p.tex

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\begin{document}  

{\it L'information temporelle}  comme par exemple,  une dur\'ee minimale ou maximale ou  une chronologie entre deux \'ev\'enements $A$ et $B$   (l'\'ev\'enement $A$ est habituellement suivi par l'\'ev\'enement $B$ apr\`es quelques heures)...etc , peut \^etre modelis\'ee par des ensembles flous. Plus pr\'ecis\'ement, 
la repr\'esentation des connaissances relatives  \`a des \'ev\'enements situ\'es dans le temps est donn\'ee par un intervalle impr\'ecis $A$ au sens de la d\'efinition suivante :

Un intervalle impr\'ecis est un $5$-uplet $A = \langle o , s , e , \alpha , \beta \rangle$ o\`u $o$ est un concept et $\langle   s , e , \alpha , \beta \rangle$ est un ensemble flou trap\`ezoidal de noyau  $[s  , e]$ est de support 
$[s - \alpha , e + \beta]$. Dans la suite, $s$ et $e$ sont des dates qu'on note respectivement
$A.s$ et $A.e$.


L'incertitude ou la possibilit\'e (respectivement la n\'ecessit\'e ou la certitude) d'un \'ev\'enement \`a une certaine date,  est repr\'esent\'ee num\'eriquement   par un nombre r\'eel de l'intervalle $[0 , 1]$.

Dans le cas  d'une repr\'esentation par un intervalle impr\'ecis $A$, l'incertitude (respectivement 
la n\'ecessit\'e)   d'un \'ev\'enement \`a une    date $d$ ,  est donn\'ee par   
\begin{equation}\Pi(A(d)) = h_A(d)\end{equation}
\begin{equation}N(A(d)) = 1 - h_{\bar A}(d))\end{equation}
o\`u on a :

 -  $h_A$ est la fonction d'appartenance de l'ensemble flou sous-jacent \`a    l'intervalle impr\'ecis $A$.
 
  -    $\bar A$ est un compl\'ementaire flou de l'ensemble flou pr\'ec\'edent, i.e  on suppose qu'on a  
\begin{equation}\max(h_A(d) , h_{\bar A}(d)) = 1\nonumber\end{equation}
Dans ce qui suit, fixons $A$ et $B$   des intervalles impr\'ecis repr\'esentant des   \'ev\'enements situ\'es dans le temps.

$\bullet$  Si  $d$ est une date, on pose  :
\begin{equation}\Pi(A(d)\vee B(d)) = \max(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation}
\begin{equation}N(A(d)\wedge B(d)) = \min(\Pi(A(d) , \Pi(B(d))\nonumber\end{equation}
$\bullet$ La mod\'elisation des relations temporelles {\it before, after, intersects } s'inspire du formalisme plus g\'en\'eral de [6] :  

 - La 
n\'ecessit\'e (ou la certitude) que la fin de $A$ a eu lieu avant le d\'ebut de $B$ est d\'efinie par :
\begin{equation}N_{es}(A , B) = 1 - \max_{b \leq  a}((L(B.s , A.e) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation} 
o\`u on a pos\'e :
\begin{equation} L(x , y))  = \left\{\begin{array} {rl}
1  & \qquad  \mbox{si} \,\,\,   x  \leq y    \\
\hfill 0\hfill & \qquad  \mbox{si} \,\,\, x   > y \end{array}\right.\nonumber\end{equation}
La relation temporelle {\it before}, i.e $A$ est avant $B$ ,    est alors d\'efinie par  
\begin{equation}N(A \,\mbox{before}\,B) = N_{es}(A , B)\end{equation}
 - La relation temporelle {\it after}, i.e $A$ est apr\`es  $B$ ,   est alors obtenue en permutant les r\^oles de $A$ et $B$ :
\begin{equation}N(A \,\mbox{after}\,B) = N_{es}(B, A)\end{equation}
 -  De fa\c con similaire, la n\'ecessit\'e que le d\'ebut de    $A$ a eu lieu avant la fin de $B$ est donn\'ee par :
\begin{equation}N_{se}(A , B) = 1 - \max_{b \leq  a}((L(B.e , A.s) , \min(h_A(a) , h_B(b)))\end{equation}
La relation temporelle {\it intersects}, i.e $A$ et $B$ s'entrecoupent,   est alors d\'efinie par  
\begin{equation}N(A \,\mbox{intersects}\,B) = \min(N_{se}(B , A) , N_{se}(A , B))\end{equation}

Les auxilliaires modaux sont repr\'esent\'es ....
 
\end{document}