{equation} \begin{equation}N(A(d)) = 1 - h_{\bar A}(d))\end{equation} o\u on a : - $h_A$ est la fonction d'appartenance de l'ensemble flou sous-jacent \a l'intervalle impr\'ecis $A$. - $\bar A$ est un compl\'ementaire flou de l'ensemble flou pr\'ec\'edent, i.e on suppose qu'on a \begin{equation}\max(h_A(d) , h_{\bar A}(d)) = 1\nonumber\end{equation} Dans ce qui suit, fixons $A$ et $B$ des intervalles impr\'ecis repr\'esentant des \'ev\'enements situ\'es dans le temps. $\bullet$ Si $d$ est une date, on pose : \begin{equation}\Pi(A(d)\vee B(d)) = \max(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation} \begin{equation}N(A(d)\wedge B(d)) = \min(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation} $\bullet$ La mod\'elisation des relations temporelles {\it before, after, intersects } s'inspire du formalisme plus g\'en\'eral de [6] : - La n\'ecessit\'e (ou la certitude) que la fin de $A$ a eu lieu avant le d\'ebut de $B$ est d\'efinie par : \begin{equation}N_{es}(A , B) = 1 - \max_{b \leq a}((L(B.s , A.e) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation} o\u on a pos\'e : \begin{equation} L(x , y)) = \left\{\begin{array} {rl} 1 & \qquad \mbox{si} \,\,\, x \leq y \\ \hfill 0\hfill & \qquad \mbox{si} \,\,\, x > y \end{array}\right.\nonumber\end{equation} La relation temporelle {\it before}, i.e $A$ est avant $B$ , est alors d\'efinie par \begin{equation}N(A \,\mbox{before}\,B) = N_{es}(A , B)\end{equation} - La relation temporelle {\it after}, i.e $A$ est apr\`es $B$ , est alors obtenue en permutant les r\^oles de $A$ et $B$ : \begin{equation}N(A \,\mbox{after}\,B) = N_{es}(B, A)\end{equation} - De fa\c con similaire, la n\'ecessit\'e que le d\'ebut de $A$ a eu lieu avant la fin de $B$ est donn\'ee par : \begin{equation}N_{se}(A , B) = 1 - \max_{b \leq a}((L(B.e , A.s) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation} La relation temporelle {\it intersects}, i.e $A$ et $B$ s'entrecoupent, est alors d\'efinie par \begin{equation}N(A \,\mbox{intersects}\,B) = \min(N_{se}(B , A) , N_{se}(A , B))\end{equation} Les auxilliaires modaux sont repr\'esent\'es .... \end{document}