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## transcripcion.tex
\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[english]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{teo}{Teorema}[section]
\begin{document}

% \section{}, sec [tab]
% math italics: $x$
% formula centrada:  \begin{equation} \label{xxx} º\end{equation}

\section{Operadores Diferenciales Actuando sobre Funciones Monogénicas Generalizadas que Satisfacen Ecuaciones Diferenciales con Lados Derechos Anti-Monogénicos}

Se introduce el operador diferencial $l$,
\begin{equation}
\label{eleu}
    lu := Du - F(x, u),
\end{equation}

$u \in C^1(\Omega, A)$ y $F(x, u)$ es una funcion antimonogenica de la forma (2.2).
Considerando el Operador diferencial $L$,

\begin{eqnarray}
\label{elegrandeu}
    Lu(t, x) &:=& \sum_{A,B,i} c_{B,i}^{(A)}(t,x) \partial_{x_i} u_B (t,x) e_A \\
             &+&  \sum_{A,B} d_B^{(A)}(t,x)u_B(t,x)e_A
                + \sum_{A}g_A(t,x)e_A,
\end{eqnarray}

actuando sobre el espacio de funciones definido como el kernel del operador diferencial $l$ definido por (3.1). Asume que los coeficientes del operador $L$ son valores reales y continuamente diferenciables con respecto a $x$ y dependen continuamente de $t$. Asume, además, que los coeficientes del operador $l$ son independientes de $t$ y continuamnete diferenciables con respecto a $x$.

Ahora determinamos las condiciones suficientes para los coeficientes de $L$ bajo los cuales $L$ es asociado a $l$. Suponga que $u$ es una solución a una ecuación diferencial

\begin{equation}
\label{luigual0}
    lu = 0.
\end{equation}

Entonces las derivadas de los componentes $u_A$ con respecto a $x_0$ pueden ser representadas por (2.8). Sea

\begin{equation}
\label{lsub0u}
    L_{0u} := L_u - G(t, x).
\end{equation}

Entonces en vista de (3.1) tenemos
\begin{eqnarray}
    l(Lu) &=& D(Lu) - F(x, Lu)
       \\ &=& D(L_{0u} + G) - F(x, Lu)
       \\ &=& D(L_{0u}) + D(G) - F(x, Lu)
\end{eqnarray}

Se introducen las funciones

\begin{eqnarray}
% primera linea
    \Gamma_1^{(\alpha)} (\beta, \mu, \gamma) &=& c_{\beta,\mu}^{(\alpha)}
                                                - \sum_{\gamma}{
                                                    k_{\mu\beta\gamma}
                                                    c_{\gamma,0}^{(\alpha)}
                                                }\\
% end primera linea
% segunda linea
    \Gamma_2^{(\alpha)} (\beta, \gamma)     &=& \sum_{\beta} {
                                                f_{\gamma \beta} c_{\beta,0}^{(\alpha)}
                                                + d_{\gamma}^{(\alpha)}
                                            }\\
% end segunda linea
% tercera linea
    \Gamma_3^{(\alpha)}(\beta, x_m, \gamma) &=& \sum_{\beta} {
                                                    \partial_{x_m}
                                                    \big(
                                                        f_{\gamma \beta} c_{\beta,0}^{(\alpha)}
                                                    \big)
                                                    + \partial_{x_m}d_{\gamma}^{(\alpha)}
                                                }
% end tercera linea
\end{eqnarray}

dependiendo del los coeficientes de los operadores $L$ y $l$ y las constantes $k_{\mu \beta \gamma}$ definidas por (2.4), donde $\alpha, \beta, \gamma \in S$ y $u = 1, ..., n$.

