Grundlagen der Mathematik II - Cheatsheet pro Aufgabe

GdMIICs.tex

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\newcommand{\uebungsblatt}{Cheatsheet}
\author{\autoren}
\title{\vorlesung \linebreak \uebungsblatt}
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\begin{document}

\section{Relationen}
\begin{itemize}
\item Symmetrie: $ (a,b) \in \mathbb{R} \to (b,a) \in \mathbb(R) $
\item Transitivität: $ (a,b) \in \mathbb{R} \land (b,c) \in \mathbb{R} \to (a,c) \in \mathbb(R) $
\item Irreflexivität: $ (a,a) \notin \mathbb{R} $
\item Antisymmetrie: $ (a,b) \in \mathbb{R} \land (b,a) \in \mathbb(R) \to a = b $
\item Asymmetrie: $ (a,b) \in \mathbb{R} \to (b,a) \notin \mathbb(R) $
\item konnex: total, $ \forall a, b \in \mathbb{M}\mathbb{E}\mathbb{N}\mathbb{G}\mathbb{E}: (a,b) \in \mathbb{R} \lor (b,a) \in \mathbb{R} $
\item Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv
\end{itemize}

\section{Ordnung}
\begin{itemize}
\item Quasiordnung: $ \mathbb{R} $ ist reflexiv, transitiv
\item Partielle Ordnung: antisymetrische Quasiordnung
\item (totale) Ordnung: konnexe, partielle Ordnung
\item Hassediagramm: für Partielle Ordnung: $ a \leq b $ steht b oberhalb von a. Weglassen von Kanten aus Reflexivität, Transitivität
\item Maximales/Minimales Element: Element einer Teilmenge echt größer/kleiner
\item größtes/kleinstes Element: Element $\geq$ oder $\leq$ alle anderen Elemente
\item untere/obere Schranke: kleinste/größte Elemente
\item Supremum / Infimum: kleinste obere Schranke / größte untere Schranke
\end{itemize}

\section{Metrische Räume}
\subsection*{Axiome für Metriken}
\begin{enumerate}
\item $ d(x,y) \geq 0 $ für alle $ x,y \in \mathbb{M} $
\item $ d(x,y) = 0 $ gdw. $x = y $
\item $ d(x,y) = d(y,x) $ für alle $x,y \in \mathbb{M }$
\item $ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) $ für alle $x,y,z \in \mathbb{M}$ (Dreiecksungleichung)
\end{enumerate}

\subsection*{B((x,y),r)}
$B((x,y) ,r) = {y \in \mathbb{M} | d(x,y) < r } $ offene Kugel.

\section{Folgen}

\subsection*{Definition von Konvergenz}
Einsetzen der Folge $ \mathbb{F} $ in Axiom von Archimedes, danach $ a = \frac{1}{\epsilon} $
\subsubsection*{Archimedisches Axiom}
Für alle $ a \in \mathbb{R} $ gibt es ein $ n \in \mathbb{N} $ mit $ n \geq a $ \newline
Sei $\epsilon > 0$. Zu zeigen: \newline
$\exists N \in \mathbb{N} $ mit $ |\mathbb{F} - 0| < \epsilon \forall n \geq N $ bzw.\newline
$\exists N \in \mathbb{B} $ mit $ \mathbb{F} < \epsilon \forall a \geq N $ \newline

\subsection*{Grenzwerte}
Limes auflösen, d.h. durch höchste Potenz teilen.

\subsection*{rekursive, reelle Folge}
\begin{itemize}
\item Induktion: $\surd$
\item Monoton steigend (Zu zeigen $a_{n+1} \geq a_n $) Ansatz: $\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1$ 
\item konvergent: nach oben beschränkt(Induktion), monoton steigend
\item Grenzwert: $ \exists \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = a $ 
\end{itemize}

\subsection*{Zeigen eines Grenzwertes von $\lim \sum …$}
Sei $s_n = \sum … $ Nun $s_n$ entwickeln. Danach $s_n$ in $\lim$ einsetzen

\subsection*{Zahl als rationaler Bruch}
Zahl als erstes als Bruch schreiben (Folge). Danach geometrische Reihe $\sum\limits_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}$ (für $|x| < 1$). Ausrechnen, kürzen.

