The math remarks regarding reliability.

spm_math.md

Vyhodnocení skladových zásob

Pojmy

Deployed

Počet nasazených kusů dílu daného typu $d(t)$. Může být funkcí času.

Kumulovaná provozní historie

Celkový čas po který jsou díly daného typu provozovány, vynásobeno počtem provozovaných kusů. Pokud se počet kusů v čase mění, je potřeba sčítat jednotlivé časové úseky.

$$C = \sum_i{T_i d_i}$$

Probability distribution function

$$F(t) = P(T\leq t) = \int_0^tf(u)du~{\rm pro}~t>0$$

• $F(t)$ je pravděpodobnost, že díl selže v intervalu $(0, t]$
• $F(t)$ je občas nazývána jako failure function
• $P(t_1<T\leq t_2)=P(T\leq t_2)-P(T\leq t_1)=F(t_2)-F(t_1)$

Probability density function

$$f(t) = \frac{d}{dt}F(t) = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{F(t+\Delta t) - F(t)}{\Delta t}$$

Mějme náhradní díl u kterého se předpokládá exponenciální model poruchovosti se známým odhadem poruchovosti $\lambda$. Potom pravděpodobnost, že za nějaký časový úsek $T$ zaznamenáme $k$ poruch při počtu provozovaných dílů $d$ má poissonovo rozdělení pravděpodobnosti:

$$P(k{\rmeventsin~interval}~T)=e^{-\lambda}{\lambda^k\over k!}$$

viz [1]

Jestliže potřebujeme stanovit počet náhradních dílů pro delší období, pak v případě, že nakoupíme dílů více než je pro dané období potřeba, pak výplatní funkcí je cena nevyužitých dílů. V opačném případě zaplatíme za nalezení nebo vývoj náhrady daného dílu, případně části systému.

Z pohledu výplatní funkce mohou nastat dva případy. A to, že nakoupený počet dílů bude dostatečný

$$L_1 = s p$$ $$L_2 = p r$$

kde $p$ je cena jednoho náhradního dílu, $s$ je počet dílů, které jsme se rozhodli na začítku nakoupit a $r$ je cena kolikrát je cena alternativního řešení vyšší než cena nového dílu.

Potřebujeme vypočítat, pro každý počet dílů a nějaké časové období, kolik bude střední cena daného řešení.

$$E[L] = L_1 P_1 + L_2 P_2$$

Můžeme pak napsat výplatní matici $L(s, f)$ možných případů následovně:

$$ \begin{array}{cccccccc} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6& \ldots\\ 0 & 0 & p & 2p & 3p & 4p & 5p & \ldots\\ 1 & r & 0 & 1p & 2p & 3p & \ldots\\ 2 & r & r & 0 & 1p & \ldots\\ 3 & r & r & r & \ldots\\ 4 & r & r & \ldots\\ 5 & r & \\ \end{array} $$

Ve sloupcích jsou případy pro počty nakoupených kusů, tedy pro jednotlivé strategie a v řádcích jsou uvedeny počty poruch.

Každý z případů, může nastat s nějakou pravděpodobností $P(f)$, která jak víme má poissonovo rozdělení pravděpodobnosti. Potom by ale bylo možné vypočítat střední cenu každé z variant jako:

$$E[s]=\sum_{i=0}^\infty P(f=i) L(s, i) = \sum_{i=0}^sP(f=i) L(s,i) + P(f>s)r$$

Z těchto strategií je dobré vybrat takovou, při které dosahuje střední cena svého minima.

Ve vzorci výše je zřejmé, že druhý sčítanec postupně vymizí, jak bude f vyšší a vyšší. Pokud r dosadíme jako násobek ceny dílu m pak výše uvedenou střední hodnotu dostaneme jako:

$$E[s]=\sum P(f=i)(s-f)p+P(f>s)mp$$

$$E[s]=p\sum P(f=i)(s-f)+P(f>s)m$$

Protože cena dílu je konstanta, tak poloha minima střední ceny závisí jen na poměru ceny jednoho dílu ku ceně alternativního řešení.

Exponenciální rozdělení pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení (probability density function) se dá vyjádřit jako:

$$ f(x|\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}; {\rm pro; } x \geq 0 $$

Konfidenční interval

$${2n \over {\lambda\chi^2_{{\alpha \over 2}, 2n}}} < {1 \over \lambda} < {2n \over {\lambda\chi^2_{1-{n\over 2}, 2n}}}$$

Odhad parametrů exponenciálního rozdělení

Bodový maximum likelihood odhad parametru \lambda se vypočítá jako aritmetický průměr, viz [2].

$$ \hat{\lambda} = {f \over Td}, {\rm nebo} \hat{m} = {Td \over f} $$

Examples

s = f

člověk se občas setká s následujícím názorem: mám v provozu (d) dílů, které provozuji po dobu (T) a za tu dobu jsem zaznamenal (f) poruch, chci-li provozovat stejné zařízení po stejnou dobu (T), musí mi stačit (f) dílů na skladě. Proč jich kupovat více?

Citlivost potřebného počtu nd na změnu parametru lambda

Už víme, že počet náhradních dílů, které je potřeba nakoupit na sklad je možno odhadnout z poissonova rozdělení pravděpodobnosti. Jeho parametr lambda pak v sobě skrývá jak počty nasazených dílů, potřebnou dobu provozu i spolehlivost dílu.

$$ \lambda = \frac{dT}{MTBF} $$

Ze vzorce pro poissonovo rozdělení není závislost mezi \lambda a potřebným počtem dílů ihned patrná. Někdy se ale také používá zjednodušený vztah kde ta závislost je mnohem jasnější:

$$ s = \lambda + N^{-1}(P) * \sqrt(\lambda) $$

Závislost počtu dílů ve skladu s je lineárně závislá na \lambda, zejména pro větší \lamba.

Reference

[1] Poisson distribution. (15 August 2018 05:20 UTC). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 15 August 2018 20:09 UTC

[2] [ČSN IEC 60605-4, Zkoušení bezporuchovosti zařízení -- Část 4: Statistické postupy pro exponenciální rozdělení -- Bodové odhady, konfidenční intervaly, předpovědní intervaly a toleranční intervaly. Vydal Český Normalizační Institut, Praha, 2002]