% check this too
"En la secuela ? // continuando ?? " calcularemos las expresiones $D(L_{0u})$, $D(G)$ y $F(x, Lu)$ en (3.4). Reemplazando (2.8) en $L_{0u}$ y reordenando se obtiene

\begin{equation}
    L_{0u} = \sum_{A,D} \big\{
        \sum_{j=1}^n
            \Gamma_{1}^{(A)} (D, j, B) \partial_{xj}u_D
            + \Gamma_{2}^{(A)} (B, D)u_D
    \big\}e_A
\end{equation}


Aplicando $D$ en ambos lados de (3.5), usando (2.8) y (2.4) en la expresion resultante y reordenando da

\begin{eqnarray}
    D(L_0u) \\
    &=& \sum_{A,F}{
        \sum_{i,j=1}^n \big\{
            \sum_E k_{iEA} \Gamma_{1}^{(E)}(F, j, B)
            - \sum_{D} k_{iFD} \Gamma_{1}^{(A)}(D, j, B)
        \big\} \partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F e_A
    } \\
    &+& \sum_{A,D}
        \sum_{j=1}^{n} \big\{
            \partial_{x_0} \Gamma_{1}^{(A)} (D, j, B) \\
            &+& \sum_E \big[
                \sum_{m=1}^{n} k_{m E A} \partial_{x_m} \Gamma_{1}^{(E)} (D, j, B)
                + f_{DE}\Gamma_{1}^{(A)} (E, j, B) \\
            &+& k_{jEA} \Gamma_{2}^{(E)} (B, D)
                - k_{jDE} \Gamma_{2}^{(A)} (B,E)
            \big]
        \big\} \partial_{x_j} u_D e_A \\
    &+& \sum_{A,D} \big\{
        \Gamma_{3}^{(A)}(B, x_0, D) + \sum_E \big[
            f_{DE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E) \\
            &+& \sum_{m = 1} \big(
                k_{mEA}\Gamma_{3}^{(E)} (B, x_m, D)
                + \Gamma_{1}^{(A)}(E, m, B) \partial_{x_m}f_{DE}
            \big)
        \big]
    \big\} u_D e_A
\end{eqnarray}


Es facil mostrar que

\begin{equation}
    D(G) = \sum_{A}
        \big(
            \partial_{x_0 g_A} + \sum_E \sum_{m=1}^n k_{mEA} \partial_{x_m} g_E
        \big)
\end{equation}

Usando (3.5), (3.2) puede ser reescrita como

\begin{equation}
    Lu = \sum_{A} (Lu)_{A} e_A
\end{equation}

Donde
\begin{equation}
    (Lu)_A = \sum_D {
        \big[
            \sum_{j=1}^n {
                \Gamma_{1}^{(A)} (D, j, H) \partial_{x_j} u_D
                + \Gamma_{2}^{(A)} (L, D) u_D
            }
        \big] + g_A
    }
\end{equation}

Entonces

\begin{eqnarray}
    F(x, Lu) &=& \sum_A {
        F_A(x) (Lu)_A (t,x)
    } \\
    &=& \sum_A {
        \big(
            \sum_B {
                f_{AB}(x) e_B
            }
        \big) (Lu)_A(t,x)
    }
\end{eqnarray}

e intercamvbiando A y B en la ultima sumatoria obtenemos

\begin{equation}
    F(x, Lu) = \sum_{A, B} f_{BA}(x) (Lu)_{B} (t,x) e_A.
\end{equation}

Sustituyendo (3.6), (3.7) y (3.9) en (3.4) y reacomodando da la siguiente combinación lineal de $\partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F$, $\partial_{x_i} u_D$, $u_D$ y 1.

\begin{eqnarray}
    l(Lu) &=& \sum_{A,F}{
            \sum_{i, j = 1}^n{
                X_{A,F,i,i} \partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F e_A
            }
        }
        + \sum_{A, D} {
            \sum_{j = 1}^n{
                Y_{A,D,j,} \partial_{x_i} u_D e_A
            }
        } \\
        &+& \sum_{A, D} {
            Z_{A,D} u_D e_A
        }
        + \sum_{A} {
            W_A e_A
        },
\end{eqnarray}

