体 F 上の n 次行列環 R = M(n,F) に於いて左零因子と右零因子は同値である

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$ A \in R $を左零因子とすると、ある$ B \in R \setminus \{0\} $が存在して$ AB = 0 $が成り立つ。
このとき$A$が可逆とすると$ A^{-1}AB = B = 0 $となり矛盾するから$ \det(A) = 0 $である。
$A$が右零因子の場合も同様にして$ \det(A) = 0 $である。
一方$ A \in R $について$ \det(A) = 0 $とすると、Gau\ss 消去により$ EA $の第$n$行が全て$0$となる様な基本行列$ E \in R $が存在する。
ここで更に$ B = \left( \begin{array}{c|c} O_{n-1} & 0 \\ \hline 0 & 1 \end{array} \right) $とおくと$ BEA = 0 $であり、基本行列は可逆なので$ \det(E) \ne 0 $より全て$0$の行は存在しない、よって特に$ n-1 $行には$0$でない要素が存在し$ BE \ne 0 $である。
故に$A$は右零因子である。
同様にGau\ss 消去を右基本変形で行えば$ \det(A) = 0 $のとき$A$が左零因子である事が分かる。
以上より$ A \in R $が左零因子である事と右零因子である事は同値である。