Testcase for bugreport on mathjax node.

testcase-mathjax-node-ee.html

<div style='visibility: hidden; display: none;'>
\[
\newcommand{\ph}{\varphi}
\]
</div>
<h1 id="label_chap_notion_of_ODE"><span class="section__number">1. </span>Понятие дифференциального уравнения </h1><h2 id="label_h2_number_1"><span class="section__number">1. </span>Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям 

</h2>Прежде, чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим
несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.
<h3 id="label_par_1_Malthus"><span class="section__number">1. </span>Рост населения. Мальтузианская модель </h3>Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени $t$ через $x(t)$. Тогда мгновенная скорость роста равна $\frac{dx(t)}{dt}$. Обычно производная по переменной $t$ обозначается точкой $\dot x(t)$, а не штрихом. Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:
<div class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.1}
\dot x(t)=kx(t),
\end{equation}
\]
</div>где $k>0$ — коэффициент пропорциональности (константа).

Зависимость от $t$ обычно опускают, и пишут просто
<div class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.2}
\dot x=kx.
\end{equation}
\]
</div>Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестной величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не вектор (как в линейной алгебре), а функция $x(t)$.

<h3 id="label_h3_number_2"><span class="section__number">2. </span>Рост экономики. Модель Солоу 
</h3>Согласно модели Солоу, скорость прироста капитоловооруженности экономики
(количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в
предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста
населения, описывается формулой
<div class="latex_eq">\[
\dot k=sf(k)-\delta k,
\]
</div>где $k=k(t)$ — капиталовооруженность экономики в момент времени $t$, $s$ —
норма сбережения, $\delta$ — норма выбытия капитала.
<h3 id="label_h3_number_3"><span class="section__number">3. </span>Механическая система. Падающий шарик 

</h3>Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз с ускорением. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.
</p>
<p>
Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени $t$ есть $y(t)$. Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой высоте) действует сила тяжести, равная

<div class="latex_eq">\[
F=-mg,
\]
</div>где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения (примерно равно 
10 м/с<sup>2</sup>),
знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (против направления роста $y$).
</p>
<p>
С другой стороны, второй закон Ньютона гласит, что 
<em>ускорение</em> тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе:
<div class="latex_eq">\[
a=F/m\quad\Leftrightarrow\quad F=ma.
\]
</div>Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначается двумя точками. Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика:
<div class="latex_eq">\[
\ddot y=-g.

\]
</div><h2 id="label_h2_number_2"><span class="section__number">2. </span>Простейшие дифференциальные уравнения 

</h2>Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с
относительно общего определения.
<h3 id="label_h3_number_1"><span class="section__number">1. </span>Дифференциальное уравнение общего вида 

</h3>Дифференциальным уравнением называется соотношение вида
<div id="label_eq_1_general" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.3}

\dot x=f(t, x),
\end{equation}
\]
</div>где $x=x(t)$ — неизвестная функция, $f(t, x)$ — известная функция двух переменных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областью значений неизвестной функции являются вещественные числа $\mathbb R$, но чуть позже обсудим и более сложные случаи, когда $x$ принимает значение в многомерных пространствах.

<em>Решением</em> дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравнение получается верное равенство:
<div class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.4}
\dot \ph(t)=f(t, \ph(t))\quad \forall t\in D(f),
\end{equation}
\]
</div>где $D(f)$ — область определения функции $f$: это может быть вся числовая ось, луч, отрезок, интервал или полуинтервал.

<p><div class="env env__remark"><span class="env-title env-title__remark">Замечание.</span> Мы будем предполагать, что областью определения решения дифференциального
уравнения является связное множество (то есть, например, объединение двух
непересекающихся отрезков запрещено): всё-таки дифференциальные уравнения
пришли из реальных физических задач и описывают модель реального процесса —
трудно представить себе, что функция, описывающая состояние некоторой
системы, была бы сначала определена, потом не определена, а потом снова
определена.
</div></p>
<p>Рассмотрим несколько примеров.

<h3 id="label_h3_number_2"><span class="section__number">2. </span>Нулевая правая часть 

</h3>Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид
<div class="latex_eq">\[
\dot x=0.
\]
</div>Его решениями являются функции $x(t)=C$, где $C$ — любая константа. Действительно, если функция имеет нулевую производную и при этом всюду дифференцируема, то она не меняется и значит равна константе. Заметим, что даже в таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений. Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах.

<h3 id="label_h3_number_3"><span class="section__number">3. </span>Постоянная правая часть 

</h3>Чуть более сложное уравнение:
<div class="latex_eq">\[
\dot x=k,
\]
</div>где $k$ — константа. Это уравнение движения с постоянной скоростью, его решениями являются всевозможные линейные функции
<div class="latex_eq">\[
x(t)=kt+C,
\]
</div>Заметим, что в этом случае констант $C$ задаёт значение функции в начальный момент времени $t=0$.