Donde

\begin{eqnarray}
    X_A,F,i,j   &=& \sum_{E} {
                        k_{iEA} \Gamma_{1}^{(E)} (F,i,B)
                    } - \sum {
                        k_{iFD} \Gamma_{1}^{(A)} (D,j, B)
                    }, \\
    Y_{A,D,j}   &=& \partial_{x_0} \Gamma_{1}^{(A)} (D, j B) \\
                &+& \sum_{E} {
                    \big\{
                        \sum_{m=1}^n {
                            k_{mEA} \partial_{x_m} \Gamma_{1}^{(E)} (D, j B)
                            + f_{DE} \Gamma_{1}^(A) (E, j, B)
                        }
                } \\
                &-& f_{EA} \Gamma_{1}^{(E)}(D, j, B)
                    + k_{jEA} \Gamma_{2}^{(E)} (B, D,)
                    - k_{jDE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E)
                    \big\}, \\
    Z_{A, D}    &=& \sum_{3}^{(A)} (B, x_0, D)
                    + \sum_{E} {
                        \big\{
                            f_{DE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E)
                            - f_{EA} \Gamma_{2}^{(A)} (B, D)
                    } \\
                    &+& \sum_{m=1}^{n} {
                        \big[
                            k_{mEA} \Sigma_{3}^{(E)} (B,x_m, D)
                            + \Sigma_{1}^(A) (E, m, B) \partial_{x_m} f_{DE}
                        \big]
                    \big\}
                    }, \\
    W_{A}       &=& \partial_{x_0} g_A + \sum_{E} {
                        \big(
                            \sum_{m=1}^{n}{
                                k_{mEA} \partial_{x_m} g_E
                                - f_{EA} g_E
                            }
                        \big)
                    }
\end{eqnarray}

\begin{teo}
    $(L, l)$ forma un par asociado en el caso en que los coeficientes satisfagan los sistemas
    \begin{eqnarray}
        X_{A,F,i,j} &=& 0,\ para\ todo\ A, F \in S\ y\ todo\ i,j = 1,2,...,n\ con\ i \leq j, \\
        Y_{A,D,j}   &=& 0,\ para\ todo\ A, D \in S\ y\ todo\ j = 1,2,...,n, \\
        Z_{A,D}     &=& 0,\ para\ todo\ A, D \in S \\
        W_{A}       &=& 0,\ para\ todo\ A \in S \\
    \end{eqnarray}
\end{teo}

Remark 3.2. Es facilmente visto que $lG = \sigma_A W_A e_A$. por consiguiente, la condicion (3.14) es necesaria y suficiente para que el coeficiente $G(t,x)$ sea solucion de la ecuacion (3.3).


\end{document}
	\documentclass[a4paper]{article}

	\usepackage[english]{babel}
	\usepackage[utf8x]{inputenc}
	\usepackage{amsmath}
	\usepackage{amssymb}
	\usepackage{amsthm}
	\newtheorem{teo}{Teorema}[section]
	\begin{document}

	% \section{}, sec [tab]
	% math italics: $x$
	% formula centrada: \begin{equation} \label{xxx} º\end{equation}

	\section{Operadores Diferenciales Actuando sobre Funciones Monogénicas Generalizadas que Satisfacen Ecuaciones Diferenciales con Lados Derechos Anti-Monogénicos}

	Se introduce el operador diferencial $l$,
	\begin{equation}
	\label{eleu}
	lu := Du - F(x, u),
	\end{equation}

	$u \in C^1(\Omega, A)$ y $F(x, u)$ es una funcion antimonogenica de la forma (2.2).
	Considerando el Operador diferencial $L$,

	\begin{eqnarray}
	\label{elegrandeu}
	Lu(t, x) &:=& \sum_{A,B,i} c_{B,i}^{(A)}(t,x) \partial_{x_i} u_B (t,x) e_A \\
	&+& \sum_{A,B} d_B^{(A)}(t,x)u_B(t,x)e_A
	+ \sum_{A}g_A(t,x)e_A,
	\end{eqnarray}

	actuando sobre el espacio de funciones definido como el kernel del operador diferencial $l$ definido por (3.1). Asume que los coeficientes del operador $L$ son valores reales y continuamente diferenciables con respecto a $x$ y dependen continuamente de $t$. Asume, además, que los coeficientes del operador $l$ son independientes de $t$ y continuamnete diferenciables con respecto a $x$.

