Zi-ring-theory.txt

Z[i] 上の整数論

Z[i] はかなり性質がよい。
(i) Z[i] は ユークリッド整域である。これは単項イデアル整域であることと、一意分解整域であることを含意する。
(ii) Q(i) の整数環 (整数たちのなす環) である。つまり、 Q(i) の整数基底の一つは {1, i} である。こうならない例は例えば Q(\sqrt{5}) である。 (整数基底は{1, (1+\sqrt{5})/2})

Z の上の素元 p (有理素数と呼ぶ) を Z[i] の上でみたときの挙動は、以下の3パターンに類別できる。
1. ある Z[i] の素元 P に対して、 (p) = (P)^2 となるパターン (p = 2 のみ。このとき (P) = (1 + i)) (p は 体拡大 Q(i)/Q で分岐するという)
2. ある Z[i] の素元 P に対して、 (p) = (P) となるパターン (p = 3 (mod 4) のとき)
2. ある Z[i] の異なる素元 P, Q に対して、 (p) = (P)(Q) となるパターン (p = 1 (mod 4) のとき)

分岐 (ramification) については https://en.wikipedia.org/wiki/Ramification_(mathematics) を参照されたい。
また、ここに載っているのは https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_of_prime_ideals_in_Galois_extensions#Example_%E2%80%94_the_Gaussian_integers の焼き直しである。