NMAF038 Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.md

Pokročilé partie z teorie grup

Obsah

1. Základy variet ($C^\infty$), topologie a teorie míry
2. Lieovy grupy: definice věty a věty o implicitních funkcích
3. Základy teorie reprezentací
4. Konečněrozměrné reprezentace $\mathrm O(n)$ a $\mathrm{SU}(2)$
5. Cliffordovy algebry a spin-grupy
6. Superprostory a superalgebry
7. Reprezentace polopřímých součinů: Wignerova klasifikace částic
8. Heisenbergova grupa a Stone-von Neumannova věta
9. (Základy teorie nejvyšší váhy)

Literatura

1. Sternberg, S. – Group theory and Physics
2. Sepanski, M. – Compact Lie groups
3. (Fulton & Harris – Representation Theory)
4. Frappat & Sciarrino & Scorba – A Dictionary of Lie algebras and superalgebras
5. Folland, G. – Harmonic analysis on phase space
6. Warner, G. – Harmonic analysis on semisimple Lie groups I, II (+ teorie distribucí a reprezentace na distribucích)
7. Vilenkin & Klimyk – Representationtheory and special functions
8. Barnt, Rąnczka – Theory of groups & applications
9. Formánek, Jiří – Úvod do kvantové teorie (dotdatky v knihách)

Úvod

Příklad:

Konfigurační prostor $M =$ čtverec, grupa $G = \big{ \exp \frac{n \pi \mathrm i}{2} ; \big| ; n = 0,1,2,3 \big}$, uvažujeme ztotožnění $\mathbb R^2 \simeq \mathbb C$.
Zobrazení $T: G \times M \to M :: (g,m) \mapsto gm$ pro každé $g \in G$ zobrazuje $M$ na $M$.

Definice:

Buď $M$ množina. (Levá) akce grupy je zobrazení $T : G \times M \to M :: (g,m) \mapsto T_g(m) \equiv g \cdot m$, pokud $g \cdot h \cdot m = gh \cdot m, ; e \cdot m = m$. Pravá akce grupy je zobrazení $\varphi : G \times M \to M :: (g,m) \mapsto \varphi_g(m) \equiv m \cdot g^{-1}$, pokud $m \cdot g^{-1} \cdot h^{-1} = m \cdot (hg)^{-1}, ; m \cdot e = m$.

Tvrzení:

$T_g \in \operatorname{Bij} M$.
Důkaz: $T_g \circ T_{g^{-1}} = T_{g g^{-1}} = T_e = \operatorname{id}M. ;; T_g \circ T{g^{-1}} = T_{g^{-1} g} = T_e = \operatorname{id}_M$.

Tvrzení:

$\operatorname{Bij} M$ se skládáním tvoří grupu.
Důkaz: triviální.

Definice:

Zobrazení $\phi: G \to H$ nazýváme homomorfismem grup, pokud $\phi(g) \phi(h) = \phi(gh)$.

Tvrzení:

$T_\bullet$ a $\varphi_\bullet$ jsou homomorfismy grup.
Důkaz: $T_g \circ T_h = g \cdot h \cdot \bullet = gh \cdot \bullet = T_{gh}. ;; \varphi_g \circ \varphi_h = \bullet \cdot h^{-1} \cdot g^{-1} = \bullet \cdot (gh)^{-1} = \varphi_{gh}$.

Definice:

Buďte $M$, $X$ obecné množiny, $X^M$ množina všech zobrazení $M \to X ,$ a $, T: G\times M \to M$ akce grupy na $M$. Potom $\tilde T: G \times X^M \to X^M$ se nazývá regulární akce k $T$, pokud $\tilde T_g(f) = f \circ T_{g^{-1}}$.

Tvrzení:

Regulární akce je také akce grupy.
Důkaz: $(\tilde T_g \circ \tilde T_h)(f) = \tilde T_g(\tilde T_h(f)) = f \circ T_{h^-1} \circ T_{g^-1} = f \circ T_{h^{-1} g^{-1}} = f \circ T_{(gh)^{-1}} = \tilde T_{gh}(f)$

Tvrzení:

Buď $T: G \times M \to M$ akce grupy a $\tilde T: G \times M^{!M} \to M^{!M}$ regulární akce k $T$. Potom $\operatorname{Im} \tilde T$ se skládáním je grupa.
Důkaz:

Definice:

Buď M obecná množina a $\tau \subset 2^M$ systém podmnožin na ní. Platí-li \begin{align*} \emptyset &\in \tau, \ M &\in \tau, \ A \cup B &\in \tau \quad \text{for } A,B \in \tau, \ A \cap B &\in \tau \quad \text{for } A,B \in \tau, \end{align*} potom $\tau$ nazýváme topologií.

Domácí úkol:

Najděte všechny topologie na tříprvkové množině. Nakreslete jejich Hasseův diagram.

Definice:

Buď $\tau$ topologie na množině $M$ taková, že pro každé dva body $p_1, p_2$ existují okolí $U_1, U_2$ takové, že: \begin{align*} p_1 &\in U_1, & p_2 &\notin U_1, \ p_1 &\notin U_2, & p_2 &\in U_2. \end{align*}

NMAF038 Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.pdf

topologie.py

mnozina = ['g','e','j']
N = len(mnozina)

def podmnoziny_bin(k):
    i = 0
    while not(i >> k):
        yield i
        i += 1

def vyber_bin(seznam, bin):
    for i in range(0, len(seznam)):
        if bin & (1<<i):
            yield seznam[i]

def podmnoziny(mnozina):
    mnozina = [*mnozina]
    for bin in podmnoziny_bin(len(mnozina)):
        yield vyber_bin(mnozina, bin)

def prunik_bin(a,b):
    return a & b

def sjednoceni_bin(a,b):
    return a | b

def dvojice(seznam):
    for i in range(0, len(seznam)):
        for j in range(i, len(seznam)):
            yield (seznam[i], seznam[j])

def je_topologie_bin(seznam_binu, N):
    if not(0 in seznam_binu): return False
    if not(2**N-1 in seznam_binu): return False
    for (x, y) in dvojice(seznam_binu):
        if not prunik_bin(x,y) in seznam_binu: return False
        if not sjednoceni_bin(x,y) in seznam_binu: return False
    return True
        

kandidati = [[*x] for x in podmnoziny(podmnoziny_bin(N))]
topologie = [[[*vyber_bin(mnozina, y)] for y in x] for x in kandidati if je_topologie_bin(x, N)]




print('tvoje mamka je:')

for t in topologie:
    print(t)