	Ahora determinamos las condiciones suficientes para los coeficientes de $L$ bajo los cuales $L$ es asociado a $l$. Suponga que $u$ es una solución a una ecuación diferencial

	\begin{equation}
	\label{luigual0}
	lu = 0.
	\end{equation}

	Entonces las derivadas de los componentes $u_A$ con respecto a $x_0$ pueden ser representadas por (2.8). Sea

	\begin{equation}
	\label{lsub0u}
	L_{0u} := L_u - G(t, x).
	\end{equation}

	Entonces en vista de (3.1) tenemos
	\begin{eqnarray}
	l(Lu) &=& D(Lu) - F(x, Lu)
	\\ &=& D(L_{0u} + G) - F(x, Lu)
	\\ &=& D(L_{0u}) + D(G) - F(x, Lu)
	\end{eqnarray}

	Se introducen las funciones

	\begin{eqnarray}
	% primera linea
	\Gamma_1^{(\alpha)} (\beta, \mu, \gamma) &=& c_{\beta,\mu}^{(\alpha)}
	- \sum_{\gamma}{
	k_{\mu\beta\gamma}
	c_{\gamma,0}^{(\alpha)}
	}\\
	% end primera linea
	% segunda linea
	\Gamma_2^{(\alpha)} (\beta, \gamma) &=& \sum_{\beta} {
	f_{\gamma \beta} c_{\beta,0}^{(\alpha)}
	+ d_{\gamma}^{(\alpha)}
	}\\
	% end segunda linea
	% tercera linea
	\Gamma_3^{(\alpha)}(\beta, x_m, \gamma) &=& \sum_{\beta} {
	\partial_{x_m}
	\big(
	f_{\gamma \beta} c_{\beta,0}^{(\alpha)}
	\big)
	+ \partial_{x_m}d_{\gamma}^{(\alpha)}
	}
	% end tercera linea
	\end{eqnarray}

	dependiendo del los coeficientes de los operadores $L$ y $l$ y las constantes $k_{\mu \beta \gamma}$ definidas por (2.4), donde $\alpha, \beta, \gamma \in S$ y $u = 1, ..., n$.

	% check this too
	"En la secuela ? // continuando ?? " calcularemos las expresiones $D(L_{0u})$, $D(G)$ y $F(x, Lu)$ en (3.4). Reemplazando (2.8) en $L_{0u}$ y reordenando se obtiene

	\begin{equation}
	L_{0u} = \sum_{A,D} \big\{
	\sum_{j=1}^n
	\Gamma_{1}^{(A)} (D, j, B) \partial_{xj}u_D
	+ \Gamma_{2}^{(A)} (B, D)u_D
	\big\}e_A
	\end{equation}


	Aplicando $D$ en ambos lados de (3.5), usando (2.8) y (2.4) en la expresion resultante y reordenando da

	\begin{eqnarray}
	D(L_0u) \\
	&=& \sum_{A,F}{
	\sum_{i,j=1}^n \big\{
	\sum_E k_{iEA} \Gamma_{1}^{(E)}(F, j, B)
	- \sum_{D} k_{iFD} \Gamma_{1}^{(A)}(D, j, B)
	\big\} \partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F e_A
	} \\
	&+& \sum_{A,D}
	\sum_{j=1}^{n} \big\{
	\partial_{x_0} \Gamma_{1}^{(A)} (D, j, B) \\
	&+& \sum_E \big[
	\sum_{m=1}^{n} k_{m E A} \partial_{x_m} \Gamma_{1}^{(E)} (D, j, B)
	+ f_{DE}\Gamma_{1}^{(A)} (E, j, B) \\
	&+& k_{jEA} \Gamma_{2}^{(E)} (B, D)
	- k_{jDE} \Gamma_{2}^{(A)} (B,E)
	\big]
	\big\} \partial_{x_j} u_D e_A \\
	&+& \sum_{A,D} \big\{
	\Gamma_{3}^{(A)}(B, x_0, D) + \sum_E \big[
	f_{DE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E) \\
	&+& \sum_{m = 1} \big(
	k_{mEA}\Gamma_{3}^{(E)} (B, x_m, D)
	+ \Gamma_{1}^{(A)}(E, m, B) \partial_{x_m}f_{DE}
	\big)
	\big]
	\big\} u_D e_A
	\end{eqnarray}


	Es facil mostrar que

	\begin{equation}
	D(G) = \sum_{A}
	\big(
	\partial_{x_0 g_A} + \sum_E \sum_{m=1}^n k_{mEA} \partial_{x_m} g_E
	\big)
	\end{equation}