\section*{Reihen}
\subsection*{Kriterien}
$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} $ divergiert (Harmonische Reihe). $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} $ konvergiert nach VL.
\subsubsection*{Leibniz-Kriterium}
Zeigen, dass Reihe gegen null Konvergiert. Danach zeigen, dass Reihe eine monotonfallende Nullfolge ist ($n+1 < n < a_n $).  
\subsubsection*{Majorantenkriterium}
Annäherung  ($\leq$) an Majorante z.B. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ (konvergiert nach Vorlesung)
\subsubsection*{Minorantenkriterium}
Annährung ($\geq$) an Minorante z.B.  $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ (divergiert nach Vorlesung)
\subsubsection*{Quotientenkriterium}
$ a_n = \mathbb{A}\mathbb{N}\mathbb{G}\mathbb{A}\mathbb{B}\mathbb{E} $ danach $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ berechnen. Wenn < 1 konvergiert, sonst divergiert.

\subsection*{Konvergenzbereich}
Bereich in dem Folge konvergiert

\section{Trigonometrische Funktionen}
\subsection*{Zahl als Polarkoordinaten}
Gegeben: $ a - b*i $. Sei $ z = r * e ^(i * \phi) $, wobei $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $ (Betrag von $z$)s und $ \phi = \arctan{\frac{b}{a}} $

\subsection*{Polarkoordinaten als Zahl}
Gegeben: $ z = r * e^{a*i*\phi} \Longrightarrow r*(\cos(\phi) + i* \sin(\phi)) $

\subsection*{Sinus und Kosinus}
$sin(x) = \frac{e^{ix} - e ^ {-ix}}{2i}$, sowie $cos(x) = \frac{e^{ix} + e ^ {-ix}}{2}$


\section{Polynomfunktionen}
\subsection*{Polynomdivison}
Nach Schema F.

\subsection*{Lagrange-Interpolation}
$f(a_0) = b_0, f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2 ... f(a_n) = b_n $ \newline
$f(x) = b_0 * \frac{(x-a_1)(x-a_2)..(x-a_n)}{(a_0-a_1)(a_0-a_2)...(a_0-a_n)} +
b_1 * \frac{(x-a_0)(x-a_2)..(x-a_n)}{(a_1-a_0)(a_1-a_2)...(a_1-a_n)} +
b_2 * \frac{(x-a_0)(x-a_1)..(x-a_n)}{(a_2-a_0)(a_2-a_1)...(a_2-a_n)} + ... $
Anwendungshinweis: $a_x$ sind Funktionswerte, $b_x$ Ergebnisse. Im Zähler wird für alle $x-a_n$ bis $n$ durchgezählt, wobei man das $n$ von $b_n$ auslässt. Im Nenner wird für alle $a_x$, wobei x der index von $b_n$ ist, $a_n$ abgezogen. Der Fall $a_n$ $n = x$ wird ausgelassen.

\subsection*{Reelle Polynome}
Punkte gleichsetzen ($g(0) = f(0)$). Funktionsdefinitionen abziehen, $h(x)$ beachten

\subsection*{Stetigkeit}
Sei $\epsilon > 0$. Setze $f(x) = z < \epsilon$. Auflösen nach $\epsilon$


\subsection*{Ableitung mittels Differentialquotenten}
$f'(x) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $

\subsection*{Kurvendiskussion}
\begin{itemize}
\item Symmetrie: $f(x) = f(-x)$ / Punktsymmetrie zum Ursprung: $f(x) = - f(x)$
\item Verhalten im Unendlichen $ \lim\limits_{n \rightarrow \pm\infty} f(x)$
\item Schnittpunkt y-Achse: $f(0)$
\item Nullstelle: $f(x) = 0$
\item Extrema: $f'(x) = 0$: Minima $f''(x) > 0$, Maxima: $f''(x) < 0$
\item Wendepunkt: $f''(x) =0 $ und $f'''(x) \neq 0 $
\item Stattelpunkt: $f'(x) = 0$ und $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0 $
\item Monotonie: steigend: $ f'(x) \geq 0 $, fallend: $f'(x) \leq 0 $
\item Krümmung: konvex ($\smile$): $ f''(x) > 0 $, konkav ($\frown$): $f''(x) < 0 $
\item Tangent: $y = mx + t$ Punkt:$x$. $m = f'(x)$
\end{itemize}
\subsubsection*{Ableitungsregeln}
\begin{itemize}
\item Bruchableitung: $ y = \frac{u}{v} $ $\rightarrow$ $ y' = \frac{u'*v - u*v'}{v^2} $ 
\end{itemize}
\end{document}