<h3 id="label_par_1_onlytime"><span class="section__number">4. </span>Правая часть, зависящая только от времени 
</h3>Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция $f(t,x)$ в правой части
<span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.3" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.3/">(1.3)</a></span> на самом деле не зависит от $x$.

<div id="label_eq_1_int" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.5}

\dot x=f(t).
\end{equation}
\]
</div>Задачу отыскания решения такого дифференциального уравнения можно сформулировать следующим образом: <em>для каждого значения независимой переменной $t$ известна проиводная некоторой функции; найти эту функцию</em>. Нетрудно видеть, что это в точности задача интегрирования (отыскания первообразной). Решение такого уравнения задаётся таким образом <em>неопределенным интегралом</em>, который можно записать в виде
<div id="label_eq_1_intsol" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.6}

x(t)=\int f(t) dt=\int_{t_0}^t f(\tau)d\tau+C.

\end{equation}
\]
</div>Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать константу интегрирования явным образом.

<h3 id="label_par_1_Cauchy_problem"><span class="section__number">5. </span>Начальные условия. Задача Коши </h3>

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое <em>начальным условием</em> — значение решение в какой-то момент времени (не обязательно $t=0$) полагают равным константе. 
</p>
<p>
Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена 

<em>задача Коши</em>.
Например, можно рассмотреть такую задачу:

<div id="label_eq_1_Cauchy" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.7}

\dot x=f(t),\quad x(5)=0

\end{equation}
\]
</div>Eё решением будет уже только одна функция:
<div id="label_eq_1_Cauchy_sol" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.8}

x(t)=\int_5^t f(\tau)d\tau
\end{equation}
\]
</div>Действительно, любой интеграл вида <span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.6" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.6/">(1.6)</a></span> является решением уравнения <span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.5" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.5/">(1.5)</a></span>, а значит и функция в <span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.8" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.8/">(1.8)</a></span> им является. Остаётся проверить начальное условие. При подстановке $t=5$ решение $x(5)=\int_5^5 f(\tau)d\tau = 0$, то есть начальное условие выполняется.

<p><div class="env env__question"><span class="env-title env-title__question">Вопрос 1.</span> Каким будет решение уравнения <span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.5" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.5/">(1.5)</a></span> при начальном условии $x(5)=1$?
<div class="quiz">
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_14910_1" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; $x(t)=\int_5^1 f(\tau)d\tau$

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_14910_1">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/incorrect.gif">
            Неверно, эта функция вообще является константой.


        </div>
    </p>
</div>
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_14910_2" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; $x(t)=\int_5^t f(\sigma)d\sigma + 1$

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_14910_2">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/correct.gif">
            Верно!


        </div>
    </p>
</div>
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_14910_3" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; $x(t)=\int_t^t f(\tau)d\tau + 1$

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_14910_3">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/incorrect.gif">
            Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.


        </div>
    </p>
</div>
</div></div></p>
<p><h3 id="label_h3_number_6"><span class="section__number">6. </span>Простейшее линейное уравнение 

</h3>Положим в уравнении роста населения $k=1$. Получим следующее уравнение:
<div id="label_eq_1_xdotx" class="latex_equation">\[
\begin{equation}
\tag{1.9}

\dot x=x
\end{equation}
\]
</div>Какие функции будут его решениями? Словами можно сказать, что условие, накладываемое этим уравнением, звучит так: «Производная функции равна самой этой функции». Одна известная функция обладает таким свойством — это экспонента $x(t)=e^t$. Нетрудно видеть, что если умножить экспоненту на любое число, получающаяся функция $x(t)=Ce^t$ также будет решением этого уравнения. В частности, очевидно, что решением будет функция $x(t)\equiv 0$.

<p><div class="env env__question"><span class="env-title env-title__question">Вопрос 2.</span> Является ли решением уравнения <span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.9" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.9/">(1.9)</a></span> функция $x(t)=e^t+C$ при $C\ne 0$?
<div class="quiz">
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_68ff2_1" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; Да, при любых $C\ne 0$.

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_68ff2_1">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/incorrect.gif">
            Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и
посчитать производную.

        </div>
    </p>
</div>
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_68ff2_2" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; При некоторых $C\ne 0$ является, а при других нет.

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_68ff2_2">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/incorrect.gif">
            Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и
посчитать производную.

        </div>
    </p>
</div>
<a class="glyphicon glyphicon-pencil showdetails" data-toggle="collapse"
 data-target="#quiz_id_68ff2_3" style="font-size: 80%;"></a>
&nbsp; Не является ни при каких $C\ne 0$.

<div class="collapse-group">
    <p>
        <div class="collapse" id="quiz_id_68ff2_3">
            <img src="https://cdn.rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_images/correct.gif">
            Верно, если подставить функцию в уравнение, $C$
уничтожится при дифференцировании в левой части, но не уничтожится в
правой. Таким образом, уравнение
<span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.9" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.9/">(1.9)</a></span> принципиально
отличается от уравнений вида
<span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.5" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.5/">(1.5)</a></span>, рассмотренных ранее.