	Usando (3.5), (3.2) puede ser reescrita como

	\begin{equation}
	Lu = \sum_{A} (Lu)_{A} e_A
	\end{equation}

	Donde
	\begin{equation}
	(Lu)_A = \sum_D {
	\big[
	\sum_{j=1}^n {
	\Gamma_{1}^{(A)} (D, j, H) \partial_{x_j} u_D
	+ \Gamma_{2}^{(A)} (L, D) u_D
	}
	\big] + g_A
	}
	\end{equation}

	Entonces

	\begin{eqnarray}
	F(x, Lu) &=& \sum_A {
	F_A(x) (Lu)_A (t,x)
	} \\
	&=& \sum_A {
	\big(
	\sum_B {
	f_{AB}(x) e_B
	}
	\big) (Lu)_A(t,x)
	}
	\end{eqnarray}

	e intercamvbiando A y B en la ultima sumatoria obtenemos

	\begin{equation}
	F(x, Lu) = \sum_{A, B} f_{BA}(x) (Lu)_{B} (t,x) e_A.
	\end{equation}

	Sustituyendo (3.6), (3.7) y (3.9) en (3.4) y reacomodando da la siguiente combinación lineal de $\partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F$, $\partial_{x_i} u_D$, $u_D$ y 1.

	\begin{eqnarray}
	l(Lu) &=& \sum_{A,F}{
	\sum_{i, j = 1}^n{
	X_{A,F,i,i} \partial_{x_i} \partial_{x_j} u_F e_A
	}
	}
	+ \sum_{A, D} {
	\sum_{j = 1}^n{
	Y_{A,D,j,} \partial_{x_i} u_D e_A
	}
	} \\
	&+& \sum_{A, D} {
	Z_{A,D} u_D e_A
	}
	+ \sum_{A} {
	W_A e_A
	},
	\end{eqnarray}

	Donde

	\begin{eqnarray}
	X_A,F,i,j &=& \sum_{E} {
	k_{iEA} \Gamma_{1}^{(E)} (F,i,B)
	} - \sum {
	k_{iFD} \Gamma_{1}^{(A)} (D,j, B)
	}, \\
	Y_{A,D,j} &=& \partial_{x_0} \Gamma_{1}^{(A)} (D, j B) \\
	&+& \sum_{E} {
	\big\{
	\sum_{m=1}^n {
	k_{mEA} \partial_{x_m} \Gamma_{1}^{(E)} (D, j B)
	+ f_{DE} \Gamma_{1}^(A) (E, j, B)
	}
	} \\
	&-& f_{EA} \Gamma_{1}^{(E)}(D, j, B)
	+ k_{jEA} \Gamma_{2}^{(E)} (B, D,)
	- k_{jDE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E)
	\big\}, \\
	Z_{A, D} &=& \sum_{3}^{(A)} (B, x_0, D)
	+ \sum_{E} {
	\big\{
	f_{DE} \Gamma_{2}^{(A)} (B, E)
	- f_{EA} \Gamma_{2}^{(A)} (B, D)
	} \\
	&+& \sum_{m=1}^{n} {
	\big[
	k_{mEA} \Sigma_{3}^{(E)} (B,x_m, D)
	+ \Sigma_{1}^(A) (E, m, B) \partial_{x_m} f_{DE}
	\big]
	\big\}
	}, \\
	W_{A} &=& \partial_{x_0} g_A + \sum_{E} {
	\big(
	\sum_{m=1}^{n}{
	k_{mEA} \partial_{x_m} g_E
	- f_{EA} g_E
	}
	\big)
	}
	\end{eqnarray}

	\begin{teo}
	$(L, l)$ forma un par asociado en el caso en que los coeficientes satisfagan los sistemas
	\begin{eqnarray}
	X_{A,F,i,j} &=& 0,\ para\ todo\ A, F \in S\ y\ todo\ i,j = 1,2,...,n\ con\ i \leq j, \\
	Y_{A,D,j} &=& 0,\ para\ todo\ A, D \in S\ y\ todo\ j = 1,2,...,n, \\
	Z_{A,D} &=& 0,\ para\ todo\ A, D \in S \\
	W_{A} &=& 0,\ para\ todo\ A \in S \\
	\end{eqnarray}
	\end{teo}

	Remark 3.2. Es facilmente visto que $lG = \sigma_A W_A e_A$. por consiguiente, la condicion (3.14) es necesaria y suficiente para que el coeficiente $G(t,x)$ sea solucion de la ecuacion (3.3).


	\end{document}