supportWebStorage.js

function supportWebStorage () {
    if (!window.sessionStorage) {
        return false;
    }
    try {
        var key = 'supportWebStorage-' + (new Date()).getTime();
        window.sessionStorage.setItem(key, 1);
        window.sessionStorage.removeItem(key);
        return true;
    } catch(err) {
        return false;
    }
}

Safari private browseだとsessionStorage, localStorageのプロパティは存在しても、setItemでエラーになるので、それを考慮した判定。