        </div>
    </p>
</div>
</div></div></p>
<p><p><div class="env env__remark"><span class="env-title env-title__remark">Замечание.</span> Мы пока не доказали, что других решений, кроме перечисленных, у этого
уравнения нет. Мы вернемся к этому вопросу через одну лекцию.
</div></p>
<p><h2 id="label_par_1_geoms"><span class="section__number">3. </span>Геометрические объекты </h2>В рассмотренных выше примерах неизвестная функция $x(t)$ принимала значения во
множестве вещественных чисел. В общем случае функция $x(t)$ может принимать
значения в других множествах — например, в многомерных пространствах. Множество,
в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множество
всевозможных значений $x(t)$ при каком-нибудь фиксированном $t$) называется
<em>фазовым пространством</em> дифференциального уравнения. Множество точек вида
$(t, x)$ (декартово произведение фазового пространсва на ось времени) называется
<em>расширенным фазовым пространством</em>. График решения называется <em>интегральной
кривой
</em>. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве.

Построим некоторые интегральные кривые для уравнения $\dot x=x$. Как мы уже знаем, ими будут графики экспонент.

<div id="label_fig_1_exp" class="figure"><img class="figure img-responsive" src="/odebook/fig/a7/a793de6f96b8df890a0a818710b53ed9/fig.svg"></img><div class="figure_caption">Рис. 1: Графики решений дифференцильного уравнения $\dot x=x$

</div></div>Если бы мы не знали, какие на самом деле решения нашего дифференциального
уравнения (а это наиболее распространенный случай, чаще всего дифференциальные
уравнения не решаются явно), мы всё равно могли бы примерно представить себе,
как выглядят интегральные кривые. Чтобы это сделать, нам нужно построить
<em>поле направлений</em> или <em>поле прямых</em>.
</p>
<p>
Вот что это такое. Возьмём произвольную точку $P=(t_0, x_0)$ расширенного
фазового пространства. Например, $t_0=1$, $x_0=3$. Мы можем провести в точке $P$
касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Действительно,
чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловой
коэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции
равняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, по
определению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения

<span class="ref"><a href="#mjx-eqn-1.9" class="a-ref" title="" data-url="/odebook/eq/1.9/">(1.9)</a></span> правая часть в точке $x$ равна $x$ и значит касательная,
проходящая через точку $P$, имеет угловой коэффициент, равный $x_0=3$. Можно
взять ещё несколько точек на прямой $t=1$ и провести соответствующие касательные
через них. Получится такая картинка, см.
<span class="ref"><a href="#label_fig_1_dirfield1" class="a-ref" title="">рис. 2</a></span>.

<div id="label_fig_1_dirfield1" class="figure"><img class="figure img-responsive" src="/odebook/fig/86/8645fff7eea414c08d890006fb870ca6/fig.svg"></img><div class="figure_caption">Рис. 2: Касательные к решениям

</div></div><p><div class="env env__question"><span class="env-title env-title__question">Вопрос 3.</span> Почему прямые пересекаются в начале координат?

</div></p>
<p>Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям не только в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазового пространства. В данном случае правая часть не зависит от $t$ явно, поэтому через любые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходить параллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этих касательных. 


<div id="label_fig_1_dirfield2" class="figure"><img class="figure img-responsive" src="/odebook/fig/93/9337096c4f7f7cc94a40977bc261e9cb/fig.svg"></img><div class="figure_caption">Рис. 3: Поле направлений

</div></div>На картинке изображены прямые, проходящие через какие-то конкретные точки, но на самом деле такая прямая может быть проведена через любую точку. Вся совокупность этих прямых и будет <em>полем направлений</em>. 

<p><div class="env env__remark"><span class="env-title env-title__remark">Замечание.</span> Часто в этом месте возникает вопрос: прямые, проходящие через
каждую точку плоскости, заполнят собой всю плоскость — значит ли это, что поле
направлений является всей плоскостью? На самом деле, нет: поле направлений не
является
<em>объединением</em> прямых; прямые, проведённые через разные точки, никак не
взаимодействуют друг с другом. Более аккуратно было бы сказать, что поле
направлений — это отображение из расширенного фазового пространства во множество
прямых, проходящих через фиксированную точку. Чтобы это сказать совсем
аккуратно, следовало бы ввести понятие касательного расслоения, но мы этого не
делать не будем.
</div></p>
<p><div id="label_fig_1_dirfield3" class="figure"><img class="figure img-responsive" src="/odebook/fig/bd/bd8f8723b718e9a70b3543e89bb20e31/fig.svg"></img><div class="figure_caption">Рис. 4: Поле направлений и интегральные кривые

</div></div>Теперь задача отыскания решения дифференциального уравнения сводится к такой геометрической задаче: нужно найти кривую, которая в каждой своей точке касается прямой, принадлежащей полю направлений и проходящей через эту точку.
</p>
<p>
Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.