背包问题

Plan to study 9 problem of 背包问题

背包九讲：http://www.cnblogs.com/jbelial/articles/2116074.html
P01: 01背包问题 
题目 
有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第  i件物品的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品
的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 

基本思路 
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v] = max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]] + w[i]}。 

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：
“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为
一个只牵扯前 i - 1 件物品的问题。如果不放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i - 1 件物品放入容量为 v 的
背包中”；如果放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i - 1 件物品放入剩下的容量为 v - c[i] 的背包中”，此时
能获得的最大价值就是 f [i-1][v-c[i]] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i]。 

注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案
并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项
f[i][v-1]，这样就可以保证 f[N] [V] 就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。 

优化空间复杂度 
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。 

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1..N，每次算出来二维数组 f[i][0..V] 的所有值。那么，
如果只用一个数组 f [0..V]，能不能保证第 i 次循环结束后 f[v] 中表示的就是我们定义的状态 f[i][v] 呢？
f[i][v] 是由 f[i-1][v] 和 f[i-1] [v-c[i]] 两个子问题递推而来，能否保证在推 f[i][v] 时（也即在第 i 次
主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的
顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i -1][v-c[i]]的值。伪代码如下： 

for i=1..N 
for v=V..0 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i- 1][v-c[i]]}，
因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了
f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维
数组解01背包问题是十分必要的。 

总结 
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往
也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化
的空间复杂度。